Preliminares Interpolación INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL
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- Julián Vera Santos
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1 INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL
2 Contenido Preliminares 1 Preliminares Teorema 2
3 Contenido Preliminares Teorema 1 Preliminares Teorema 2
4 Teorema Preliminares Teorema Teorema: Serie de Taylor Supongamos que f (x) admite derivadas continuas de todos los órdenes en un intervalo (a, b) en el que está el punto x 0. Supongamos que la sucesión de polinomios de Taylor converge a f (x), o sea, f (x) = l«ım N P N(x) = l«ım N N k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, k!
5 Teorema Preliminares Teorema para todo x (a, b), entonces f es analítica y puede desarrollarse en serie de Taylor alrededor de x 0 f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k!
6 Contenido Preliminares 1 Preliminares Teorema 2
7 La información necesaria para construir el polinomio de Taylor es el valor de f y los de sus derivadas en x 0. Debemos conocer las derivadas de orden superior y, a menudo, suele ocurrir que o bien no están disponibles, o bien son difíciles de calcular.
8 Supongamos que conocemos N+1 puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x N, y N ) de la curva y = f (x), donde las abcisas x k se distribuyen en un intervalo [a, b] de manera que a x 0 < x 1 <... < x N b y y k = f (x k ). Construiremos un polinomio P(x) de grado N que pase por estos N+1 puntos. Para construirlo, únicamente necesitaremos conocer los valores x k e y k, así que las derivadas de orden superior no nos harán falta.
9 El polinomio P(x) puede usarse luego como una aproximación a f (x) en todo el intervalo [a, b]. Existen funciones especiales y = f (x), que aparecen en análisis de tipo estadístico o científico, para las que sólo disponemos de una tabla de valores; es decir, sólo conocemos N+1 puntos (x k, y k ) y es necesario dar un método para aproximar f (x) en abcisas que no están tabuladas.
10 El polinomio P(x) puede usarse luego como una aproximación a f (x) en todo el intervalo [a, b]. Existen funciones especiales y = f (x), que aparecen en análisis de tipo estadístico o científico, para las que sólo disponemos de una tabla de valores; es decir, sólo conocemos N+1 puntos (x k, y k ) y es necesario dar un método para aproximar f (x) en abcisas que no están tabuladas.
11 1 Si el error de los valores tabulados es significativo, entonces es mejor usar los métodos de ajuste de curvas (próximo capítulo). 2 Si los puntos (x k, y k ) tienen un grado alto de precisión, entonces podemos considerar el polinomio y = P(x) que pasa por todos ellos. 3 Cuando x 0 < x < x N, la aproximación P(x) se conoce como valor interpolado. 4 Si se tiene x < x 0 o bien x N < x, entonces P(x) se conoce como valor extrapolado.
12 1 Si el error de los valores tabulados es significativo, entonces es mejor usar los métodos de ajuste de curvas (próximo capítulo). 2 Si los puntos (x k, y k ) tienen un grado alto de precisión, entonces podemos considerar el polinomio y = P(x) que pasa por todos ellos. 3 Cuando x 0 < x < x N, la aproximación P(x) se conoce como valor interpolado. 4 Si se tiene x < x 0 o bien x N < x, entonces P(x) se conoce como valor extrapolado.
13 1 Si el error de los valores tabulados es significativo, entonces es mejor usar los métodos de ajuste de curvas (próximo capítulo). 2 Si los puntos (x k, y k ) tienen un grado alto de precisión, entonces podemos considerar el polinomio y = P(x) que pasa por todos ellos. 3 Cuando x 0 < x < x N, la aproximación P(x) se conoce como valor interpolado. 4 Si se tiene x < x 0 o bien x N < x, entonces P(x) se conoce como valor extrapolado.
14 1 Si el error de los valores tabulados es significativo, entonces es mejor usar los métodos de ajuste de curvas (próximo capítulo). 2 Si los puntos (x k, y k ) tienen un grado alto de precisión, entonces podemos considerar el polinomio y = P(x) que pasa por todos ellos. 3 Cuando x 0 < x < x N, la aproximación P(x) se conoce como valor interpolado. 4 Si se tiene x < x 0 o bien x N < x, entonces P(x) se conoce como valor extrapolado.
