ACTIVIDADES INICIALES. 14.I. Con ayuda de la calculadora, obtén la suma de los cien primeros términos de esta progresión: 5, 5, 5 5, 25, 25 5,...

Transcripción

1 Solucionario 4 Integral definida ACTIVIDADES INICIALES 4.I. Con ayuda de la calculadora, obtén la suma de los cien primeros términos de esta progresión: 5, 5, 5 5, 5, 5 5,... 4.II. Epresa la función f ( ) = + + como una función definida a trozos. 4.III. Desarrolla estas sumas: 4 a) i = 6 b) i = (5 i) ( + i)( i i ) 4.IV. Encuentra los puntos de intersección entre las parábolas: f ( ) = 6 y g( ) =. EJERCICIOS PROPUESTOS 4.. Obtén con el método visto el área del trapecio limitado por la recta y = +, el eje horizontal y las verticales = y = 4. Comprueba el resultado calculando el área geométricamente. Solucionario

2 4.. Obtén una fórmula para n. Para ello procede de forma análoga a la del primer ejemplo, desarrollando las cuartas potencias de (n + ). 4.. Calcula el área limitada por la curva y = +, el eje horizontal y las rectas = y =. Toma en cada subintervalo como c el etremo izquierdo. i 4.4. Sea f continua en [, 4] y g() = f() +. Si 4 f( ) d = 5, calcula 4 gt () dt Si a) 4 f ( ) d =, 8 f ( ) d = y f( ) d b) f ( ) d =, halla: f( ) d c) f( ) d Solucionario

3 Solucionario 4.6. Halla el valor medio de estas funciones: a) b) c) Y Y f g O X O X Y h() = 4 + O X 4.7. Calcula: + tg t a) dt b) tgt 4 ( ) d Solucionario

4 4.8. Halla 4 a) d b) e e ln(ln ) d 4.9. Calcula las derivadas de las funciones: a) f( ) = tgtdt b) g ( ) e a = aeda. 4.. Halla las derivadas de las siguientes funciones: a) f( ) = sentdt b) g ( ) e dt =. + t 4.. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de y =, el eje X y las rectas = y = Calcula el área de la región finita limitada por el eje horizontal y la gráfica de y =. 4.. Calcula el área de la región encerrada entre las gráficas de f ( ) = y g ( ) =. Solucionario

5 Solucionario 4.4. Calcula el área de la región limitada por estas cuatro curvas: y = + 5, y =, y =, y = Calcula el volumen de un sólido cuya base es un círculo de radio y en el que las secciones transversales perpendiculares a la base son triángulos equiláteros Halla el volumen del sólido que se forma al girar la región bajo la gráfica de y = + cos en [, ] Halla el volumen de un sólido S cuya base es la región {( y, ) tal que y } transversales perpendiculares a la base son cuadrados. y cuyas secciones 4 Solucionario

6 4.8. Halla la longitud de la catenaria e + e y = entre = y = La densidad de coches ρ () (en coches por km) en los primeros km de una autovía de salida de una gran ciudad viene dada por la función ρ( ) = ( + sen 4 +,5 ) comienzo de la autovía. siendo la distancia en km al a) Escribe una suma de Riemann para hallar el número de coches en esos km con cinco intervalos de igual longitud tomando como punto muestra el etremo izquierdo. b) Calcula el número total de coches en esos km y compara el resultado obtenido con el del apartado a. 4.. Circulandia, una típica ciudad, está muy poblada cerca del centro pero su población decrece cuando nos alejamos de él. En efecto, su densidad de población es ( r) habitantes/km siendo r la distancia al centro en km. a) Si la densidad de población en los confines de la ciudad es, cuál es el radio de la zona en la que viven? b) Cuál es la población de la ciudad? Solucionario 5

