11 Funciones derivables ACTIVIDADES INICIALES

Transcripción

1 11 Funciones derivables ACTIVIDADES INICIALES 11.I. Cuenta la tradición que sobre la tumba de Arquímedes había esculpido un cilindro con una esfera inscrita. Arquímedes halló la relación entre sus volúmenes y el volumen del cono de igual radio y altura que el cilindro. Para ello, utilizó planos paralelos a las bases y comparó las áreas de los círculos obtenidos (ver figura). Qué relación se obtiene? Hállala. R r 1 r r 3 11.II. Halla el área total y el volumen de un cono formado con un sector circular de radio g y ángulo α radianes. g α 11.III. Utilizando la semejanza de triángulos, halla la epresión del área lateral y del volumen de un tronco de cono. r h R 8

2 EJERCICIOS PROPUESTOS a + bln si Sea f() = Calcula a y b para que f sea derivable en = 1. si > Es continua en = 0 la siguiente función? f() = + e sen si 0? Y derivable? 1 si > Sea f() = ( + 1) 3 ( ) + 3. Demuestra que la ecuación f () = 0 tiene alguna solución en el intervalo [ 1, ] Aplicando el teorema de Rolle, justifica que la gráfica de la función f () = no puede cortar veces al eje horizontal. 83

3 11.5 Demuestra que la ecuación c = 0 no puede tener más de una solución en el intervalo [ 1, 1], sea cual fuere el número c Sea f() = +. Comprueba que f es continua en R, f( 8) = f(8) y, en cambio, f () no se anula nunca. Contradice este hecho el teorema de Rolle? 11.7 Dada la función, f () = 3. Hay algún punto de su gráfica en el que la tangente sea paralela a la recta que une los puntos A( 1, 1) y B(, 8)? Hállalo. Calcula la ecuación de la tangente mencionada. 1 si 1 < 11.8 Sea f() = Comprueba que: 1 1 si 3 4 a) f es continua en [1, 3] y derivable en (1, 3). b) Encuentra el número c (1, 3) cuya eistencia asegura el teorema del valor medio. 84

4 11.9 Halla los siguientes límites: sen 3 a) lim 0 sen b) ln lim + e e c) lim 0 ln (1 + ) 1 1 d) lim 1 ln Calcula lim + 0 sen Demuestra que lim + e k = 0, para cualquier k > 0. 85

5 11.1 Calcula lim ( e + ) Demuestra que ln lim + k = 0, para cualquier número positivo k Sea f derivable en = 0. Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si f ( 0 ) 0, entonces f es creciente en 0. b) Si f es decreciente en 0, entonces f ( 0 ) < 0. c) Si f ( 0 ) = 0, entonces f presenta un etremo relativo en Señala las abscisas de todos los puntos donde es posible que la función f() = presente etremos relativos Sea f una función tal que f () = ( 1) ( 3) ( 5). Obtén las abscisas de los etremos relativos de f, decidiendo qué son. 86

6 11.17 Obtén los etremos relativos de la función f() = Encuentra 3 números no negativos que sumen 14, tales que uno sea doble que otro y que la suma de sus cuadrados sea: a) Máima b) Mínima 87

7 11.19 Se quiere escribir un teto de 96 cm tal, que deje cm en cada margen lateral de la hoja en la que está escrito así como 3 cm arriba y abajo. Calcula las dimensiones de la hoja más pequeña posible Tiene algún punto de infleión la gráfica de f() = + sen 1? 11.1 Halla los puntos de infleión de f() = e. 11. Eplica por qué todas las cúbicas (gráficas de polinomios de tercer grado) tienen un punto de infleión. 88

8 11.3 Encuentra una relación entre a, b y c para que la curva f () = a 4 + b 3 + c no tenga puntos de infleión Para anestesiar a una persona hacen falta 0 mg de anestésico por cada kg de peso. El anestésico se elimina de la circulación sanguínea con una rapidez proporcional a la cantidad presente. Si tarda horas en reducirse a la mitad, calcula aproimadamente la dosis necesaria para mantener anestesiada a una persona de 60 kg durante 1 hora En el punto B de la superficie de un lago se deja un bote con una gaviota que quiere ir volando hasta el punto T de la orilla. Si al volar sobre agua fría gasta el doble de energía que volando sobre tierra, calcula la dirección del vuelo que debe elegir la gaviota para consumir la mínima energía en llegar de B a T. B α A P T Datos: AT = 000 m, AB = 500 m 89

