Práctica 6 INTERPOLACIÓN

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1 Práctica 6 INTERPOLACIÓN 6.1. Interpolación Polinómica Datos de interpolación: 8Hx k, f k L< k=0,1,...,n Conocemos los valores de una función, f k = f Hx k L, en n + 1 puntos distintos, x k, de un intervalo [a,b] Funciones interpolantes: Polinomios de grado menor o igual que n p HxL = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Problema de interpolación: Determinar los coeficientes a 0, a 1,..., a n para que se cumplan las condiciones de interpolación: p Hx k L = f k, k = 0, 1,..., n Método de Lagrange Consiste en calcular previamente los polinomios L i HxL, i=0,1,...,n, llamados polinomio de Lagrange o funciones cardinales de Lagrange, que verifican: L i Hx i L = 1, L i Ix j M = 0, i j Estos polinomios vienen dados por la expresión El polinomio de interpolación se escribe entonces en la forma n x x j L i HxL = x i x j j=0 j i p HxL = f 0 L 0 HxL + f 1 L 1 HxL f n L n HxL = f i L i HxL n i=0 EJEMPLO 1 Calcular el polinomio que interpola al conjunto de datos {(-1,2),(2,8),(5,-3), (8,10)} Definimos los puntos In[1]:= puntos := 881, 2<, 82, 8<, 85, 3<, 88, 10<<

2 2 Practica6_Interpolacion.nb Definimos los nodos In[2]:= x 0 =1; x 1 = 2; x 2 = 5; x 3 = 8; In[3]:= f 0 = 2; f 1 = 8; f 2 =3; f 3 = 10; Calculamos los polinomios de Lagrange In[4]:= L = Hx x 1L Hx x 2 L Hx x 3 L Hx 0 x 1 L Hx 0 x 2 L Hx 0 x 3 L Out[4]= 1 H8 + xl H5 + xl H2 + xl 162 In[5]:= L = Hx x 0L Hx x 2 L Hx x 3 L Hx 1 x 0 L Hx 1 x 2 L Hx 1 x 3 L Out[5]= 1 H8 + xl H5 + xl H1 + xl 54 In[6]:= L = Hx x 0L Hx x 1 L Hx x 3 L Hx 2 x 0 L Hx 2 x 1 L Hx 2 x 3 L Out[6]= 1 H8 + xl H2 + xl H1 + xl 54 In[7]:= L = Hx x 0L Hx x 1 L Hx x 2 L Hx 3 x 0 L Hx 3 x 1 L Hx 3 x 2 L Out[7]= 1 H5 + xl H2 + xl H1 + xl 162 Cálculo del polinomio de inteprolación In[8]:= polisolu = f 0 L + f 1 L + f 2 L + f 3 L Out[8]= 1 81 H8 + xl H5 + xl H2 + xl + 4 H8 + xl H5 + xl H1 + xl H8 + xl H2 + xl H1 + xl + 5 H5 + xl H2 + xl H1 + xl 81

3 Practica6_Interpolacion.nb 3 In[9]:= Expand@polisoluD Out[9]= x 133 x2 41 x Visualización de resultados In[10]:= g1 = ListPlot@puntos, PlotStyle [email protected], DisplayFunction IdentityD; g2 = Plot@polisolu, 8x, 1.2, 8.2<, DisplayFunction IdentityD; Show@g1, g2, DisplayFunction $DisplayFunctionD 10 Out[12]= Método de Newton (Diferencias divididas) Consiste en escribir el polinomio de interpolación en la forma: p HxL = A 0 + A 1 Hx x 0 L + A 2 Hx x 0 Hx x 1 L A n1 Hx x 0 Hx x 1 L... Hx x n1 L Los coeficientes A k, que se denominan diferencias divididas de la función f en los puntos x 0, x 1,... x k, se denotan por A k = f [x 0, x 1,... x k ] y se generan de forma recursiva mediante la fórmula f@x 0, x 1,... x k D = f@x 1, x 2,... x k D f@x 0, x 1,... x k1 D, k = 1, 2,..., n Hx k x 0 L partiendo de f[x 0 ]=f(x 0 ). Con esta notación, el polinomio de interpolación puede escribirse como p HxL = f@x 0 D + f@x 0, x 1 D Hx x 0 L + f@x 0, x 1,x 2 D Hx x 0 L Hx x 1 L f@x 0, x 1,..., x n D Hx x 0 L Hx x 1 L... Hx x n1 L. EJEMPLO 2 Calcular el polinomio que interpola al conjunto de datos 8H5, 1L, H3, 2L, H2, 10L, H3, 2L, H6, 0L, H8, 3L<