7 Solucionario EJERCICIOS Área bajo una curva 4.. Halla el área de la región sombreada utilizando los diferentes métodos propuestos y comprueba que siempre obtienes el mismo resultado: Y a) Dividiendo el intervalo [, ] en n subintervalos de longitud n, tomando como altura de cada rectángulo la ordenada de su etremo derecho y calculando, finalmente, el límite de la suma de las áreas de los rectángulos cuando n. O X b) Procediendo como en a pero tomando como altura de cada rectángulo la ordenada de su etremo izquierdo. c) Hallando una primitiva F de la función cuya gráfica es la recta oblicua que limita la región y calculando F() F(). d) Utilizando la fórmula geométrica que da el área de un trapecio. 4.. Calcula el área limitada por la curva y = +, el eje horizontal y las rectas verticales = y =. 6 Solucionario

8 4.. Determina el área de la región limitada por la función f ( ) =, el eje horizontal y las rectas verticales = y =. Para ello, utiliza la epresión: + ( n ) n n =. Sumas de Riemann. Integral definida 4.4. Esboza la gráfica de f ( ) = en [, ] y divide este intervalo en 5 subintervalos para probar que:, < d <, ,, 4,6,8,, 4,6, (PAU) Sin calcular las integrales, justifica cuál de ellas es mayor: A = sen d B = sen d 4.6. (PAU) Contesta, razonando la respuesta, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: b c c b d) Si f( ) d = a b a a a) f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d b) f ( ) g ( ) d = f ( ) d g ( ) d y f ( ) > para todo, entonces a = b. b b b b b b e) a a [ + ] = + a a a a b c) Si f( ) d =, entonces a = b. a f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d Solucionario 7

9 Solucionario Teorema del valor medio 4.7. Halla el valor medio de la función alcanza dicho valor medio. f ( ) = ( ) en el intervalo [, ] y la abscisa del punto en el que se 4.8. La siguiente región está limitada superiormente por la gráfica de la función y = e. Y Halla la altura que debe tener un rectángulo de base para que su área sea igual a la de la región sombreada. O X 4.9. (PAU) Sea f : [, ] R continua en [, ] tal que: f () t dt = f () t dt. Se puede asegurar que eisten b y c en [, ] tales que b, c respuesta. y f (b) = f (c)? Justifica la 4.. Para hacer un estudio sobre la capacidad de memorizar de un niño se utiliza el siguiente modelo: si es su edad en años, entonces su capacidad de memorizar viene dada por: f( ) = + ln siendo 5. Calcula el valor medio de capacidad de memorizar de un niño entre su primer y su tercer cumpleaños. 8 Solucionario

10 4.. (TIC) Calcula las siguientes integrales definidas: La regla de Barrow a) d arctg d c) + b) sen d ( ) d) d e) + + f) + ( ) e d d Solucionario 9

11 Solucionario 4.. Calcula el área que encierra una loma de la función f() = sen. 4.. Calcula el valor de la integral sen d La función f ( ) = nunca es negativa por lo que cualquier suma de Riemann sería positiva y el límite 4 de cualquier suma de Riemann positivo. Qué es erróneo entonces en el siguiente razonamiento? 4.5. Calcula una aproimación por eceso y otra por defecto de ln utilizando una partición en cinco subintervalos para calcular d Sabiendo que 5,487, puedes encontrar otra aproimación de ln haciendo una partición en cinco subintervalos para calcular d n [ ( ) ] ln lim n =. n +. Utiliza la integral anterior y la regla de Barrow para demostrar que Solucionario

12 Funciones definidas por una integral. Teorema fundamental del cálculo 4.7. Calcula la derivada de las siguientes funciones: sent a) f( ) = dt c) t f( ) = cos dt t b) dt f( ) =, > d) t + t f( ) = e dt 4.8. Calcula lim h + h + 8d. h 4.9. (PAU) Dada la función t g ( ) = e dt, tiene g() puntos de infleión? Razona tu respuesta (PAU) Calcula la derivada de la función f( ) = cost dt. Solucionario

