Cálculo y Estadística

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1 EXAMEN FINAL 1-I-014 Primer Parte (Estadística) 1.- Se quiere analiza el resultado de una secuencia de cifras elegidas, al azar, , todas las cifras han sido elegidas al azar mediante extracciones de una urna con 10 bolas numeradas del 0 al 9. La siguiente tabla recoge la distribución de frecuencias absolutas: ni Se pide: a) Moda b) Media c) Diagrama de cajas, hay valores atípicos? d) Coeficiente de asimetría (0,75 puntos).- Se sabe que una determinada enfermedad afecta a un 1% de las personas. Existe una prueba con un índice de acierto del 95% sobre las personas enfermas; pero con un índice de falso positivo, es decir, dar por enferma a una persona sana, del 5%. Calcular la probabilidad de padecer la enfermedad condicionada a que el resultado de la prueba ha sido positivo (0,75 puntos) 3.- El consumo de electricidad en kilowatios por persona y día en una familia se observó que era una variable aleatoria con la siguiente función de densidad: x si 0 x fx ( ) si 4 x 8 Se pide: 8 0 en el resto a) Mediana de la distribución. b) El consumo medio por persona y día. c) Probabilidad de que el consumo esté entre 3 y 5 kw. (0,75 puntos) 4.- La última película de un director ha tenido un gran éxito entre los aficionados al cine, hasta el punto de que el 75% de los aficionados al cine ya la han visto. Un grupo de 4 amigos son aficionados al cine: 1. Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan visto la película personas?. Cuál es la probabilidad de que del grupo la hayan visto al menos personas? 3. Cuál es la probabilidad de que por lo menos, la haya visto al menos 1 persona? 4. Calcular la media y varianza de la distribución (0,75 puntos) (Continúa por detrás) Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

2 5.- Suponiendo que la estatura sigue una distribución normal. De una muestra de 1000 estudiantes de una universidad se ha obtenido una estatura media de 1.65 m y desviación estándar 0.1 m. Estimar de dicha muestra: 1. Cuántos estudiantes miden menos de 1.40 m?. Cuántos estudiantes miden al menos 1.80 m? 3. Cuántos estudiantes miden entre 1.40 m y 1.80 m? 4. Cuál es la estatura mediana de los estudiantes? 5. Cuánto ha de medir un estudiante para estar entre el 5% de los más altos? 6. Se va a seleccionar el 10% de estudiantes más altos. Estimar la altura del estudiante más bajo seleccionado (0,75 puntos) 6.- La intensidad de corriente I, que se aprecia en un amperímetro varía con la fuerza electromotriz aplicada E, de acuerdo con la tabla de datos experimentales adjunta: E I Determinar: 1. La matriz de covarianzas.. El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. 3. La recta de regresión de la variable intensidad sobre la fuerza electromotriz. Cuál será el valor estimado de la intensidad para una fuerza electromotriz de 0? (0,75 puntos) (En esta parte no se permite usar calculadora ni DERIVE) x() t tg t 7.- Sea la curva de ecuaciones. La siguiente imagen muestra la gráfica y() t cos() t INCOMPLETA de dicha curva: Se pide: a) Hallar el campo de variación de t. b) Estudio de simetrías al cambiar t por - t. c) Razonar si la curva es periódica y obtener el período de la curva. d) Estudio de asíntotas. e) Hallar puntos críticos, puntos de tangencia horizontal, vertical y singulares. f) Hacer el estudio del crecimiento y decrecimiento por ramas. Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