4 4 Practica6_Interpolacion.nb Entrada de datos In[13]:= puntos = 885, 1<, 83, 2<, 82, 10<, 83, 2<, 86, 0<, 88, 3<<; Determinamos los nodos y los valores de la función In[14]:= n = Length@puntosD 1; For@i = 0, i n, i++, x i = puntos@@i + 1, 1DD; f i = puntos@@i + 1, 2DDD Generamos la tabla de diferencias divididas (creamos una matriz rectangular de orden (2n+2) (n+2) que llamanos dif y cuyos elementos son de la forma d[i,j], con i=-1,0,,2n y j=-1,0,, n. In[16]:= Clear@dD; dif = Array@d, 82 n + 2, n + 2<, 1D; A continuación rellenamos la matriz con espacios In[18]:= For@i =1, i 2 n, i++, For@j =1, j n, j ++, d@i, jd = " "DD Ahora rellenamos la primera y segunda filas (fila -1 y fila 0, respectivamente) con los datos de interpolación y ponemos de cabecera el texto x k y f k en la posición (-1,-1) y (-1,0), respectivamente. In[19]:= d@1, 1D = "x k "; d@1, 0D = "f k "; For@i = 0, i n + 1, i++, d@2 i, 1D = x i ;d@2 i, 0D = f i D; Visualizamos el resultado In[20]:= dif êê MatrixForm Out[20]//MatrixForm= x k f k Finalmente calculamos los restantes elementos de la tabla aplicando la ley de recurrencia In[21]:= ForBj = 1, j n, j++, ForBi = j, i 2 n j, i = i + 2, d@i + 1, j 1D d@i 1, j 1D d@i, jd = d@i + j, 1D d@i j, 1D FF

5 Practica6_Interpolacion.nb 5 Visualizamos el resultado final In[22]:= dif êê MatrixForm Out[22]//MatrixForm= x k f k Calculamos el polinomio de interpolación n k1 In[23]:= polisolu = d@k, kd Ix x j M k=0 j=0 Out[23]= x H3 + xl H5 + xl H2 + xl H3 + xl H5 + xl H3 + xl H2 + xl H3 + xl H5 + xl H6 + xl H3 + xl H2 + xl H3 + xl H5 + xl In[24]:= Expand@polisoluD Out[24]= x x x x x Visualizamos el resultado (en las variables xmin y xmax, guardamos el valor mínimo y máximo de los nodos)

6 6 Practica6_Interpolacion.nb In[25]:= xmin = Min@Table@x i, 8i, 0, n<dd; xmax = Max@Table@x i, 8i, 0, n<dd; g1 = ListPlot@puntos, PlotStyle [email protected]`D, DisplayFunction IdentityD; g2 = Plot@polisolu, 8x, xmin 0.2`, xmax + 0.2`<, DisplayFunction IdentityD; Show@g1, g2, DisplayFunction $DisplayFunctionD Out[29]= Interpolación polinómica con Mathematica El programa Mathematica puede calcular directamente el polinomio de interpolación mediante la instrucción: InterpolatingPolynomial[puntos, variable] Calcula el polinomio de interpolación en la variable especificada para el conjunto de puntos dados en la forma: puntos=88x 0, f 0 <, 8x 1, f 1 <,..., 8x n, f n <<. EJEMPLO 3 Determinar el polinomio que interpola al conjunto de puntos { (0,0), (3,2), (5,2), (7,3), (9,5), (11,3) } Introducimos los datos In[30]:= puntos := 880, 0<, 83, 2<, 85, 2<, 87, 3<, 89, 5<, 811, 3<< Calculamos el polinomio In[31]:= p@x_d = InterpolatingPolynomial@puntos, xd Out[31]= H9 + xl H7 + xl H5 + xl H3 + xl x