13 Solucionario 4.4. Calcula la derivada de estas funciones: a) f ( ) = t dt c) f ( ) = sen b) f ( ) = t dt d) f ( ) = + t dt t dt 4.4. Calcula la derivada de estas funciones: a) f( ) = dt b) ln( t + ) f( ) = dt ln( t + ) c) f( ) = sen dt d) ln( t + ) f( ) = + dt. ln( t + ) 4.4. (PAU) Sea F( ) = lnt dt con. a) Calcula F (e). b) Es una función constante? Justifica tu respuesta. Solucionario

14 4.44. (PAU) Sea la función ( ) sent F = dt definida para. Halla los valores de en los que alcanza t sus máimos y mínimos relativos (PAU) Dada la función t, definida para todo F( ) = ( t ) e dt R: a) Calcula F (), estudia el crecimiento de F() y halla las abscisas de sus máimos y mínimos relativos. b) Calcula F ( ), estudia la concavidad y conveidad de F() y halla las abscisas de sus puntos de infleión. b b Demuestra la siguiente igualdad: f ( ) d = f ( b ) d. Para ello, realiza el cambio t = b (PAU) Sea F() la función definida por e t F( ) = e dt. Halla los puntos en los que se anula la función F () (PAU) Sea F( ) = e dt. Calcula F (). t Solucionario

15 Solucionario (PAU) Halla el punto del intervalo [, ] en el que la función ( ) t f = dt alcanza su valor mínimo. + t 4.5. (PAU) a)calcula los etremos relativos y absolutos de la función f : [ 7, ] R definida por f ( ) = b) Sea β el punto en el que f alcanza su máimo absoluto. Calcula β f ( ) d (PAU) a) Si f es una función continua, obtén () b) Si f () = y además (, F ()).. F siendo: ( ) = ( ( ) + + ) F f t t t dt ftdt= (), halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F () en el punto 4.5. Dada 4 f ( ) =, determina el valor del parámetro a > para el que ( + ) a f ( ) d =. t 4.5. (PAU) Sean las funciones F ) = 5 + e dt ( y g() = ; calcula ( ( g() )) F. 4 Solucionario

16 4.54. Calcula e dt lim. + t e t dt Si ft () dtes 5 + 4, quién es f()?, cuánto vale c? c La curva Áreas de recintos y = divide al cuadrado de vértices V (,), V (,), V (,) y V 4 (,) en dos recintos. Dibújalos y halla el área del recinto mayor Calcula el área encerrada entre 6 f ( ) = y el eje de abscisas para [, 5]. + Solucionario 5

17 Solucionario Dibuja la superficie limitada por la parábola y = y la recta y = +. Calcula el área de dicha superficie Dibuja la gráfica de ( ) = 4 f en el intervalo [, ] y calcula su integral Halla el valor a >, tal que 9 a ( + ) d= (PAU) Se considera la función f( ) = a + b < si si. Se pide: a) Calcula a y b para que f sea continua y derivable en todo R. b) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, calcula el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas =, =. 6 Solucionario

18 4.6. (PAU) Halla el área de la región comprendida entre las parábolas y = ; y = Calcula el área de la región limitada por las curvas y =, y = y las rectas =, = (PAU) Calcula el área limitada por la gráfica de la función f ( ) = ln, el eje X y la recta tangente a dicha gráfica en el punto = e. Solucionario 7

19 Solucionario (PAU) Dada la función y =, calcula el área encerrada por la curva, el eje X y las rectas + perpendiculares al eje X que pasan por el máimo y el mínimo de la función dada (PAU) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f() = +, y la recta tangente a dicha gráfica en el máimo relativo. Representa gráficamente la función hallando los puntos de corte con los ejes y los etremos relativos (PAU) a) Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = sen, y = cos, = y b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. = (PAU) a) Representa las curvas de ecuaciones y = + e y = calculando dónde se cortan. b) Halla el área del recinto limitado por dichas curvas. 8 Solucionario