9 11.6 La función que nos da la posición, en metros, de un móvil con trayectoria rectilínea es et () = + 30t 3t siendo t el tiempo medido en segundos. a) Calcula su velocidad a los 6 s. b) Calcula su aceleración. Qué tipo de movimiento es? c) En qué momento cambia de sentido su trayectoria? d) Cuándo t vuelve a pasar por el punto de partida? e) De las siguientes gráficas, indica cuál representa la velocidad del móvil en función del tiempo. v v v O t O t O t k si Para la función f( ) = : + k 1 si > 1 a) Demuestra que es continua sea cual fuere el valor de k. b) Calcula el valor de k para que la función sea derivable en todo su dominio. 90

10 11.8 Halla los valores de a y b para que a + b si < 0 f( ) = sen( ) + cos si 0 sea continua y derivable en = Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f( ) = Encuentra la derivada de la función + < 1 si 1 f( ) =. si 1 91

11 ln si 0 < e Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f( ) = e. si > e sen si (PAU) Considera la función f : R R definida por: f( ) = b + si > 0 Calcula el valor de b para que f sea derivable en = 0., con b R. Teorema de Rolle Eplica claramente por qué las siguientes funciones no cumplen las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos que se muestran. a) Y b) Y c) Y d) Y 1 O 1 X 1 O 1 X 1 O 1 X 1 O 1 X 9

12 11.34 Ilustra el hecho de que las tres hipótesis del teorema de Rolle son necesarias con ejemplos de gráficas de funciones que solo cumplan dos de las tres hipótesis, y que no cumplan la tesis del teorema. 3 f cumple las condiciones de Rolle en el intervalo [, 1] Comprueba que ( ) = valor de c del teorema de Rolle. Hay más de uno?. Determina el Determina si es aplicable el teorema de Rolle a la función f en el intervalo que se especifica. En caso afirmativo, encuentra todos los valores c del intervalo en los que f (c) = 0. a) f( ) = ( 1)( )( 3) en [ ] b) f( ) = c) f( ) = + 1 1, 3 d) f( ) 1 en [ 1, ] e) en [ 1, ] f) f( ) = = + en [, ] e en [ 0, ] = + + en [ 1, ] f( )

13 + a Determina a para que la función f( ) = cumpla las condiciones del teorema de Rolle en el 1a intervalo [ 3, 3].Halla los puntos de la gráfica en el intervalo en el que la tangente es horizontal Comprueba que ni f( ) = ni g ( ) = cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el 1 intervalo [, ] y, sin embargo, la gráfica de una de ellas sí tiene una tangente horizontal en ese intervalo. Cuál de ellas? 94

14 Teorema del valor medio Comprueba que la función f( ) = satisface las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [1, 3] y, a continuación, encuentra el número c cuya eistencia asegura dicho teorema Demuestra que si α y β son ángulos del primer cuadrante con α < β, entonces, sen β sen α < β α. Utiliza el teorema del valor medio y la función seno (PAU) Sea f la siguiente función: + a + b si < f( ) =. si Eisten valores de a y b para los cuales f satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 4]? Razona la contestación y, en caso afirmativo, calcula dichos valores (PAU) Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuestra que para > 0 se verifica: arctg( ) arctg( ) <

15 11.43 PAU Se considera la función: f( ) = + n < si. + si 3 m a) Determina m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [ 4, ]. b) Halla los puntos del intervalo cuya eistencia garantiza dicho teorema Dada la función f( ) =, prueba que en el intervalo [1, 4] no eiste ningún número c tal que f(4) f(1) f ( c) =. Contradice esto el teorema del valor medio? Por qué?

16 Regla de L Hôpital y aplicaciones Calcula los siguientes límites: (1 cos ) sen a) lim 0 d) lim ln e ( ) g) lim j) lim( a a) 0 a, a >0 b) lim ( tg ) tg 0 + e) ( ) 1 3 lim h) π lim( 1) tg cos 1 1 c) lim f) lim 0 1 sen ( ) ( + h ) ( ) + h e e e e i) lim h 0 h 97

17 11.46 (PAU) Calcula los siguientes límites: 1 cos( 1) a) lim 1 ln( ) ( ) b) ( + ) π 1 cos lim 1 cos En cada uno de los casos, calcula el valor de a para que se cumpla la igualdad: ln(1 + a) a) lim = 3 c) 0 sen lim = 4 + a ln( e 1) b) + 0 ( a ) ln cos lim = 4 d) ln(cos ) + 3 lim + a + 5 = e Determina, en cada caso, el valor de a que hace que la función sea continua en todo R: a) 3 1 e f( ) = si 0 a si = 0 b) at si t 1 gt () = ( t 1ln ) ( t 1) sit > 1 98