15 Contenido Preliminares 1 Preliminares Teorema 2
16 Interpolar significa estimar el valor desconocido de una función en un punto, tomando una media ponderada de sus valores conocidos en puntos cercanos al dado. En la interpolación lineal se utiliza un segmento rectilíneo que pasa por dos puntos que se conocen. La pendiente de la recta que pasa por dos puntos (x 0, y 0 ) y (x 1, y 1 ) es m = y 1 y 0 x 1 x 0,
17 Interpolar significa estimar el valor desconocido de una función en un punto, tomando una media ponderada de sus valores conocidos en puntos cercanos al dado. En la interpolación lineal se utiliza un segmento rectilíneo que pasa por dos puntos que se conocen. La pendiente de la recta que pasa por dos puntos (x 0, y 0 ) y (x 1, y 1 ) es m = y 1 y 0 x 1 x 0,
18 así que en la ecuación de la recta y = m(x x 0 ) + y 0 podemos sustituir m y obtener y = P(x) = y 0 + (y 1 y 0 ) x x 0 x 1 x 0. (1) (1) es un polinomio de grado 1 y la evaluación de P(x) en x 0 y x 1 produce P(x 0 ) = y 0 + (y 1 y 0 ) (0) = y 0, P(x 1 ) = y 0 + (y 1 y 0 ) (1) = y 1. (2)
19 J.L. Lagrange descubrió que se puede encontar este polinomio usando un método distinto: Si escribimos y = P 1 (x) = y 0 x x 1 x 0 x 1 + y 1 x x 0 x 1 x 0 = 1 y k L 1,k (x), (3) k=0 donde L 1,0 (x) = x x 1 x 0 x 1 y L 1,1 (x) = x x 0 x 1 x 0 son los polinomios coeficientes de Lagrange para los nodos x 0 y x 1. Nótese que cada uno de los sumandos del miembro derecho de (3) es un término lineal, por lo tanto P 1 (x) es un polinomio de grado 1.
20 Como L 1,0 (x 0 ) = 1, L 1,1 (x 0 ) = 0, L 1,0 (x 1 ) = 0, L 1,1 (x 1 ) = 1, entonces P 1 (x) definido en (3) también pasa por los dos puntos dados: P 1 (x 0 ) = y 0 + y 1 (0) = y 0, P 1 (x 1 ) = y 0 (0) + y 1 = y 1.
21 El polinomio interpolador de Lagrange cuadrático para los puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) es (x x 1 ) (x x 2 ) P 2 (x) = y 0 (x 0 x 1 ) (x 0 x 2 ) + y (x x 0 ) (x x 2 ) 1 (x 1 x 0 ) (x 1 x 2 ) + y (x x 0 ) (x x 1 ) 2 (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ).
22 El polinomio interpolador de Lagrange de grado N=3 para los puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) y (x 3, y 3 ) es (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ) P 3 (x) = y 0 (x 0 x 1 ) (x 0 x 2 ) (x 0 x 3 ) + y (x x 0 ) (x x 2 ) (x x 3 ) 1 (x 1 x 0 ) (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 3 ) +y 2 (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) (x 2 x 3 ) + y (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ) 3 (x 3 x 0 ) (x 3 x 1 ) (x 3 x 2 ).
23 Generalizando, para construir un polinomio P N (x) de grado N y que pase por N+1 puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x N, y N ) la fórmula es N P N (x) = y k L N,k (x), (4) k=0 donde L N,k es el polinomio coeficiente de Lagrange para los nodos x 0, x 1,..., x N definido por L N,k (x) = (x x Q N 0)... (x x k 1 ) (x x k+1 )... (x x N ) (x k x 0 )... (x k x k 1 ) (x k x k+1 )... (x k x N ) = j=0,j k (x x j) Q N j=0,j k (x k x j ).
24 Para cada k fijo, el polinomio coeficiente de Lagrange L N,k (x) tiene la siguiente propiedad: { 1, j = k L N,k (x j ) = 0, j k. (5)
25 La sustitución de (5) en (4) prueba que la curva polinomial y = P N (x) pasa por los puntos ( x j, y j ) : P N (x j ) = y 0 L N,0 (x j ) y j L N,j (x j ) y N L N,N (x j ) = y 0 (0) y j (1) y N (0) = y j. Aplicando el Teorema Fundamental del Álgebra se puede probar que P N (x) es único.
26 Teorema: Polinomio Interpolador de Lagrange Supongamos que f C N+1 [a, b] y que x 0, x 1,..., x N [a, b] son N+1 nodos de interpolación. Si x [a, b], entonces f (x) = P N (x) + E N (x), donde P N (x) es un polinomio que podemos usar para aproximar f (x): f (x) P N (x) = N f (x k ) L N,k (x), k=0
27 llamado polinomio interpolador de Lagrange de f para los nodos dados, y el término del error E N (x) se puede escribir como E N (x) = (x x 0) (x x 1 )... (x x N ) f N+1 (c), (N + 1)! para algún valor c = c(x) del intervalo [a, b].