3 g) Puntos de corte con los ejes de coordenadas. h) Dibujar aproximadamente la gráfica COMPLETA de la curva. (1 punto) 8.- Calcular, aplicando la Regla de Leibnitz, la derivada de la función: F(x) = 3 x (0, puntos) (Se permite usar DERIVE) lnx t e dt 9.- Dada la función f( x) ln x 1 se pide: a) Escribir la formula de Taylor de f ( x ) para n=4 con el desarrollo en a =. b) Obtener el valor aproximado de ln 1.5, con T 4 ln x 1, así como una cota del error cometido. c) Qué grado mínimo n necesitaríamos usar en el polinomio T n ln x 1, para que el error fuera menor que al obtener la aproximación de ln 1.5? (1 punto) 10.- Construida una tobera cónica para almacenamiento de grano, se le pide a un topógrafo que estime con la mayor precisión posible el volumen que puede contener, sabiendo que el diámetro de la base es igual a la altura del cono. El topógrafo mide el diámetro l de la base que resulta ser de 0,11 m con una cota de error estimado dl < 0 cm. a) Aplicar el concepto de diferencial para aproximar el error propagado (porcentual) cometido al calcular el volumen V del depósito. b) Estimar el máximo error en la medida de l, para que el error propagado al calcular el volumen no supere el 1%. (0,4 puntos) 11.- Se conoce la medida del semieje mayor de la órbita de un cometa, a = UA, así como la distancia del cometa al sol en el afelio, f = UA. a) Hallar la excentricidad de la órbita del cometa. b) Hallar una ecuación en polares de la órbita del cometa. c) Para dicha ecuación, hallar de manera aproximada la distancia del cometa al sol cuando = /4. d) Calcular la distancia del cometa al sol en el perihelio. e) Hallar también una ecuación en cartesianas de la órbita. (0,4 puntos) 1.- a) Sea la región acotada por las curvas y x x e i) Hallar el área de dicha región. ii) Hallar el perímetro de dicha región. (0,5 puntos) y 4 x se pide: Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

4 x sen t b) Sea la cisoide dada por las ecuaciones paramétricas.estudiar si el y sen tgt volumen del sólido engendrado al rotar la región determinada por la curva e y=0 alrededor del eje de abscisas es finito. (0,3 puntos) c) Dada la curva en coordenadas polares r 4sen se pide: i) El dominio de la curva ii) El área común de la región interior a las curvas r 4sen y r =. (0,7 puntos) Nota: Publicación de calificaciones: lunes 7 de enero de 014 Revisión de examen: lunes 7 de enero de 014 de 1:30 a 13h en despacho 314. Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4

5 1.- Se quiere analiza el resultado de una secuencia de cifras elegidas, al azar, , todas las cifras han sido elegidas al azar mediante extracciones de una urna con 10 bolas numeradas del 0 al 9. La siguiente tabla recoge la distribución de frecuencias absolutas: ni Se pide: a) Moda b) Media c) Diagrama de cajas, hay valores atípicos? d) Coeficiente de asimetría Solución: a) La Moda es igual a 9 puesto que es el valor correspondiente a la máxima frecuencia 14 b) Media k k k ni Xfixi xi nixi 4,77 i1 i1 n n i1 100 c) Dibujar el diagrama de cajas. Calculamos los 5 valores: Mínimo, Q 1, M, Q 3, Máximo Mínimo = 0 x i n i N i Q 1 es el valor que deja a su izquierda el 5% de la población, es decir, n que 4 4 no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto Q 1 = Q =M es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir, n que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto M=5 Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

6 Q 3 es el valor que deja a su izquierda el 75% de la población, es decir, 3n que 4 4 no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto Q 3 =8 Observando el rango intercuartílico IQ = Q 3 -Q 1 = 8-=6, tenemos como límites LI=Q 1-1,5 IQ= -7; quedando como límite inferior el mínimo 0. LS=Q 3 + 1,5 IQ= 17quedando como límite superior el máximo 9 y no existen valores atípicos. d) 3 x 3 i X fi 0, Coeficiente de asimetría o Sesgo: g , xi X fi 0, Asimétrica por la izquierda..- Se sabe que una determinada enfermedad afecta a un 1% de las personas. Existe una prueba con un índice de acierto del 95% sobre las personas enfermas; pero con un índice de falso positivo, es decir, dar por enferma a una persona sana, del 5%. Calcular la probabilidad de padecer la enfermedad condicionada a que el resultado de la prueba ha sido positivo Solución: Consideramos los sucesos: 0,95 T E S = persona sana 0,01 0,05 E = persona enferma T = positivo P(S)=0,99; P(E)=0,01; P(T/E)=0,95; P(T/S)= ,99 S 0,95 0,05 T Teorema de Bayes P(E T) P(T / E)P(E) 0,950,01 P(E / T) P(T) P(T / E)P(E) P(T / S)P(S) 0,950,010,050, El consumo de electricidad en kilowatios por persona y día en una familia se observó que era una variable aleatoria con la siguiente función de densidad: x si 0 x f(x) si 4 x8 Se pide: 8 0 en el resto a) Mediana de la distribución. b) El consumo medio por persona y día. Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