18 11.49 (PAU) Sea f :( π, π) R la función derivable que para 0 verifica que a) Cuánto vale f (0)? b) Cuánto vale f '(0)? ( + ) ln 1 f( ) =. sen Etremos relativos. Crecimiento y decrecimiento Las cuatro gráficas que se muestran son las de las derivadas de otras tantas funciones. En cada caso, razona si la función correspondiente alcanza un valor mayor para = a o para = b. a) Y b) Y c) Y d) Y O a b X O a b X O a b X O a b X (PAU) Considera la función f() = g(). Sabiendo que: I. La función g() es continua, derivable y tiene un máimo en = 1. II. f(1)g(1) = 4 a) Tiene la función f un máimo en = 1? Justifica tu respuesta. b) Si, además, se sabe que mínimo en = 0 = + + calcula los valores de a, b y c para que f tenga un g ( ) a b c 99

19 11.5 (PAU) Determina un punto de la curva de ecuación tangente sea máima. = en el que la pendiente de la recta f( ) e P Demuestra que para todo número real positivo, P, se cumple que ln(1 + P) >. Para ello sigue estos 1 + P pasos: I. Demuestra que la función f( ) ln(1 ) 1 = + + es continua y derivable en el intervalo ( ) II. Demuestra que f () es estrictamente creciente en el intervalo ( 0, + ). 0, +. III. Calcula lim f( ). + 0 IV. Concluye tu demostración. 100

20 11.54 (TIC)(PAU) Sea la función: 4 3 f( ) = + a + b + c + 7. a) Calcula c sabiendo que su recta tangente en el punto de abscisa = 0 es horizontal. b) Para el valor de c encontrado en el apartado anterior, calcula a y b sabiendo que esta función tiene un etremo relativo en el punto de abscisa = y que corta al eje X en = 1. c) Para los valores obtenidos en los otros apartados, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, sus etremos relativos y haz una representación gráfica aproimada (PAU) Para cada h se considera la función: = +. 3 f( ) 3 h a) Halla los puntos en los que f alcanza sus valores máimos y mínimos. b) Encuentra h para que el valor de f en el mínimo local hallado antes sea Halla los máimos y mínimos de la función: ( ) ( 4 ) f = e. 101

21 11.57 Demuestra que la ecuación e = no tiene solución. Para ello sigue estos pasos: I. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f( ) = e 1. II. Halla el mínimo absoluto de la función f. III. Demuestra que f( ) 0 para todo. IV. Demuestra que e > 0 para todo y concluye tu demostración Bajo qué condiciones sobre a, b, c y d se puede asegurar que la función f() = a 3 + b + c + d, con a 0 es estrictamente creciente o decreciente en R? 10

22 11.59 Localiza los etremos absolutos, si eisten, de las siguientes funciones en los intervalos indicados: a) f( ) = + 1 en [ 3, 0), en ( 3, 0], en [0, 3], en (0, 3) y en ( 1, 3]. b) + 5 si < g ( ) = + 1 si en [ 3, 1), en [ 3, 1], en [ 3, 3], en [ 3, 1), en [ 4, 1] y en [ 1, ). Problemas de optimización Se quiere construir una piscina en forma de paralelepípedo recto de base cuadrada. Se dispone de 19 m de baldosas para recubrir las paredes y el fondo de la piscina. Halla las dimensiones de la piscina de manera que su capacidad sea máima. 103

23 11.61 Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de tal manera que uno de ellos tenga doble longitud que otro y que, al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encuentra la longitud de cada trozo Se parte un hilo metálico de longitud 1 m en dos trozos, haciendo con uno un cuadrado y con el otro un círculo. Calcula las dimensiones de cada trozo para que la suma de las áreas sea: a) Máima. b) Mínima. 104

24 11.63 De entre todos los números reales positivos, e y, tales que + y = 10, encuentra aquellos para los que el producto p = y es máimo Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en C, de acuerdo a lo reflejado en la figura. A P B C Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 km/h y caminar a 5 km/h, a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible? Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máima. 105