7 Practica6_Interpolacion.nb 7 In[32]:= Expand@%D Out[32]= x x x3 73 x x Visualizamos resultados In[33]:= grafpuntos = ListPlot@puntos, PlotStyle [email protected], DisplayFunction IdentityD; grafpoli = Plot@p@xD, 8x, 0.5, 11.5<, DisplayFunction IdentityD; Show@grafpuntos, grafpoli, DisplayFunction $DisplayFunctionD Out[35]= Interpolación con funciones splines Sea D una partición del intervalo [a,b], : a = x 0 < x 1 <... < x n = b. Un spline es una función polinómica a trozos en cada uno de los intervalos [x i, x i+1 ] de la partición. Notaremos por S k m HDL al conjunto de funciones de clase k que son polinomios a trozos de grado m en cada uno de los intervalos de la partición: S n k H L = 8s C m k H@a, bdl i+1 D m <, donde m denota el conjunto de polinomios de grado a lo sumo m. En lo sucesivo notaremos: D={x 0, x 1,..., x n } la partición dada por los nodos. h i = x i+1 - x i, a la amplitud del intervalo [x i, x i+1 ]. f i a los valores de la función que queremos interpolar. m i = H f i+1 - f i L ê h i, a la pendiente de la curva en el intervalo [x i, x i+1 ]. Interpolación con splines cúbicos: S 3 2 HDL

8 8 Practica6_Interpolacion.nb Funciones interpolantes: Splines en S 2 3 HDL. Se trata de funciones de clase 2 definidas a trozos mediante polinomios de grado 3 en cada intervalo de la partición. Problema de interpolación: Determinar un spline s Œ S 2 3 HDL tal que: s Hx i L = f i, i = 0, 1,..., n, y necesitamos imponer además 2 condiciones adicionales en los puntos frontera x 0 y x n. Por ejemplo si el espline satisface s'' Hx 0 L = 0ys'' Hx n L = 0 se dice que es un spline cúbico natural. EJEMPLO 4 Calcular el spline cúbico natural que interpola al conjunto de datos : {(-1,0), (3,1), (5,-3), (7,2)}, En este caso el spline será una función de clase 2 definida a trozos, mediante 3 polinomios de tercer grado, que escribiremos en la forma s HxL = a 0 + b 0 Hx + 1L + c 0 Hx + 1L 2 + d 0 Hx + 1L 3, a 1 + b 1 Hx - 3L + c 1 Hx - 3L 2 + d 1 Hx - 3L 3, a 2 + b 2 Hx - 5L + c 2 Hx - 5L 2 + d 2 Hx + 5L 3, x 3L x 5L x 7D con las condiciones adicionales: s'' Hx 0 L = s'' Hx n L = 0 Definimos los puntos In[36]:= puntos = 881, 0<, 83, 1<, 85, 3<, 87, 2<<; Definimos cada uno de los trozos que definen el spline In[37]:= s := a 0 + b 0 Hx + 1L + c 0 Hx + 1L 2 + d 0 Hx + 1L 3 ; s := a 1 + b 1 Hx 3L + c 1 Hx 3L 2 + d 1 Hx 3L 3 ; s := a 2 + b 2 Hx 5L + c 2 Hx 5L 2 + d 2 Hx 5L 3 Imponemos las condiciones de interpolación In[40]:= ecu1 = s 0 Out[40]= a 0 0 In[41]:= ecu2 = s 1 Out[41]= a 1 1