7 c) Probabilidad de que el consumo esté entre 3 y 5 kw. Solución: a) Necesitamos conocer la función de distribución: 0 si x 0 x si 0 x 4 x F(x) f (t)dt 3 1 x si 4 x si 8 x M 1 F(M) M x 1 13 b) f (x)dx x dx x dx c) x 1 P(3 X 5) f (x)dx dx dx La última película de un director ha tenido un gran éxito entre los aficionados al cine, hasta el punto de que el 75% de los aficionados al cine ya la han visto. Un grupo de 4 amigos son aficionados al cine: 1. Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan visto la película personas?. Cuál es la probabilidad de que del grupo la hayan visto al menos personas? 3. Cuál es la probabilidad de que por lo menos, la haya visto al menos 1 persona? 4. Calcular la media y varianza de la distribución SOLUCIÓN 1. Según el enunciado n = 4; p = 0.75; q = 0.5; se trata de una distribución B(4, 0.75) 4 PX Cuál es la probabilidad de que del grupo la hayan visto al menos personas? P X 1P(X) 1 P X 0 P X Cuál es la probabilidad de que por lo menos, la haya visto al menos 1 persona? P X1 1P X Calcular la media y varianza de la distribución Media = n p = 3 Varianza = s = n p q = Suponiendo que la estatura sigue una distribución normal. De una muestra de 1000 estudiantes de una universidad se ha obtenido una estatura media de 1.70 m y desviación estándar 0.1 m. Estimar de dicha muestra: 1. Cuántos estudiantes miden menos de 1.40 m?. Cuántos estudiantes miden al menos 1.80 m? 3. Cuántos estudiantes miden entre 1.40 m y 1.80 m? 4. Cuál es la estatura mediana de los estudiantes? 5. Cuánto ha de medir un estudiante para estar entre el 5% de los más altos? Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 7

8 6. Se va a seleccionar el 10% de estudiantes más altos. Estimar la altura del más bajo del grupo seleccionado SOLUCIÓN Se trata de una distribución N(1.70, 0.1) 1. Cuántos estudiantes miden menos de1.40: 1000 P(X 1.40) 1000 F(1.40) Cuántos miden al menos 1.8: 1000P(X 1.80) 10001F(1.8) = Cuántos estudiantes miden entre 1.40 m y 1.80 m? 1000P(1.4 X 1.80) 1000F(1.8) F(1.4) La mediana y la media coinciden en la distribución normal, por tanto, M = Estará en el 5% de los más altos, si no está en el 95% de los más bajos. P(X x c) 0.95 F(x c) 0.95 x c 1, Dicha altura se corresponderá con el percentil 90. P(X x c) 0.9 F(x c) 0.9 x c 1, La intensidad de corriente I, que se aprecia en un amperímetro varía con la fuerza electromotriz aplicada E, de acuerdo con la tabla de datos experimentales adjunta: E I Determinar: 1. La matriz de covarianzas.. El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. 3. La recta de regresión de la variable intensidad sobre la fuerza electromotriz. Cuál será el valor estimado de la intensidad para una fuerza electromotriz de 0? SOLUCIÓN Ei Ii La media para cada variable es: E 15.5; I 3 n n Para el cálculo de varianzas y covarianzas, podemos formar la tabla E I E E I I E E I I E E I I SUMAS 91, E EI Para obtener la matriz de covarianza aplicamos EI I Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8

9 . Para calcular el coeficiente de correlación aplicamos la siguiente ecuación: EI rei rei 0,767, por tanto, la correlación es positiva (a mayor E I fuerza electromotriz mayor intensidad, además es buena el modelo explica el 76,7% La recta de regresión de I/E es: I I xy EE I 0,5511E 5,404 E 3. Para un valor de E = 0 esperamos una intensidad de 0, = 5,6176 (En esta parte no se permite usar calculadora ni DERIVE) x() t tg t 7.- Sea la curva de ecuaciones. La siguiente imagen muestra la gráfica y() t cos() t INCOMPLETA de dicha curva: Se pide: a) Hallar el campo de variación de t. b) Estudio de simetrías al cambiar t por - t. c) Razonar si la curva es periódica y obtener el período de la curva. d) Estudio de asíntotas. e) Hallar puntos críticos, puntos de tangencia horizontal, vertical y singulares. f) Hacer el estudio del crecimiento y decrecimiento por ramas. g) Puntos de corte con los ejes de coordenadas. h) Dibujar aproximadamente la gráfica COMPLETA de la curva. Solución a) Campo de variación de t: k 1 No existe x(t) = tg(t) para t k, k Z Mientras que y(t) = cos (t) existe para todos los valores de t. Por tanto, el campo de variación de t es k R, k ZR,,,... b) Simetrías: la curva es simétrica respecto al eje de ordenadas, ya que x tx t y t y t Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9