25 11.66 En un rectángulo de 4 m de perímetro, se sustituyen los lados por semicircunferencias eteriores, entre qué valores está comprendida el área de la figura resultante? Calcúlala En un rectángulo de 4 m de perímetro se sustituyen dos lados opuestos por semicircunferencias eteriores. Calcula las dimensiones del rectángulo original para que la figura formada tenga máima área. Curvatura y puntos de infleión ( ) 1 e (TIC) Dibuja la gráfica de la función f( ) =. Para ello, calcula sus asíntotas, demuestra que es 1+ e simétrica respecto al origen, demuestra que es siempre decreciente, estudia su curvatura y halla su punto de infleión. 106

26 11.69 (TIC)(PAU) Calcula, para la función ( ) ( 1) etremos relativos, puntos de infleión e intervalos de curvatura. f = + e : intervalos de crecimiento y decrecimiento, (TIC)(PAU) Sea la función f( ) = : a) Halla, si eisten, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de f. c) Estudia su curvatura y sus posibles puntos de infleión. d) Esboza su gráfica. 107

27 11.71 Halla los valores de m para los que la función arriba. 4 3 f( ) = m + 3 es siempre cóncava hacia 11.7 La gráfica que se muestra es la de la derivada segunda de cierta función f. A partir de ella, deduce la curvatura de f y sus puntos de infleión. Qué se puede afirmar con seguridad de la gráfica de f? Las gráficas que se muestran en la figura representan la derivada de ciertas funciones f() y g(), respectivamente. A partir de ellas, deduce los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() y g(), así como sus etremos relativos, su curvatura y sus puntos de infleión. 108

28 11.74 Sea la función a) Su dominio. f( ) = 1 e π, se pide: b) Demuestra que es siempre positiva. c) Demuestra que es simétrica respecto al eje Y. d) Haz un estudio completo de sus posibles asíntotas. e) Encuentra su máimo y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. f) Encuentra sus puntos de infleión y estudia su curvatura. g) Dibuja su gráfica. h) Qué nombre recibe esta función? Y su gráfica? 109

29 Solucionario (PAU) De la función f : R R definida por = se sabe que: 3 f ( ) a b c d - Tiene un máimo en = 1. - Su gráfica corta al eje X en el punto de abscisa =. - Tiene un punto de infleión en el punto de abscisa = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente PAU Demuestra que la curva de la ecuación y = no tiene ningún punto de infleión. Halla la ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto (, ) mínima y''. 0 y 0, siendo 0 el valor de que hace PAU Sea f : R R definida por f( ) = a + b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión es la recta y = (PAU) Calcula los valores del parámetro a, a 0, que hacen que las tangentes a la curva de ecuación 4 3 y = a + a a en los puntos de infleión sean perpendiculares. 110

30 Aplicaciones de la derivada en las ciencias eperimentales Un móvil se desplaza con un movimiento uniformemente acelerado con una aceleración de 0,5 m/s. Si en el instante t = 8 s lleva una velocidad de 7 m/s, calcula la velocidad que lleva en t = 0 s. Si en los primeros 4 segundos ha recorrido 30 m, calcula la función de posición del móvil Se aparta del fuego agua hirviendo (a 100 ºC) en una habitación con temperatura ambiente de 0 ºC. Si en 10 minutos se ha enfriado hasta 60 ºC, en cuánto tiempo llegará a 5 ºC? 111

31 PROBLEMAS Considera la función definida en ( 0, + ) por la epresión = + + : 3 f( ) ln a) Encuentra un intervalo donde puedas asegurar que eiste una solución de la ecuación f () = 0. b) Demuestra que la ecuación f () = 0 tiene una única solución, c, en ( 0, + ) c) Encuentra un entero p para el que se verifique que p p+ 1 c Demuestra que la gráfica de cualquier polinomio de tercer grado es simétrica respecto de su punto de infleión El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Demuestra que si partimos un diamante en dos trozos, la depreciación es máima si lo partimos por la mitad. 11

32 11.84 Si f y g son funciones derivables con f(a) = g(a) y f(b) = g(b), demuestra que eiste un punto 0 en (a, b) en el que las tangentes a f y g son paralelas. Convéncete previamente con una gráfica Si f () para todos los números del intervalo [0, 3] y f(0) = 1, cuál es el máimo valor que puede tomar f(3)? En general, si f () a en todo R y f(0) = b, dado un número positivo c, cuál es el máimo valor que puede tomar f(c)? Dada la función f() = (1000 ) +, se pide: a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f. b) Utiliza el apartado a para decidir si 1000 es mayor o menor que c) Generaliza lo que hayas descubierto en el apartado a para la función f () = (c ) n + n, siendo c un número positivo y n un entero positivo par Demuestra que la ecuación tiene eactamente una solución real =