20 4.69. (PAU) Sea f : R R la función definida por f ( ) = a) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f y sus tangentes en los puntos de abscisa = y =. b) Prueba que el eje de ordenadas divide el recinto anterior en dos que tienen igual área Sean las funciones f ( ) = y funciones y la recta =. g ( ) =, determina el área encerrada por las gráficas de ambas 4.7. (PAU) a) Halla el área del triángulo formado por el eje X y las rectas tangente y normal a la curva y = e en el punto de abscisa =. b) Halla el área de la región limitada por la curva de ecuación y = e y el eje X para los valores Calcular a > para que el área encerrada por la gráfica de f ( ) = sen, el eje y =, y la recta = a, sea. Solucionario 9

21 Solucionario 4.7. (PAU) Dada la función eje X. f ( ) =, calcula el área de la región acotada encerrada por su gráfica y el (PAU) a) Halla la recta tangente a la curva de ecuación y = en el punto de abscisa =. b) Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y la curva dada y calcula el área Sea f ( ) =. Calcula en función de t el área limitada por la parábola y la cuerda OM. Sea N el punto de la parábola en el que la tangente es paralela a dicha cuerda. Demuestra que el área del segmento parabólico es 4 del área del triángulo OMN sea cual sea el valor de t. Solucionario

22 Volúmenes y arcos Halla el volumen del cono que se obtiene al girar alrededor del eje X la región comprendida entre el siguiente segmento y el eje horizontal, y comprueba que el resultado es correcto. Y O X Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región bajo la gráfica de y = sen y por encima del eje horizontal, alrededor del eje X y con [, ] (PAU) Halla el volumen engendrado por la región plana definida por el eje X, la curva de ecuación y = e, el eje Y y la recta =, al girar alrededor del eje X Calcula el volumen del cuerpo que se obtiene al girar en torno al eje X la región bajo la gráfica de la curva y = y por encima del eje horizontal, entre las rectas = y =. + Solucionario

23 Solucionario 4.8. Halla el volumen del sólido formado cuando la región bajo la gráfica de y = sen en el intervalo [, ] gira alrededor del eje X Calcula el volumen del paraboloide de revolución que se obtiene al girar la región comprendida entre la parábola y = y el eje horizontal, alrededor del eje X desde = hasta = Un móvil se desplaza siguiendo la trayectoria de la gráfica de la función y = ( + ) representa el tiempo. Calcula el espacio recorrido en el intervalo de tiempo [, ]., donde 4.8. La base de un sólido es la región del plano limitada por el eje Y y las rectas y =, y = + 5, =. Cada sección perpendicular al eje X es un cuadrado. Halla su volumen Determina el volumen generado al girar respecto al eje de abscisas la región acotada por las gráficas de las funciones f() = y g() = Esboza la gráfica de la función y 9 + = y halla la longitud de dicha curva entre = y = 7. Y 5 O 5 X Solucionario

24 Aplicaciones (PAU) La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en m/s por la siguiente gráfica: a) Calcula la función espacio tiempo. b) Dibuja la gráfica de la función espacio tiempo. c) Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido. v (m/s) O T (s) PROBLEMAS (PAU) Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta debido a la acción de una fuerza F que depende continuamente de la posición del objeto en dicha línea recta. Se sabe que el trabajo realizado por la fuerza para mover el objeto desde = a hasta = b viene dado por W = F( ) d. a) Si la fuerza es F ( ) =, calcula el trabajo para ir desde = hasta = 5. ( ) b) Determina razonadamente si la fuerza G ( ) = realiza más o menos trabajo que F() para el ( + ) mismo desplazamiento. a b Solucionario

25 Solucionario Sea f : [ a, a] R con a > una función continua tal que f ( ) d = ; contesta razonadamente a las siguientes cuestiones: a a) Es necesariamente f() = para todo de [ a, a]? c) Es necesariamente f( ) d =? a b) Es necesariamente f( ) d = a a a a? d) Cuánto vale ( f ) + ) a a ( d? Calcula ( + 5) 9 d. Indicación: ( 5) 9 = cos si < 4.9. Sea F( ) = si =. t e dt si > a) Prueba que F es continua en R. b) Demuestra que eiste F '() si. c) Estudia si F es derivable en =. d) Estudia la continuidad de F '(). 4 Solucionario