10 Período de x(t) tg t: c) Periodicidad: La curva es periódica de período Período de y t =cost : = T = m.c.m {, }=. Luego la gráfica de la curva estará completa para valores de t en un intervalo de amplitud ; por ejemplo, en [0, ]. d) Asíntotas: Por ser -1 y(t) 1, la curva no tiene asíntotas verticales ni oblicuas. lim xt ( ) t La recta de ecuación y = -1 es asíntota horizontal pues lim yt ( ) 1 t e) Puntos críticos: Son aquellos valores de t en los que x (t) o y (t) se anulan o no existen: x'( t) 0 t 1 x'( t) cos t x'( t) no existe para t= y'( t) 0 t 0,, t 0,, y'( t) s en( t) y'( t) existe t Luego, los puntos críticos son t 0,, x'( t) 0 dy En t=0, 0 se trata de un punto de tangencia horizontal: P(0, 1). y'( t) 0 dx Lo mismo ocurre para t =, obteniéndose el mismo punto P. En t=, no hay punto de tangencia horizontal, vertical, ni es un punto singular, pues no pertenece al campo de variación de t. f) Estudio del crecimiento por ramas: t (x, y ) x (t) y (t) y (x) y(x) (0, ) (0, 1) (, -1) As. horiz. -1 (, ) (-, -1) (0, 1) g) Con OY: x(t) = tg t = 0 t 0,. Tanto para t = 0, como para t =, se obtiene, como ya se ha indicado antes, el punto P(0, 1). 3 3 Con OX: y(t) = cos (t) = 0 t, t,. 4 4 Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 10

11 Para t = 4, se obtiene el punto Q(1,0). Cálculo y Estadística Para t = 3, se obtiene el punto R(-1,0). 4 h) Dibujo completo de la curva: 8.- Calcular, aplicando la Regla de Leibnitz, la derivada de la función: F(x)= 3 lnx t e dt x Solución: F(x) = 3 lnx t e dt x lnx 1 x 1 lnx x 1 x F (x) = e e 3x e 3x e x 3x e x x x (Se permite usar DERIVE) 3 x x 3x e 9.- Dada la función f( x) ln x 1 se pide: a) Escribir la formula de Taylor de f ( x ) para n=4 con el desarrollo en a =. b) Obtener el valor aproximado de ln 1.5, con T 4 ln x 1, así como una cota del error cometido. c) Qué grado mínimo n necesitaríamos usar en el polinomio T n ln x 1, para que el error fuera menor que al obtener la aproximación de ln 1.5? Solución a) La fórmula de Taylor para n=4 y a= es: Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 11

12 f '() f ''() f '''() f () f ( c) f( x) f() ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) 1!! 3! 4! (41)! f() = ln -1 ln1 = 0, f '(x) = f '() = =, x f ''(x) = - f '() = = -, x , ( iv ( iv f (x)=- f ()=- = x-1-1 4) 41) f '''(x) = f '''() = = 1 x ( v 1 ( iv 1 f (x) = f (c) = x-1 c-1 5 5, luego: c 1 41 ln ( x1) 0 ( x) ( x) ( x) ( x) ( x), 1!! 3! 4! (41)! simplificando ln ( x1) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) c 1 b) ln ( x1) ln 1,5 x11,5 x,5, luego ln 1,5 (,5 ) (,5 ) (,5 ) (,5 ) , y una (5 cota del error cometido se obtiene aplicando error( x.5) max f ( x) x[,.5].5 5 5! La función es decreciente ,5 en el intervalo [,.5] por lo que su máximo se alcanza en x= y vale 1, por lo tanto: error( x.5) 1 0, ,004, luego: 5! 5! 0,00 0,004 ln 1,5 0,00 0,004 0,196 ln 1,5 0,04 c) Nos imponen una condición para la cota de error, luego hemos de partir de la n 1 ( n1.5 expresión error( x.5) max f ( x), como la cota de error para n=4 x[,.5] ( n 1)! es <0,004, estudiamos la cota de error para n=5 ( vi 60 ( vi 60 f (x) =-, la gráfica de f (x) = también es decreciente en el 6 6 x-1 x-1 intervalo [,.5] puesto que el denominador crece en dicho intervalo por lo que su.5 6 máximo se alcanzaen x= y vale 60, luego error( x.5) 60 0, 0013 que 6! es casi una milésima pero no menor que 0,001 que es lo que se nos pide. Repetimos el procedimiento para n=6. Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

