3. Interpolación polinomial

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1 1 I.T.I. GESTIÓN CÁLCULO NUMÉRICO BOLETÍN CON LOS EJERCICIOS RESUELTOS CURSO Interpolación polinomial 1. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta función f de la que conocemos que: f(-1)1 ; f()-1 ; f() y f(3). En primer lugar los polinomios de Lagrange: P (x) P 1 (x) P (x) P 3 (x) Ahora el polinomio interpolador: (x )(x )(x 3) (x)(x )(x 3) ( )( )( 3) (x + 1)(x )(x 3) ( + 1)( )( 3) (x + 1)(x )(x 3) ( + 1)( )( 3) (x + 1)(x )(x ) (3 )(3 + 1)(3 ) (x + 1)(x )(x 3) (x + 1)(x)(x 3) (x + 1)(x)(x ) 1 (x)(x )(x 3) (x + 1)(x )(x 3) (x + 1)(x)(x 3) (x + 1)(x)(x ) P (x) P (x) 1 (5x3 19x + 1).. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la función f(x) log(x) con el soporte s {1,, 4,, 8}. Determinar la función del error y acotar el error cometido al usar P(3) para aproximar el valor de log(3). Sabido que log(1) ; log().33147; log(4) log() ; log() y que log(8) 3 log().79441, el polinomio interpolador es: P (x).178x x x x Para acotar la función error necesitamos la derivada cuarta de la función: f 4 (x) 4 x 5. En el intervalo I [1, 8], puesto que es una función decreciente en él, ofrecerá su valor máximo en x 1 luego: M 4. Por tanto la función del error será: Para aproximar log(3) uso: ɛ 4 (x 1)(x )(x 4)(x ) (x 1)(x )(x 4)(x ). 4! P (3) con lo que el error: ɛ (3 1)(3 )(3 4)(3 ). Realmente la acotación resulta excesiva puesto que el valor exacto es log(3) y el error exacto:.14.

2 3. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta función f(x) de la que conocemos: f(-); f()1; f(1)-1. Idem por Newton, Diferencias Divididas. Escribirlo en la forma a + a 1 x + a x para comprobar que son idénticos. Por Lagrange: Por lo tanto: Por Newton: Con ello: (x)(x 1) P (x) (x + )(x 1) P 1 (x) P (x) (x)(x + ) 3 P (x) (5x + 7x ) x 1.1x + 1. x i f(x i ) f[x i, x i+1 ] f[x i, x i+1, x i+ ] P (x) +.5(x + ) (x + )x x 1.1x Disponemos de los siguientes datos sacados de un polinomio de grado g 5. Podríamos averiguar de qué grado es? x i y i Lo resolveremos por Diferencias Divididas. x i f(x i ) f[x i, x i+1 ] f[x i, x i+1, x i+ ] f[x i,, x i+3 ] f[x i,, x i+4 ] f[x i,, x i+5 ] Con estos datos: P (x) 5 + (x + ) 3(x + )(x + 1) + 1(x + )(x + 1)x + (x + )(x + 1)x(x 1) x 3 x + 1. Al anularse las diferencias de cuarto orden se deduce que se trata de un polinomio de tercer grado,como finalmente obtenemos.

3 3 5. Sabemos que P 4 (x) 5 los datos: 4 x x x 4 x es el polinomio interpolador de cierta función para x i y i Lo hemos calculado por Diferencias Divididas, compruebalo y determina el polinomio interpolador resultante si ampliamos los datos con el punto A (4, 3). Comenzaremos por las Diferencias Divididas para el soporte inicial: x i f(x i ) f[x i, x i+1 ] f[x i, x i+1, x i+ ] f[x i,, x i+3 ] f[x i,, x i+4 ] Y de aquí, el polinomio interpolador es: P 4 (x) 5 4 x x x 4 x.83333x x x x. Ahora ampliamos la tabla de Diferencias Divididas: x i f(x i ) f[x i, x i+1 ] f[x i, x i+1, x i+ ] f[x i,, x i+3 ] f[x i,, x i+4 ] f[x i,, x i+5 ] Obtenemos el término que hay que añadir: (x + 1)x(x 1)(x )(x 3) y que sumaremos al polinomio anterior: P 5 (x).83333x x x x (x + 1)x(x 1)(x )(x 3) P 5 (x) x 5.5x 4 + x x x. 3. Integración numérica. Calcular el valor de π 1 + cos (x)dx usando la fórmula de Newton-Cotes con el soporte S {, π, π}. El soporte es equiespaciado de paso h π, los coeficientes serán:a A π y A 1 π 3 π 1 + cos (x)dx π f(x ) + π 3 f(x 1) + π f(x ) π π π π ( + ) π y si tomamos π ; π 1 + cos (x)dx y con ello,

