INTEGRACIÓN APROXIMADA: PRUEBA DE 2º B

Transcripción

1 Matemáticas II Curso 7-8 Ejercicio : INTEGRACIÓN APROXIMADA: PRUEBA DE º B En el diseño de un parque se ha previsto aprovechar una hondonada con una profundidad media de m para construir un lago como el de la figura. Tomadas las medidas perpendiculares a un eje horizontal, con un espaciamiento horizontal de m, se ha obtenido la siguiente tabla: y x Usando la regla de Simpson, calcular el volumen aproximado de agua necesario para llenarlo. (, puntos) El volumen del lago es aproximadamente igual al área aproximada de la sección por la profundidad media. El área aproximada de la sección, usando la regla de Simpson y teniendo en cuenta que las medidas se han tomado con un espaciamiento horizontal de m.,es: S (++( )+4( )) = 4 El valor aproximado del volumen es 4x= 48 metros cúbicos.

2 Matemáticas II Curso 7-8 Ejercicio Una bombilla ornamental tiene la forma de la superficie de revolución generada haciendo girar la gráfica de y = x x para <x<, en torno al eje x, donde x e y se miden en m. a) Usando el método de los trapecios, estimar el área lateral de la bombilla con un error <,. b) Dar una cota del error relativo en %. c) Usando el resultado de a), estimar la cantidad de vidrio necesario para construir la bombilla si el espesor del vidrio es de,5mm. (,7 puntos) a) El área lateral de la figura generada por la función y = x x al girar alrededor del eje de abscisas en [,/], es = πy ( y' ) d / #9: x - x dx x #: -, luego 6 x / / x S = π x - x + - dx 6 x Con el comando aproximar de DERIVE se obtiene S L S L + dx Para obtener una aproximación de S L aplicando el método de los trapecios, hemos de tomar la función integrando como la función f(x) de dicha fórmula: / x #5: f(x) π x - x x Una cota del error cometido viene dado por la expresión: h ( b a) M donde M = máx{ f ''( x), a < x < b}. Calculamos, en primer lugar, el máximo M o una cota de f (x) en [,/] d / x #6: π x - x + - dx 6 x - 6π SIGN(x (9 x + ))

3 Matemáticas II Curso 7-8 Pero esta función es constante pues la función signo solo puede tomar los valores ó - por lo que - 6π SIGN(x (9 x + )) = 6π y la representación gráfica es: If(<x</, 6π) Luego M=6π<, y en este caso: h ( b a) M n 5 = =, 8n <, despejando n, y tomando n positivo, se obtiene n>7,86, es decir el primer número natural n que verifica la desigualdad es n=8, luego: h = = y los puntos de la partición son x k = + k = k 4, luego necesitamos los valores de la función, para k =,,,,8. k Definimos en Derive la función auxiliar g(k):= f 4 g(k) := ( k) ( k k ) y entonces: / 4 S L g() g(8) g( k).5 m Observa que nos quedamos con solo cifras decimales pues el error <., por lo tanto, no podemos dar información fiable desde la cuarta cifra decimal en adelante. (Nota: Si tomamos como función f el integrando sin el factor π, el error queda dividido por π y se obtiene n=4, pero la aproximación de la integral queda afectada.), b) El error relativo en % es e r =,87%, 5 c),5mm=,5 m, luego la cantidad de vidrio necesaria es:.5*,5.75 m =,75 cm.

4 Matemáticas II Curso 7-8 Ejercicio INTEGRACIÓN APROXIMADA: PRUEBA DE º A. Los hilos de un tendido eléctrico, suspendidos cada dos postes, adoptan la forma de una catenaria de ecuación x y = cosh donde - x donde x e y se miden en metros. Se pide a) Calcular, de forma aproximada y con un error menor que mm, la longitud del cable suspendido entre dos postes utilizando la regla de Simpson. b) Dar una cota del error relativo en % (,6 puntos) a) La longitud del cable suspendido entre dos postes es: donde y = cosh x L + ( y' ) dx = + ( y ') = Con el comando aproximar se obtiene La función f(x) que necesitamos es la función integrando: f ( x) = + ( y' ) = x e + dx e x Una cota del error cometido viene dado por la expresión: 4 { } x x e e = h (4 ( b a) M donde M = máx f ( x), a < x < b. 8 Calculamos, en primer lugar, el máximo M o una cota de f (4 (x), en valor absoluto, en [,] x/ - x/ x/ - x/ d 4 e e e e #9: + - = + dx 6 6 x/ - x/ e e #: IF < x <, + 6 6

5 Matemáticas II Curso 7-8 e e El máximo se alcanza en x=, es decir, Luego una cota superior de f (4 (x) en [,] es -5 <, (como se observa en la gráfica) 4 #: n. <. 8 /4 /4 #4: n < - n > n < n > El valor positivo y par más pequeño es n= 8, en consecuencia, h= = y los valores x 8 8 de la partición son x = +k/8=k/8 y los valores de f(x) en estos puntos son: k k/8 - k/8 #6: f = e + e 8 Por comodidad definimos k/8 - k/8 #7: g(k) e + e #8: 8 g() + g(8) + g(k) + 4 g(k + ) = 47.8 k= k= Observa que nos quedamos con solo cifras decimales pues el error <., por lo tanto, no podemos dar información fiable desde la cuarta cifra decimal en adelante. (Nota: Si tomamos como función f(x) el integrando sin el factor, el error queda dividido por, ahora bien como hemos tomado el intervalo [,], en lugar de[-,] quedaría compensado.) b) El error relativo en % es e r =, 47,8.%

6 Matemáticas II Curso 7-8 Ejercicio La figura muestra un terreno acotado por dos carreteras y un rio. Todas las medidas se dan en m. y vienen dadas por la tabla siguiente: y x a) Aproximar el área de la propiedad usando la regla de los trapecios. b) Indica el procedimiento para calcular de manera aproximada la longitud del río que acota dicha propiedad. (,4 puntos) a) El área aproximada del terreno, usando el método de los trapecios y teniendo en cuenta que las medidas se han tomado con un espaciamiento horizontal de 5 m.(n= intervalos),es: 5 S (+54+( )) = 75 m. b) La longitud del río es una medida líneal y, por tanto, se puede aproximar midiendo la poligonal determinada por los puntos de la medición. Así en el primer subintervalo el segmento correspondiente de la poligonal mide 5 ( y y ) +, en consecuencia, y y La longitud de la diagonal es: ( y y ) 5 + k k longitud del río