26 4.9. a) Comprueba que la función f () = cos sen es impar y periódica de período. b) Demuestra que 4 cos sen d = cos sen d = cos sen d = Calcula f ( ) d siendo f ( ) = sen. Solucionario 5

27 Solucionario 4.9. Algunas de estas afirmaciones son verdaderas y otras falsas. Justifica cómo es cada una de ellas: a) b) 4 4 ln tdt ln tdt ln tdt = c) Si ( ) = t f dt f ( ) = t dt. 4 d = d) = [ ln( ) ] + + d Obtén los números A, B y C, siendo: = ( t ) 7 A dt, = ( + 4 ), = B t t dt 5 k = k + C t dt. k Sea g( ) = f ( t) dt donde la gráfica de f es la de la figura: a) Tiene g algún máimo relativo en [, ]? Si es así, dónde está localizado? b) Si hay, da un mínimo relativo de g en [, ]. c) Para qué valor de alcanza g el máimo absoluto en [, ]? Y el mínimo absoluto? d) En qué subintervalo de [, ] es la gráfica de g cóncava hacia arriba? e) Esboza la gráfica de g. Y O f X 6 Solucionario

28 4.96. (PAU) De una función integrable f :[, ] R se sabe que para [, ] es f ( ) +. De los números ; ; ;,5 y,75; cuántos pueden ser el valor de la integral f ( ) d? Se pretende obtener I = sen d. + sen a) Calcula J = cos d. b) Obtén J + sen I + y deduce el valor de I Sean cos ( ) y I = t t dt J = t sen ( t) dt. Justifica si son ciertas o no estas afirmaciones: a) I >, J > c) I + J = b) I J = t cos( t) dt d) I = J = a (PAU) Si f ( ) d a =, se verifica entonces que f ( ) d =? Si fuese cierto, pruébalo, si fuera a a falso, pon un ejemplo que lo confirme. Solucionario 7

29 Solucionario 4.. (PAU) Sea f() una función tal que, para cualquier que sea > se cumple que Prueba que, f( ) = f( ) para todo >. f () t dt = f () t dt. 4.. a) Esboza la gráfica de la función dada por f ( ) =. 4 b) Es la integral d 4 positiva o negativa? Justifica tu respuesta. c) Halla la integral anterior descomponiendo el integrando en fracciones simples. d) Un amigo dice que esa integral se hace más fácil con la sustitución = sec α. Tú qué piensas? 4.. Determina un polinomio P () de segundo grado sabiendo que P ( ) = P() = y que P ( ) d =. 4.. En la figura se muestra la parte positiva de la gráfica de y = 4. Encuentra la ecuación de una recta vertical para que el área de la zona sombreada sea de 9 u. 8 Solucionario

30 PROFUNDIZACIÓN 4.4. Sea g : R R una función continua tal que si, a) Calcula g(). b) Estudia la continuidad de f en R y obtén f '(). g ( ) = e y sea f ( ) = g( t) dt Sea f una función continua y positiva en el intervalo [, ]. Halla razonadamente el número de raíces en. (, ) de la función F( ) = f () t dt f () t dt 4.6. Obtén una fórmula eplícita para la función f sabiendo que es derivable en todo R, que si, f ( ) y que para todo R se verifica que [ f ) ] = ( te f ( t) dt. t Solucionario 9

31 Solucionario 4.7. La figura muestra un semicírculo de radio, diámetro horizontal AB y rectas tangentes en A y B. A qué distancia del diámetro debe colocarse la recta horizontal MN para minimizar el área de la región sombreada? M N Hazlo de dos formas diferentes: minimizando una función dada con una integral y minimizando una función que dependa del ángulo α. A α B 4.8. Demuestra que el recinto encerrado por la parábola f ( ) =, con a > y el eje X, tiene área a a que no depende de a. Cuánto vale esta área? Qué curva describen los vértices de estas parábolas? Solucionario