4 4 7. La función f(x) e x+1 es continua en [.1]. Hallar el valor exacto de f(x)dx y comparar el resultado con el obtenido al usar la fórmula de Newton-Cotes en el soporte S {,, 1}. Determina una cota del error cometido. Integrando directamente tenemos e x+1 dx 1 e x+1 dx e3 e Como se trata de un soporte equiespaciado de paso h 1, los coeficientes serán:a A 1 3 y A y con ello, e x+1 dx Comparando, el error es ɛ Newton-Cotes con el soporte dado n es Simpson, por lo tanto lo podemos hacer directamente e x+1 dx 1 3 e e e Como es la fórmula de Simpson, acotamos el error, previa acotación de la derivada cuarta de la función f 4 (x) 1e x+1 como se aprecia en la evolución de las derivadas la siguiente sería positiva en su dominio lo que hace que podamos asegurar que la f 4 es creciente en [, 1] y M 1e 3 < 1(3 3 ) 43 ɛ < que como se aprecia es una cota muy mala. (1 + 1) Calcular el valor exacto de π sen(x)dx y comparar el resultado con el obtenido al usar la fórmula compuesta de los Trapecios para n8. Determina una cota del error cometido. Integrando directamente tenemos π sen(x)dx cos(π) + cos() + 1 Para aplicar la fórmula del trapecio para n 8 el soporte es π S {, π 8, π 8, 3π 8, 4π 8, 5π 8, π 8, 7π 8, π} π por lo tanto: sen(x)dx (8) [sen() + {sen( π 8 ) + sen( π 8 ) + sen( 3π 8 ) + sen( 4π 8 ) + sen( 5π 8 ) + sen( π 8 )} + sen(π)] π 8 [sen( π 8 ) + sen( 3π 8 ) + sen( 4π 8 ) + sen( 5π 8 ) + sen( π 8 )] π 8 [sen( π 8 ) + sen( π 4 ) + sen( 3π 8 ) + sen( π ] Para llegar al resultado anterior hemos considerado lo siguiente: sen( 7π 8 ) sen( π 8 ) sen( π 4 ) sen( π 8 ) sen( π 4 ) sen( 5π 8 ) sen( 3π 8 ) cos( π 8 ) Cota del error, ɛ < y consecuentemente, 1 1+ (π )3 1(8 )M la derivada segunda de la función es f sen(x) por lo tanto M 1 ɛ < π3 1(8 )1 <

5 5 9. Determinar el número mínimo de partes necesarias para calcular ex dx por la fórmula compuesta de los Trapecios con 4 cifras decimales exactas. Calcular el valor de dicha integral en el caso que necesitemos que el error sea menor que una centésima. Sabemos que ɛ < (1 )3 1(n )M la derivada segunda de la función es f (4x + )e x función creciente en el intervalo de integración, por lo tanto M e < 18 y consecuentemente,.1 > 18 1(n ) n 18 > 1(.1) 15 n > Luego tendremos que tomar n 13; si apuramos más en las cotas, por ejemplo tomando e.8, mejoramos algo la partición. Ahora hacemos,.1 > (.8) 1(n ) n > ( n > tenemos que tomar n 1 S {, 1 1, 1, 3 1, 4 1, 5 1, 1, 7 1, 8 1, 9 1, 1 1, 11 1, 1} por lo tanto: dx 1 ex (1) [e + [e e 1 + e e e e 1 + e e e e 1 1 +] + e 1 ] El valor exacto es 1.45 y el error exacto Usar el método de Simpson para calcular el valor de x5 dx con error menor que una milésima. Lo primero es averiguar la partición que necesitamos para cumplir el enunciado. f 4 1x por lo tanto es fácil deducir que M > 1 18(n 4 ) n4 1 > 18(.1)... n > Bastará tomar n como el primer número natural par posterior a es decir n. Aplicando Simpson con la partición obtenida: Partición {, 1,, 3, 4, 5, 1} x 5 dx 1 [E + 4I + P ] 3() E + 1 1; I ( 1 )5 + ( 3 )5 + ( 5 ) ; P ( )5 + ( 4 ) x 5 dx 1 [1 + 4(.4335) + (.1358)] Calcular el valor de 1 x8 log(x)dx con error menor que 5(1 ). Las derivadas de la función son continuas en todo su dominio, la segunda es f x (15 + 5log(x)) y la cuarta, f 4 x 4 (1 + 18log(x)); ambas crecientes en [1, ]. Si usamos el método de los Trapecios: M f () (15 + 5log() ;.5 > (n ) n > (.5) n > debo tomar n 7. Si usamos el método de Simpson: M 4 f 4 () 4 (1 + 18log()) ;.5 > (n 4 ) n4 > tomar n 8. A la vista del resultado, lo haremos por Simpson. 18(.5) n > debo

6 x i y i x 8 log(x)dx 1 [E + I + P ] Sabemos que e 3x dx.8 con todas sus cifras decimales exactas, podemos afirmar que e 3x dx e 3x dx con error menor que una milésima? Con los datos conocidos y aplicando Simpson, calcular e 3x dx con una cifra decimal exacta, determinando previamente la partición del intervalo de integración que lo garantiza. En primer lugar, e 3x dx e 3x dx + e 3x dx e 3x dx e 3x dx e 3x dx.8 <.1 luego como el error es menor que una milésima, podemos usar e 3x dx para aproximar el valor de e 3x dx sin que repercuta sobre el error que necesitamos: ε <.1. Ahora calcularemos e 3x dx en las condiciones solicitadas,aproximada por e 3x dx f 4 81 e por lo que su valor máximo, en el intervalo de integración, lo dará en el extremo inferior, 3x M Con este dato averiguaremos la partición necesaria,.1 > 5 18n 4 81 n 4 > n > 3 n > 3.4 debemos tomar n 4. y con estos datos: x i y i 1 e 3 e 3 e 9 e e 3x dx [E + I + P ] Podemos concluir que e 3x dx.3 con todas sus cifras exactas.