INTERPOLACIÓN (Sobre polinomios)

Transcripción

1 INTERPOLACIÓN (Sobre polinomios) Prof. Arturo Hidalgo LópezL Prof. Alfredo López L Benito Prof. Carlos Conde LázaroL Marzo,

2 OBJETIVOS 1º. Conocer el problema general de interpolación polinomial 2º. Calcular polinomios interpoladores de Lagrange a través de la resolución de un sistema de ecuaciones 3º. Conocer y definir los polinomios de base de Lagrange del espacio de polinomios de grado menor o igual que n asociados a un soporte de (n+1) puntos distintos. 4º. Calcular polinomios interpoladores de Lagrange utilizando los polinomios de base de Lagrange. 2

3 de de variable real La función x x + 5 x 2 es un polinomio? SI La función x sin(14) 17 sin(x) + 5 x 2 es un polinomio? La función x 1+ sin(x) 2 ln(x) sin 2 (x) es un polinomio? NO NO Son polinomios reales de variable real todas aquellas funciones que se pueden expresar en la forma: x a a 1 x + a 2 x a n x n donde: a 0, a 1,., a n son números reales {1, x, x 2,, x n } forman la base de los monomios 3

4 El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que n está formado por todos los polinomios de la forma: x a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n y se denota por P n 4

5 Se pueden sumar polinomios de P n : x a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n + x b 0 + b 1 x + b 2 x b n x n x (a 0 +b 0 ) +(a 1 +b 1 ) x+(a 2 +b 2 ) x (a n +b n ) x n y el resultado es otro polinomio de P n Se puede multiplicar un polinomio de P n por un número real x a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n α x (α a 0 ) +(α a 1 ) x+(α a 2 ) x (α a n ) x n y el resultado es otro polinomio de P n 5

6 El que 1º) la suma de polinomios de P n sea otro polinomio de P n 2º) la multiplicación de un polinomio de P n por un número real sea otro polinomio de P n se expresa diciendo que P n tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL Ejercicio propuesto: EL conjunto formado por todos los polinomios de grado IGUAL a n es también un espacio vectorial? 6

7 El que P n sea un espacio vectorial tiene otras consecuencias. La principal es que todo polinomio de P n puede expresarse de forma única y exclusiva en función de cualquier BASE de P n. x a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n donde: a 0, a 1,., a n son los COEFICIENTES (números reales mediante los que se identifica el polinomio en la BASE {1, x, x 2,, x n } ) Y una base no es más que un conjunto de (n+1) polinomios de P n escogidos de forma que cualquiera de ellos no pueda obtenerse sumando los demás, ni aún en el caso de que cada uno de ellos se multiplique por un número real. 7

8 La función x x + 5 x 2 es un polinomio? SI La función x (x-1) + 5 (x-1) (x-3) es un polinomio? 2+3 (x-1)+5 (x-1) (x-3) = 2+3 x-3 +5 (x 2-4 x + 3) = = x + 5 x 2 SI Y, ADEMÁS ES EL MISMO POLINOMIO. Se está utilizando una base de P 2 distinta a la de los monomios 8

9 EJERCICIO Dados (n+1) abscisas distintas {x 0, x 1,., x n ) demostrar que: {1, (x-x 0 ), (x-x 0 ) (x-x 1 ),., (x-x 0 ) (x-x 1 ) (x-x n )} son una base de P n PARA DEMOSTRARLO OBSERVEMOS QUE LOS (n+1) POLINOMIOS SON DE P n Y RECORDEMOS QUE. 9

10 Un polinomio no nulo de grado 0 (es decir, x a 0 0) se representa por una recta horizontal que no corta al eje de abscisas Tiene 0 raíces Un polinomio no nulo de grado 1 (es decir, x a 0 +a 1 x) se representa por una recta que a lo sumo corta al eje de abscisas una vez Tiene, a lo sumo, una raíz Un polinomio no nulo de grado 2 se representa por una parábola (o una recta si el coeficiente en x 2 es nulo) que a lo sumo corta al eje de abscisas dos veces Tiene, a lo sumo, dos raíces Un polinomio no nulo de grado m. Tiene, a lo sumo, m raíces 10

11 1 No se anula en x m (Grado 0) Cualquier combinación de ellos se NO será de grado (m+1) por lo que (x-x 0 ) Se anula en x 0 pero no x m (Grado 1) NO puede dar como resultado el polinomio p (x-x 0 ) (x-x m-1 ) Se anula en x 0,, x m-1, pero NO se anula en x m (Grado m) p: (x-x 0 ) (x-x m-1 ) (x-x m ) Se se anula en x 0,, x m-1, x m (Grado m+1) (x-x 0 ) (x-x m-1 ) (x-x m ) (x-x m+1 ) Se se anula en (Grado m+2) x 0,, x m-1, x m, x m+1 (Grado n) (x-x 0 ) (x-x n ) Se se anula en x 0,, x m-1, x m, x m+1,,x n Cualquier combinación de ellos se anula en x 0,, x m-1, x m y x m+1 por lo que NO puede dar como resultado el polinomio p 11

12 1 No se anula en x m (Grado 0) Cualquier combinación de ellos será de grado distinto a (m+1) por lo (x-x 0 ) Se anula en x 0 pero no x m (Grado 1) que NO puede dar como resultado el polinomio p (x-x 0 ) (x-x m-1 ) Se anula en x 0,, x m-1, pero NO se anula en x m (Grado m) p: (x-x 0 ) (x-x m-1 ) (x-x m ) Se se anula en x 0,, x m-1, x m (Grado m+1) (x-x 0 ) (x-x m-1 ) (x-x m ) (x-x m+1 ) Se se anula en (Grado m+2) x 0,, x m-1, x m, x m+1 (Grado n) (x-x 0 ) (x-x n ) Se se anula en x 0,, x m-1, x m, x m+1,,x n 12

13 La función x x + 5 x 2 es un polinomio? SI La función x (x-1) + 5 (x-1) (x-3) es un polinomio? Y, ADEMÁS ES EL MISMO POLINOMIO. SI La función x 2 (x-3) (x-4) + 8 (x-1) (x-4) + 26 (x-1) (x-3) (1-3) (1-4) (3-1) (3-4) (4-1) (4-3) es un polinomio? SI Se utiliza una base de P 2 distinta a las antes usadas 13

14 EJERCICIO Dados (n+1) abscisas distintas {x 0, x 1,., x n ) demostrar que los polinomios: L(x) i son una base de P n ( x xj ) (x x )... (x x ) (x x )... (x x ) (x x )... (x x ) (x x )... (x x ) (x x ) n 0 i 1 i+ 1 n = = i 0 i i 1 i i+ 1 i n j= 0 i j j i Demostración: Ejercicio propuesto (0 i n) Pista: Comparar las raíces de los polinomios L i (x) y utilizar el hecho de que un polinomio de grado n sólo puede tener n raíces 14

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