28 Contenido Preliminares 1 Preliminares Teorema 2
29 En ocasiones es útil considerar varios polinomios aproximantes P 1 (x), P 2 (x),..., P N (x) y, después, elegir el más adecuado a las necesidades. Uno de los inconvenientes de los polinomios interpoladores de Lagrange es que no hay relación entre la construcción de P N 1 (x) y la de P N (x); cada polinomio debe construirse individualmente y se requieren muchas operaciones para calcular polinomios de grado elevado.
30 En ocasiones es útil considerar varios polinomios aproximantes P 1 (x), P 2 (x),..., P N (x) y, después, elegir el más adecuado a las necesidades. Uno de los inconvenientes de los polinomios interpoladores de Lagrange es que no hay relación entre la construcción de P N 1 (x) y la de P N (x); cada polinomio debe construirse individualmente y se requieren muchas operaciones para calcular polinomios de grado elevado.
31 Los polinomios interpoladores de Newton se calculan mediante un esquema recursivo P 1 (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ), (6) P 2 (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (x x 1 ), P 3 (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (x x 1 ) + a 3 (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ), P N (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (x x 1 ) + a 3 (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ) +a 4 (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ) a N (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 )... (x x N 1 ).
32 P N (x) se obtiene a partir de P N 1 (x) usando la recurrencia P N (x) = P N 1 (x) + a N (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 )... (x x N 1 ). Se dice que P N (x) es un polinomio de Newton con N centros x 0, x 1,..., x N 1.
33 Como P N (x) involucra sumas de productos de factores lineales, siendo a N (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 )... (x x N 1 ) el de mayor grado, entonces P N (x) es de grado N.
34 Diferencias Divididas: Queremos encontrar los coeficientes a k de todos los polinomios P 1 (x), P 2 (x),..., P N (x) que sirven para aproximar una función dada f (x). De (6a): f (x 0 ) = P 1 (x 0 ) = a 0 + a 1 (x 0 x 0 ) = a 0 a 0 = f (x 0 ). (7) De (6a) y (7): f (x 1 ) = P 1 (x 1 ) = a 0 +a 1 (x 1 x 0 ) = f (x 0 )+a 1 (x 1 x 0 ) a 1 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0.
35 Diferencias Divididas: Queremos encontrar los coeficientes a k de todos los polinomios P 1 (x), P 2 (x),..., P N (x) que sirven para aproximar una función dada f (x). De (6a): f (x 0 ) = P 1 (x 0 ) = a 0 + a 1 (x 0 x 0 ) = a 0 a 0 = f (x 0 ). (7) De (6a) y (7): f (x 1 ) = P 1 (x 1 ) = a 0 +a 1 (x 1 x 0 ) = f (x 0 )+a 1 (x 1 x 0 ) a 1 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0.
36 De (6b): f (x 2 ) = P 2 (x 2 ) = a 0 + a 1 (x 2 x 0 ) + a 2 (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) a 2 = f (x 2) a 0 a 1 (x 2 x 0 ) (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) = f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 x 2 x 0.
37 Definición Diferencias Divididas. Las diferencias divididas de una función f (x) se definen como: f [x k ] = f (x k ), f [x k 1, x k ] = f [x k] f [x k 1 ] x k x k 1, f [x k 2, x k 1, x k ] = f [x k 1, x k ] f [x k 2, x k 1 ] x k x k 2, f [x k 3, x k 2, x k 1, x k ] = f [x k 2, x k 1, x k ] f [x k 3, x k 2, x k 1 ] x k x k 3, f [x k j, x k j+1,..., x k ] = f [x k j+1,..., x k ] f [x k j,..., x k 1 ] x k x k j.
38 Tabla de diferencias divididas para y = f (x) x k f [x k ] f [, ] f [,, ] f [,,, ] f [,,,, ] x 0 f [x 0 ] x 1 f [x 1 ] f [x 0, x 1 ] x 2 f [x 2 ] f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2 ] x 3 f [x 3 ] f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 4 f [x 4 ] f [x 3, x 4 ] f [x 2, x 3, x 4 ] f [x 1, x 2, x 3, x 4 ] f [x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ]
39 Teorema: Supongamos que x 0, x 1,..., x N son N+1 números distintos en [a, b]. Entonces existe un único polinomio P N (x) de grado N tal que f ( x j ) = PN ( xj ) ; j = 0, 1,..., N. La forma de Newton de este polinomio interpolador es P N (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+...+a N (x x 0 ) (x x 1 )... (x x N 1 ), siendo a k = f [x 0, x 1,..., x k ] ; k = 0, 1,..., N.
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