Interpolación Polinomial

Transcripción

1 Pantoja Carhuavilca Métodos Computacionales

2 Agenda y Interpolacion de y Interpolacion de

3 Dado un conjunto de datos conocidos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x N, y N ) buscamos una función f : R R que satisfaga f (x i ) = y i, i = 0,..., N 3 y Interpolacion de

4 Dado un conjunto de datos conocidos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x N, y N ) buscamos una función f : R R que satisfaga f (x i ) = y i, i = 0,..., N 3 y Interpolacion de f es una función interpolante o interpolador

5 Dado un conjunto de datos conocidos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x N, y N ) buscamos una función f : R R que satisfaga f (x i ) = y i, i = 0,..., N f es una función interpolante o interpolador El interpolador f puede ser polinomio spline 3 y Interpolacion de

6 Trazado de curvas a través de un conjunto discreto de datos. 4 Determinar valores intermedios de una tabla de datos. Derivar e integrar a partir de una tabla de datos. y Interpolacion de Evaluar de manera fácil una función matemática. Reemplazar una función complicada por una simple.

7 Funciones utilizadas como interpoladores Polinomios Funciones trigonométricos Funciones exponenciales Funciones racionales Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f (x i ) = y i ) presenta problemas cuando los datos están sujetos a errores significativos. 5 y Interpolacion de

8 6 y Interpolacion de

9 Teorema de Aproximación de Weierstrass Teorema Sea f : [a, b] R continua. Para todo ɛ > 0, existe un polinomio P(x) definido sobre [a, b] tal que: f (x) P(x) < ɛ x [a, b] y 7 Interpolacion de

10 Teorema Si x 0, x 1,..., x N son números reales distintos, entonces para N + 1 valores arbitrarios y 0, y 1,..., y N existe un único polinomio P N de grado a lo sumo N tal que P N (x i ) = y i, i = 0,..., N Observaciones El teorema generaliza: Por 2 puntos distintos del plano pasa una y sólo una línea recta (polinomio de grado 1) x Dado una tabla de datos 0 x 1... x N y 0 y 1... y N existe uno y sólo un polinomio P N de grado N tal que P N (x i ) = y i. Aunque el polinomio es único, existen diversas formas de expresarlo y diferentes algoritmos para determinarlos.

11 Polinomio interpolador Asumimos un conjunto de puntos discretos {x 0, x 1,..., x N } con los valores correspondientes {f (x 0 ), f (x 1 ),..., f (x N )} Construimos una función f (x) que pasa por (x i, f (x i )) por medio de la N f (x) P N (x) = a k φ k (x) i=0 P N (x) es el polinomio interpolante. φ k (x) son polinomios conocidos a priori y forman una base. a k son coeficientes por determinar. y 9 Interpolacion de

12 de Consideremos como bases los monomios φ k (x) = x k, k = 0,..., N Para la base dada obtenemos la representación P N (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a N x N donde a 0, a 1,..., a N son constantes a determinar. y 10 Interpolacion de

13 de Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar x i en f (x) se pueden expresar matricialmente como 1 x 0 x x0 N a 0 f (x 0 ) 1 x 1 x x1 N a 1 f (x 1 ) x N xn 2... x N N. = a N Va=f V es la matriz de y. det(v) = 0 i<j N (x j x i ) 0. f (x N ) y 11 Interpolacion de

14 Ejemplo Ejemplo Determine el polinomio de grado 2 que interpola los tres dados ( 2, 27), (0, 1), (1, 0) y 12 Interpolacion de Solución

15 El polinomio está dado por P 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 Para este caso el sistema está dado por a a 1 = a 2 0 [ ] T La solución está dada por y P 2 (x) = 1 + 5x 4x 2 y 13 Interpolacion de

16 de Como base tomamos los polinomios básicos de definidos por L k (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x N ) (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x N ) N (x x i ) = (x k x i ) i = 0 i k Propiedades Lk es un polinomio { de grado N 1 si k = j L k (x j ) = 0 si k j y 14 Interpolacion de

17 El polinomio de interpolación de está dado por P N (x) = f (x 0 )L 0 + f (x 1 )L f (x N )L N = n f (x k )L N (x) k=0 El polinomio de interpolación de es de grado N y pasa por los N + 1 puntos (x 0, f (x 0 )),..., (x N, f (x N )) y 15 Interpolacion de

18 de Ejemplo Dado los siguientes puntos x y hallar los polinomios básicos de lagrange y el polinomio interpolante. Solución: L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) L 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) L 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = = = (x 0.5)(x 1) (0 0.5)(0 1) (x 0)(x 1) (0.5 0)(0.5 1) (x 0)(x 0.5) (1 0)(1 0.5) y 16 Interpolacion de