32 n n n 4.9. a) Escribe sen d en términos de sen d. (Indicación: haz f ( ) = sen y g ( ) = sen e integra por partes). b) Utiliza el apartado anterior para demostrar que n n n sen d = sen d. n c) Si n es un entero positivo impar, prueba la fórmula de Wallis: n 4 6 ( n ) sen d =. 5 7n 4.. Sea f : R R definida por f ( ) = e. a) Calcula I = f ( ) d. Para cada n, sea I = b) Demuestra que si [, ] n n e d., entonces n n e e n. n c) Calcula Jn = d y prueba que si n, entonces número entero. d) Mediante la integración por partes demuestra que I = ( n + ) I. e In. Deduce que I n no es un n + n + n+ n e) Sea kn = n! e In. Escribe k n en función de k n y prueba que k n es un número entero para todo n. f) Utilizando los apartados c y d prueba que n! e = k n + In no es un número entero. g) Demuestra que el número e es irracional. Solucionario

33 Solucionario Elige la única respuesta correcta en cada caso: RELACIONA Y CONTESTA 4.. Si f() = 4 tg tdt y g() =, entonces ( g f ) 4 es igual a: A) D) 8 B) 4 E) + C) 4.. Sobre la integral sen d se puede afirmar: A) Vale. D) Es cos + cos. B) No eiste, pues y = sen no es integrable. E) Vale. C) Vale Sea f una función definida en el intervalo abierto (, 4) con derivada segunda f'' continua. Si f tiene etremos locales en los puntos y, de la integral I = A) I = f() f() D) I = f'() f'() B) I = f() f() E) I = f''() f''() C) I = f'() f'() f ( ) d, se puede asegurar que: Solucionario

34 Señala, en cada caso, las respuestas correctas: 4.4. Para cualquier número natural n =,,,, se llama I n = A) I = ln B) I n para cada n N C) Para cada n N, se verifica I n ( n + ). n + n t dt. + t D) La sucesión I n es creciente. E) Para cada n N, I n Sea f la función definida en [, ] cuya representación gráfica es la de la figura. A) f ( ) d Y B) C) f ( ) d = f ( ) d = f( ) d f( ) d f( ) d O f X D) El valor medio de f en [, ] es. E) El valor medio de f en [, ] es inferior a. Solucionario

35 Solucionario 4.6. Sean I = tcos ( t) dt y J = tsen ( t) dt. A) I > y J > D) I B) I J = 4 C) I + J = E) I J costdt 4.7. Si I = 4 6 sen cos + d, entonces: cos sen A) I = ln cos cos 4 6 sen + ln sen 4 6 D) I = ln B) I = lntg 6 E) I = 4 6 sen d C) I = ln ln 4 Solucionario

36 Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas: 4.8. Sea f una función continua en [a, b]. b a) f( ) d = b) f () = en [a, b] a A) a b D) a y b se ecluyen entre sí. B) a b pero b / a E) Nada de lo anterior. C) b a pero a / b Señala el dato innecesario para contestar: 4.9. Para calcular 8 f( ) d nos dan estos datos: a) f() es periódica de período 4. c) f() = para < b) f() es una función par. d) f() = 4 para < 4 A) Puede eliminarse el dato a. D) Puede eliminarse el dato d. B) Puede eliminarse el dato b. E) No puede eliminarse ningún dato. C) Puede eliminarse el dato c. Analiza si la información suministrada es suficiente para contestar la cuestión: b 4.. Para decidir el signo de f( ) d a siendo f una función continua en [a, b] se sabe que: a) f(a) > y f () en [a, b] b) f(b) > y f' () en [a, b] A) Cada información es suficiente por sí sola. D) Son necesarias las dos juntas. B) a es suficiente por sí sola, pero b, no. E) Hacen falta más datos. C) b es suficiente por sí sola, pero a, no. Solucionario 5