9 Practica6_Interpolacion.nb 9 In[42]:= ecu3 = s 3 Out[42]= a 2 3 In[43]:= ecu4 = s 2 Out[43]= a 2 + 2b 2 + 4c 2 + 8d 2 2 Imponemos las condiciones de continuidad (en nodos interiores) In[44]:= ecu5 = s s Out[44]= a 0 + 4b c d 0 a 1 In[45]:= ecu6 = s s Out[45]= a 1 + 2b 1 + 4c 1 + 8d 1 a 2 Imponemos las condiciones de derivabilidad: clase 1 (en nodos interiores) In[46]:= ecu7 = s 0 '@3D s 1 '@3D Out[46]= b 0 + 8c d 0 b 1 In[47]:= ecu8 = s 1 '@5D s 2 '@5D Out[47]= b 1 + 4c d 1 b 2 Imponemos las condiciones de derivabilidad: clase 2 (en nodos interiores) In[48]:= ecu9 = s 0 ''@3D s 1 ''@3D Out[48]= 2c d 0 2c 1 In[49]:= ecu10 = s 1 ''@5D s 2 ''@5D Out[49]= 2c d 1 2c 2

10 10 Practica6_Interpolacion.nb Imponemos la condición en la frontera s''(-1)=s''(7)=0 In[50]:= ecu11 = s 0 ''@1D 0 Out[50]= 2c 0 0 In[51]:= ecu12 = s 2 ''@7D 0 Out[51]= 2c d 2 0 Resolvemos el sistema formado por todas las ecuaciones In[52]:= coeficientes = Solve@8ecu1, ecu2, ecu3, ecu4, ecu5, ecu6, ecu7, ecu8, ecu9, ecu10, ecu11, ecu12<d Out[52]= ::a 0 0, a 1 1, a 2 3, c 0 0, c ,d , b ,b ,c ,d ,b ,d >> Sustituimos los coeficientes en las expresiones de s 0 HxL, s 1 HxL y s 2 HxL In[53]:= sp0@x_d = s ê. coeficientes@@1dd Out[53]= 131 H1 + xl H1 + xl3 368 In[54]:= sp1@x_d = s ê. coeficientes@@1dd Out[54]= H3 + xl H3 + xl H3 + xl3 368 In[55]:= sp2@x_d = s ê. coeficientes@@1dd Out[55]= x H5 + xl2 117 H5 + xl3 368 Nuestra función spline vendrá dada por In[56]:= s@x_d := Which@1 x < 3, sp0@xd, 3 x < 5, sp1@xd, 5 x 7, sp2@xdd

11 Practica6_Interpolacion.nb 11 Visualizamos los resultados In[57]:= grafpuntos = ListPlot@puntos, PlotStyle [email protected]`D, DisplayFunction IdentityD; grafspline = Plot@s@xD, 8x, 1, 7<, DisplayFunction IdentityD; Show@grafpuntos, grafspline, DisplayFunction $DisplayFunctionD 2 1 Out[59]= Ejercicios propuestos EJERCICIO 1.- Calcular usando el método de Newton (diferencias divididas) el polinomio p(x) que interpola a la función f(x)=ln(x) en los puntos que resulta de dividir [1,4] en 6 partes iguales. EJERCICIO 2.- Los datos correspondientes al censo de una población (en miles de habitantes) se recogen en la siguiente tabla: Año Número habitantes a) Utilizar interpolación polinómica para estimar el número de habitantes en el año b) Cuál será la población estimada para el año 2020?. Comentar el resultado obtenido.

12 12 Practica6_Interpolacion.nb EJERCICIO 3.- Aproximar el perfil superior del pato de la imagen interpolando en los 21 puntos señalados mediante: a) Un polinomio b) Un spline cúbico natural c) Qué función proporciona un resultado más satisfactorio?