19 de Polinomios Basicos de : L 0 (x) = 2x 2 3x + 1 L 1 (x) = 4x 2 + 4x L 2 (x) = 2x 2 x Polinomio de : y 17 P 2 (x) = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 = 1(2x 2 3x + 1) + 0.8( 4x 2 + 4x) + 0.5(2x 2 x) = 0.2x 2 0.3x + 1 Interpolacion de

20 Ejemplo Determine el polinomio de lagrange para f (x) = 1 en los x puntos x 0 = 2, x 1 = 2.25, x 2 = 4 y utilícelo para aproximar f (3) Solución: (x 2.5)(x 4) L 0 (x) = (2 2.5)(2 4) = x 2 6.5x + 10 (x 2)(x 4) L 1 (x) = (2.5 2)(2.5 4) = 4 3 x 2 + 8x 32 3 (x 2)(x 2.5) L 2 (x) = (4 2)(4 2.5) = 1 3 x x P(x) = f (2)L 0 (x) + f (2.5)L 1 (x) + f (4)L 2 (x) = 0.05x x f (3) P(3) = 0, 325

21 Observación El método de tiene un inconveniente y es que la forma obtenida es mala para operar: para sumarlo con otra función, para derivar, integrar, etc. Por lo que la respuesta es sólo formal y hay que realizar mucho cálculo para obtener la expresión final en la forma a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. De hecho hay otro inconveniente, más sutil que el anterior. Es natural que en el contexto de mediciones y experimentos que nombrámos en la introducción del tema se incorporen nuevos datos. Qué ocurre si nos dan otro dato más (x n+1, f (x n+1 ))? A través de esta vía hay que construir todos los polinomios de de nuevo! (lo realizado antes es trabajo inútil). Ambos motivos nos conducen a replantear el problema por otra vía más eficiente. y 19 Interpolacion de

22 de Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos el siguiente cambio de base k 1 φ k (x) = (x x i ) i=0 Ahora f (x) es aproximada por y 20 Interpolacion de P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) +... a n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )

23 La k-ésima diferencia dividida f [x i, x i+1,..., x i+k 1, x i+k ] = f [x i+1, x i+2,..., x i+k ] f [x i, x i+1,..., x i+k 1 ] x i+k x i Los coeficientes son a k = f [x 0, x 1, x 2,..., x k ] y y Interpolacion de 21 n P n (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1,..., x k ](x x 0 ) (x x k 1 ) k=1

24 Tabla de diferencias divididas y Interpolacion de 22

25 Diferencia Dividida de Implementación en MATLAB function F=divideddifference(x,f) y n=length(x)-1; F=zeros(n+1,n+1); F(:,1)=f(:); for i=1:n for j=1:i F(i+1,j+1)=(F(i+1,j)-F(i,j))/(x(i+1)-x(i-j+1)); end end Interpolacion de 23

26 Ejemplo Ejemplo Dado los siguientes puntos x y hallar el polinomio interpolante de. Solución: y Interpolacion de 24

27 Obtenemos el polinomio de interpolación: P 2 (x) = f (x 0 )+f [x 0, x 1 ](x x 0 )+f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) P 2 (x) = 1 0.4(x 0) 0.2(x 0)(x 0.5) P 2 (x) = 0.2x 2 0.3x + 1 y Interpolacion de 25

28 Ejemplo Use diferencias divididas para encontrar el polinomio de interpolación que pasa por los puntos (0, 1), (2, 5) y (4, 17) y Interpolacion de 26 p(x) = 1 + 2x + x(x 2) = 1 + x 2

29 Ejercicio Ejercicio Añada el punto (3, 16) a los puntos anteriores y encuentre el polinomio interpolante. Solución: P(x) = 2x x 2 16x + 1 y Interpolacion de 27

30 Se define para un conjunto de puntos (x 0, f 0 ); (x 1, f 1 );... ; (x n, f n ), igualmente espaciados para x; es decir, x i+1 x i = h; para i = 0, 1,..., n 1. Diferencia Finita hacia adelante o progresiva Diferencia finita de primer orden f k = f k+1 f k Diferencia finita de segundo orden y Interpolacion de 2 f k = f k+1 f k 28 Diferencia finita de orden n n f k = n 1 f k+1 n 1 f k

31 Tabla de y Interpolacion de 29

32 Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Progresivas Se debe hallar una relación entre las diferencias finitas y divididas f [x 0, x 1, x 2,..., x k ] = k f 0 k!h k Reemplazando en el polinomio basado en diferencias divididas se tiene: y Interpolacion de P n (x) = f 0 + f 0 1!h 1 (x x 0) + 2 f 0 2!h 2 (x x 0)(x x 1 ) n f 0 n!h n (x x 0)... (x x n 1 )