33 11.88 gráficas de las derivadas de las funciones f y g son las que se muestran a continuación: Y Y f () g () O X O X a) Cuántas soluciones puede tener la ecuación f() = 0? Justifícalo. b) Cuántas soluciones puede tener la ecuación g() = 0? Justifícalo. c) Si la ecuación g() = 0 tuviera dos soluciones, qué podrías decir sobre el signo de las mismas? Supón que f es una función para la que f () > 0 para todo, y sea g() = f(f()). Qué puedes decir acerca del crecimiento o decrecimiento de la función g? Supón que f es una función para la que f () < 0 para todo, y sea g() = f(f()). Qué puedes decir sobre el crecimiento o decrecimiento de g? a) Demuestra que f() = e es mayor que g() = para todo 1. b) Demuestra que f() = e es mayor que g() = para todo 0. Trata separadamente los casos 0 < 1 y Calcula el área del triángulo de máima área que puede formarse en el primer cuadrante con los ejes de coordenadas y la tangente a la gráfica y = e. 114

34 11.93 (TIC)(PAU) Sea P() un polinomio de grado 4 tal que: i) P() es una función par. ii) Dos de sus raíces son 1 = 1 y = 5 iii) P(0) = 5 Se pide: a) Halla sus puntos de infleión. b) Dibuja su gráfica (PAU) Sea f una función real de variable real, derivable, con derivada continua en todos los puntos y tal que f(0) = 1, f(1) =, f (0) = 3, f (1) = 4. a) Calcula g (0) sabiendo que g() = f ( + f(0)). ( ) f( ) f( + 1) b) Calcula lim. 0 e 1 115

35 11.95 En un cono de radio R y altura H se inscribe un cono invertido con el vértice en el centro de la base. Calcula las dimensiones del cono pequeño para que su volumen sea máimo. r H R Dados los puntos A(0, 3) y B(4, 5), se señala un punto M en el eje X tal que la distancia S = AM + MB sea mínima. Obtén el punto M Con un sector circular de ángulo α y radio R formamos un cono. Calcula α para que el volumen del cono sea máimo. 116

36 11.98 En un depósito que contenía de litros de agua se ha vertido accidentalmente una sustancia toica contaminando el agua. Si el agua se va renovando por agua limpia a razón de 500 litros por hora, cuánto tiempo tardará en reducirse el nivel de contaminación un 50%? Un hombre está en un bote en un gran lago rectangular a 1 km del punto A de la orilla más próima. Quiere llegar al punto B de la orilla situado a m kilómetros de A. Si en su bote va a r km/h y a pie a v km/h, en qué punto C de la orilla debe dejar el bote para llegar a B lo más rápido posible en cada uno de los siguientes casos? a) Si m = 5 km, r = 15 km/h y v = 13 km/h m m b) Si m = km, r = 1 km/h y v = 13 km/h A C B c) Si m = 5 km, r = 1 km/h y v = 13 km/h 1 d) Resuélvelo para cualquier valor de m, r y v. P 117

37 Considera la función g ( ) f ( )( a) PROFUNDIZACIÓN p q = donde f es derivable en = a, p es par, q es impar y p < q. Demuestra que si f(a) 0, g tiene un punto anguloso en = a Sea f una función polinómica con raíces dobles en a y en b (recuerda que el número c es raíz doble de f() si f() = ( c) g(), con g(c) 0). Demuestra que f se anula al menos tres veces en [a, b] Si a es un número positivo, calcula el mínimo de a + con > 0. A partir del resultado obtenido, a demuestra que la media aritmética de dos números positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica Sea f una función continua en [1, 4], derivable en (1, 4) y tal que f(1) = 3 y f(4) = 1. Demuestra que para algún 0 en (1, 4), la recta tangente a f en 0 pasa por el origen. f( ) Indicación: considera la función g ( ) =. 118

38 + k si Dada la función f : R R definida por f( ) = sen( 1). si > 1 1 a) Halla el valor de k para que f sea continua en R. b) Verifica f las hipótesis del teorema del valor medio en [0, π + 1]? c) Eiste algún número c para el que f'(c) coincida con la pendiente de la recta que une los puntos de la curva de abscisas 0 y π + 1? En la circunferencia de un lago de 1 km de radio se marcan dos puntos A y B diametralmente opuestos. Una persona quiere ir de A a B y puede ir nadando, andando por la semicircunferencia o combinando caminos. Si nada a km/h y anda a 5 km/h, cuánto tardará, como mínimo, en llegar? 119