13 ( vii 360 f (x)= x-1 7 Cálculo y Estadística, y su gráfica también es decreciente en el intervalo [,.5] puesto que el denominador crece en dicho intervalo por lo que su máximo se alcanzaen x= y.5 7 vale 360, luego error( x.5) 360 7! 0, , 001 que es lo que se nos pide, por lo tanto la respuesta es n= Construida una tobera cónica para almacenamiento de grano, se le pide a un topógrafo que estime con la mayor precisión posible el volumen que puede contener, sabiendo que el diámetro de la base es igual a la altura del cono. El topógrafo mide el diámetro l de la base que resulta ser de 0,11 m con una cota de error estimado dl < 0 cm. a) Aplicar el concepto de diferencial para aproximar el error propagado (porcentual) cometido al calcular el volumen V del depósito. b) Estimar el máximo error en la medida de l, para que el error propagado al calcular el volumen no supere el 1%. Solución a) l =0,11 0.0, es decir, se toma como valor aproximado l = 0,11 m. y la cota de error, dl=0.0m, nos indica que el verdadero valor de l está entre 19,.91 y 0.31 m. Este error de l se propaga al calcular el volumen del depósito: 1 1 l 1 3 V = Sb h l l m Para obtener una cota del error V se usa la diferencial V dv 1 1 dv = V (R) dr= 3 l dl l dl 1 4 El error propagado porcentual es: 1 l dl dv 4 3dl 3 0. eporc ,98 3%, luego el error V 1 3 l l 0,11 1 propagado en porcentaje es 3% dv b) Se pide estimar dl para que impone la condición de que eporc 100 <1, luego: V 1 l dl dv 4 3dl l 0,11 eporc dl 0,067 m 6,7 cm V 1 3 l l Por lo tanto, la cota de error al medir l no debe superar los 6,7 cm, es decir dl<6,7cm 11.- Se conoce la medida del semieje mayor de la órbita de un cometa, a = UA, así como la distancia del cometa al sol en el afelio, f = UA. a) Hallar la excentricidad de la órbita del cometa. b) Hallar una ecuación en polares de la órbita del cometa. Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 13

14 c) Para dicha ecuación, hallar de manera aproximada la distancia del cometa al sol cuando = /4. d) Calcular la distancia del cometa al sol en el perihelio. e) Hallar también una ecuación en cartesianas de la órbita. Solución a) c = f a = = , e = c / a = b) b = a - c b = p = a Luego, una ecuación en coordenadas polares de la órbita del cometa es: p r 1ecos cos c) r = UA cos 4 d) q cos = UA e) x a y b 1 x y x se pide: 1.- a) Sea la región acotada por las curvas y x x e y i) Hallar el área de dicha región. ii) Hallar el perímetro de dicha región. x sen t b) Sea la cisoide dada por las ecuaciones paramétricas.estudiar si y sen tgt el volumen del sólido engendrado al rotar la región determinada por la curva e y=0 alrededor del eje de abscisas es finito. c) Dada la curva en coordenadas polares r 4sen se pide: iii) El dominio de la curva r 4sen y r =. iv) El área común de la región interior a las curvas Solución: a) i) Hallamos los puntos de corte de ambas curvas x = -, x = 1 El área de la región se obtiene mediante: Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 14

15 b) ii) El perímetro viene dado por la suma de los arcos: d x (4 - x ) = - dx (4 - x ) d 3 x + 4 (x (x + )) = dx (x + ) 1 1 x 3 x dx dx = u (x + ) (4 - x ) - - La curva es periódica de periodo y la rama superior se dibuja para [0,/]. Aplicando la fórmula del volumen Es decir, el volumen del sólido generado no es finito c) iii) Dominio de la curva son los valores de para los que r0 Es decir, Domr = iv) Hemos de obtener previamente los puntos de intersección de las curvas 1 5 4sen sen,, S = 1 4sen d 4sen d=,4567 u Nota: Publicación de calificaciones: lunes 7 de enero de 014 Revisión de examen: lunes 7 de enero de 014 de 1:30 a 13h en despacho 314. Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 15