33 Teniendo en cuenta que los intervalos se tomarán igualmente espaciados (h = x i+1 x i ) para x, y haciendo el cambio de variable s = x x 0 h P n (s) = f 0 +s f 0 + s(s 1) 2 s(s 1)(s 2) f f ! 3! s(s 1)... (s n + 1)... + n f 0 n! ( ) n s = f 0 + k f 0 k k=1 y Interpolacion de 31

34 Error de Teorema Sea f C n+1 [a, b] y p el polinomio de grado n que interpola a f en los n + 1 puntos x 0, x 1,..., x n del intervalo [a, b]. Para cada x [a, b] existe un ξ = ξ(x) a, b tal que 1 n f (x) p(x) = (n + 1)! f (n+1) (ξ) (x x i ) i=0 y Interpolacion de 32

35 Ejemplo Estime el error cometido al aproximar la función f (x) = sin(x) por medio del polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo [0, 1] Solución La cota de error está dado por f (x) p(x) = 1 n 10! f (10) (ξ) (x x i ) i=0 Por otra parte: [f (10) (ξ) = sin ξ f (10) (ξ) 1 y x [0, 1] n i=0 (x x i ) 1 Luego f (x) p(x) !

36 Ejemplo Se desea tabular la función f (x) = cos(x)e x definida en [ π, π] mediante puntos equiespaciados. Cúantos puntos son necesarios para que al interpolar linealmente entre dos valores consecutivos el error entre la función y el interpolante no supere a 0.5. Solución: f (x) P 1 (x) = f (ξ) (x x 0 )(x x 1 ) M h 2 2! 2 4 < 0.5 Tomando como caso critico x = x 0 + x 1 y 2 M = máx ξ [ π,π] f (ξ) Dado que: f (x) = 2 sin(x)e x Entonces: M = 2e π, por lo tanto h < y Interpolacion de 34 N > 2π h N = 22

37 Ejemplo Encuentre una cota superior para la diferencia en x = 0.25 y x = 0.75 entre f (x) = e x y el polinomio de interpolación en los puntos 1; 0.5; 0; 0.5; 1. Solución: Con cinco puntos el polinomio de interpolación será de grado menor o igual a cuatro, P 4 (x). De la fórmula de error de interpolación se obtiene y Interpolacion de f (x) P 4 (x) = (x + 1)(x + 0.5)x(x 0.5)(x 1) 5! f (5) (ξ) 35 donde 1 ξ 1

38 La quinta derivada de e x en ξ es f (5) (ξ) = e ξ Como e x es una función creciente su máximo lo obtiene en el extremo derecho del intervalo, f (5) (x) e 1 en [ 1, 1] La fórmula de error queda y f (x) P 4 (x) (x + 1)(x + 0.5)x(x 0.5)(x 1) e 5! Interpolacion de 36

39 Así que en x = 0.25 el error de interpolación está acotado por e P 4 (0.25) e Y en x = 0.75 el error queda acotado por e P 4 (0.75) e el cúal es más grande. y Interpolacion de 37

40 Error de para Teorema Sea f C n+1 [a, b] y p el polinomio de grado n que interpola a f en los n + 1 puntos x 0, x 1,..., x n del intervalo [a, b]. Entonces n f (x) p(x) = f [x 0, x 1,..., x n, x] (x x i ) i=0 Se suele aproximar el error considerando x = x n+1, es decir, se requiere un punto adicional. y Interpolacion de 38

41 Ejemplo Dada la siguiente tabla de datos Hallar el polinomio cuadrático interpolante de. Interpolar para x = 0.17 Hallar el error cometido.

42 Solución P 2 (x) = f 0 + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1.x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) Reemplazando: P 2 (x) = (x 0.1) (x 0.1)(x 0.2) P 2 (0.17) = Podemos aproximar el error de la siguiente forma e n (x) = f [x 0, x 1,..., x n+1 ](x x 0 )(x x 1 )... (x x n ) e 2 (x) = f [x 0, x 1, x 2, x 3 ](x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) y Interpolacion de 40 e 2 (0.17) = ( ) ( ) ( ) e 2 (0.17) =

43 Observaciones Si P interpola a f en los n + 1 puntos x 0, x 1,..., x n 1 n f (x) P(x) = (n + 1)! f (n+1) (ξ) (x x i )...( ) i=0 con ξ [x 0, x n ]. ξ es desconocido y ( ) sólo es útil si la derivada está acotada Si f (n+1) (x) < M y h = máx{x i+1 x i ; i = 0, 1,..., n}, máx x [x0,x n] f (x) P(x) Mhn+1 (n + 1)! El error disminuye a medida que n crece y h disminuye, solo si f n+1 (x) está acotada. Aumentar el grado del polinomio no garantiza una mejor (puede aparecer oscilaciones entre los puntos de interpolación). y Interpolacion de