39 Sea f una función que admite derivada segunda en todo R y tal que las rectas y = a + b e y = c + d con a, b, c y d no nulos son tangentes a la gráfica en los puntos de abscisas = 1 y = 1, respectivamente. Justifica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Si f es par, entonces a = c. b) Si a = c, entonces f es impar. c) Si f es par, entonces b = d. d) Si b = d, entonces f (1) = f ( 1). e) Si ac < 0, entonces eiste 0 en [ 1, 1] con f ( 0 ) = Sea f una función derivable en R. Demuestra que si f nunca se anula, entonces f () <0 f () > 0 para todo número real. Indicación: Si f nunca se anula, f es monótona, por qué? Supón, por ejemplo, que f es creciente. Sea negativo, y concluye. R y considera f( + h) f( ) para h positivo y para h h Demuestra, utilizando el problema anterior, que la función dada por la gráfica no puede ser la derivada de ninguna función. 10

40 Elige la única respuesta correcta en cada caso: RELACIONA Y CONTESTA 11.1 Sean f y g funciones derivables tal que f () = g () para todo real. Indica qué condición de las siguientes debemos añadir para concluir que f() = g() para todo real. A) f () = g () para todo real. B) f(0) = g(0) C) No hace falta ninguna condición adicional. D) Ninguna condición adicional nos permite concluir que f() = g(). E) f y g son funciones continuas. 11. Una recta que pasa por el punto P( 1, 0) es tangente a la curva y = 3 en otro punto Q distinto de P. La suma de las coordenadas de Q es: A) 1 C) 3 4 E) Ninguna es correcta. B) 7 8 D) Sea la función definida en R, f() = : e A) lim f( ) + = 1 D) La imagen de f es un conjunto acotado. B) f tiene un máimo absoluto en R. E) f tiene un punto de infleión para < 0. C) f no es derivable en = 0. Señala, en cada caso, las respuestas correctas: Se tiene la función f() = sen: A) f está acotada inferiormente en R. D) f tiene al menos un cero en R. B) f está acotada superiormente en R. E) f tiene un único cero en R. C) f es decreciente en R. 11

41 11.5 La función definida sobre R, f() = e 1 satisface: A) Para todo de R, f () = ( + 1)e D) lim f( ) = 1 B) f es creciente en, +. E) La ecuación f() = 1 tiene solución única. C) lim f( ) + = Se tiene la ecuación sen = 3 cos. A) Esta ecuación equivale a la ecuación 3 sen + sen 3 = 0 B) Admite cuatro soluciones en R. C) Tiene dos soluciones en el intervalo [ π, π]. D) Admite dos soluciones en el intervalo [ π, 0] cuyo producto vale π Se considera la función f definida en R por f() = A) La ecuación f() = 0 admite una única solución en R. B) La ecuación f() = 1 admite dos soluciones en [ 1, + ). C) Si [ 1, 1], f() 4 D) Si f() 4, entonces [ 1, 1] E) f presenta un punto de infleión de tangente horizontal en [ 1, 1]. 1

42 Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas: 11.8 Sea f() = 3 + a + b + c, donde a, b y c son números reales. a) La gráfica de f corta 3 veces al eje horizontal. b) a > 3b A) a b D) a y b se ecluyen entre sí. B) a b pero b a E) Ninguna es correcta. C) b a pero a b Señala el dato innecesario para contestar: 11.9 Para calcular la diferencia entre el máimo y el mínimo de f() = a + b + c en el intervalo [0, k] se tienen los siguientes datos: a) El valor de a c) El valor de c b) El valor de b d) El valor de k A) Puede eliminarse el dato a. D) Puede eliminarse el dato d. B) Puede eliminarse el dato b. E) No puede eliminarse ningún dato. C) Puede eliminarse el dato c. Analiza si la información suministrada es suficiente para contestar la cuestión: Para probar que la función polinómica y = f() presenta un punto de infleión en P(a, f(a)) sabemos que: a) f (a) = 0 b) El polinomio f () es divisible por ( a)k, siendo k un número impar. A) Cada afirmación es suficiente por sí sola. D) Son necesarias las dos juntas. B) a es suficiente por sí sola, pero b no. E) Hacen falta más datos. C) b es suficiente por sí sola, pero a no. 13