INTRODUCCIÓN Y MÉTODOS GENERALES DE RESOLUCIÓN DE EDOS

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1 Capítulo 7 INTRODUCCIÓN Y MÉTODOS GENERALES DE RESOLUCIÓN DE EDOS Problema 7.1 Halla la ecuación diferencial que satisfacen las siguientes familias de curvas: (a) las cardioides r = a(1 cos θ), (b) las rectas que pasan por el punto (0, 1), (c) las parábolas de ecuación = cx + x 2, (d) las rectas = cx + c 2, (e) las rectas = cx + 1 c 2, (f) las curvas de ecuación = (1 + ce 2x )/(1 ce 2x ). Problema 7.2 Halla las familias de curvas ortogonales a las siguientes familias: (a) = cx 2, (b) cx = 1, (c) = ce x, (d) 2 = cx 3, (e) senh = cx, (f) = x/(1 + cx), (g) = 1/ ln(cx), (h) x 1/3 + 1/3 = c. Problema 7.3 (a) Halla, mediante el método de separación de variables, la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: (1) d = e 3x 2 dx, (2) x = (x + 1)( + 1), (3) e x = e + e 2x, (4) (4 + x 2 )d (2x + x 2 )dx = 0, (5) (1 + x x 2 2 )d = 2 dx, ( ) (6) lnx =, x (7) 2 1 = 2x, (8) = (9) = x + 3x 3 x 2x + 4 8, x + 2 x 2 x 3 + x 3, (10) sec + sen(x ) = sen(x + ), (11) + x =, (12) x = 2.

2 34 7 INTRODUCCIÓN Y MÉTODOS GENERALES DE RESOLUCIÓN DE EDOS (b) Cuando sea posible, halla la solución (o soluciones) de las ecuaciones del apartado anterior que cumple(n) la condición (0) = 1. Problema 7.4 Resuelve las siguientes ecuaciones lineales: (a) x 3 = x 4, (b) + = e 2x, (c) (1 + x 2 )d + 2x dx = cotanxdx, (d) + = 2xe x + x 2, (e) + cotan x = 2xcosec x, (f) (2 x 3 )dx = x d, (g) x + x cotan x + x = 0, (h) x lnx + = 3x 2, (i) dx d 2x = 6e2. Problema 7.5 Determina cuáles de estas ecuaciones diferenciales son exactas, para las que lo sean, determina la solución general: (a) (sen xtan + 1)dx + cos xsec 2 d = 0, (b) ( x 3 )dx + (x + 3 )d = 0, (c) (2 2 4x 5)dx = ( x)d, (d) ( + cos(x) ) dx + ( x + xcos(x) ) d = 0, (e) cos xcos 2 dx + 2 sen xsen cos d = 0, (f) (sen xsen xe )d = (e + cos xcos )dx, (g) 1 sen x dx + x 2 sen x d = 0, (h) (1 + )dx + (1 x)d = 0, (i) (2x 3 + cos x)dx + (3x sen x)d = 0, (j) dx = 1 x 2 2dx + x 1 x 2 2d, (k) 42 2x 2 4x 2 x 3dx + 82 x x 2 d = 0, (l) x 2 + 2dx + x x 2 + 2d = 0. Problema 7.6 Halla el valor de n para el que las siguientes ecuaciones son exactas, resuélvelas: (a) (x 2 + nx 2 )dx + (x 3 + x 2 )d = 0, (b) (x + e 2x )dx + nxe 2x d = 0. Problema 7.7 Resuelve las siguientes ecuaciones hallando un factor integrante adecuado: (a) (3x 2 2 )d 2x dx = 0, (b) (x 1)dx + (x 2 x)d = 0, (c) x d + dx + 3x 3 4 d = 0, (d) x d dx = (1 + 2 )d, (e) dx x d = x 3 d, (f) x d = (x 5 + x )dx, (g) ( + x)d = ( x)dx, (h) x d = ( + x )dx, (i) e x dx + (e x cotan + 2 cosec )d = 0, (j) (x + 2)sen dx + xcos d = 0, (k) dx + (2x e )d = 0, (l) ( ln 2x)dx + (x + )d = 0. Problema 7.8 Resuelve con un cambio de variable adecuado las ecuaciones

3 7 INTRODUCCIÓN Y MÉTODOS GENERALES DE RESOLUCIÓN DE EDOS 35 (a) = (2x ) 2, (b) (2 + )ln 2x + 1 = 3, (c) = cos(x + 5). Problema 7.9 Halla la solución general de las ecuaciones diferenciales homogéneas (a) (x )dx + x d = 0, (b) x 2 3x 2 2 = 0, (c) x 2 = x + 3(x )arctan x, (d) x sen x = x + sen x, (e) x = + 2xe /x, (f) dx + ( x + x ) d = 0, (g) 2x 2 dx = (3x )d, (h) = x + x, (i) dx d = x + 4e 2x/, (j) ( + xcotan ) dx = x d, x (k) (x 2 + x 2 )dx = x d, (l) dx = x(1 + ln lnx)d. Problema 7.10 Resuelve, haciendo los cambios de variables adecuados, las ecuaciones (a) = x x 6, (b) = x x + 6. Problema 7.11 Resuelve las siguientes ecuaciones de Bernoulli: (a) x + = x 4 3, (b) x = xcos x, (c) x d + dx = x 2 dx. Problema 7.12 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo orden incompletas: (a) x = + ( ) 3, (b) x 2 = 2x + ( ) 2, (c) x + = 4x, (d) = 1 + ( ) 2, (e) = 1 ( ) 2, (f) + ( ) 2 = 0, (g) 2 = 1 + ( ) 2, (h) = ( ) 2, (i) = 2 + ( ) 2, (j) = e. Problema 7.13 Halla la solución general de las siguientes ecuaciones de Riccati, partiendo de la solución particular p (x) que se indica: (a) = x + x3 2 x 5, con p (x) = x, (b) = (1 )(ax + b), con p (x) = 1, (c) = 2 + 2, con p (x) = 2, (d) = 4 x 2 x + 2, con p (x) = 2 x, (e) = e 2x + (1 + 2e x ) + 2, con p (x) = e x, (f) = (determina p (x)). Problema 7.14 La ecuación x 2 + bx + c = 0 se llama ecuación de Euler. (a) Prueba que x α es solución de esta ecuación si α es una solución de la ecuación cuadrática t 2 + (b 1)t + c = 0. (b) Halla la solución general de la ecuación de Euler si la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales. (c) Halla la solución general de la ecuación de Euler si la ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas conjugadas.

4 36 7 INTRODUCCIÓN Y MÉTODOS GENERALES DE RESOLUCIÓN DE EDOS (d) Prueba que si la ecuación cuadrática tiene una raíz doble α, entonces x α lnx es solución de la ecuación de Euler, halla entonces la solución general. (e) Resuelve las ecuaciones (1) x 2 + 3x + = 0, (2) x 2 + 7x + 5 = 0, (3) x 2 3x 3 = 0, (4) 2x 2 + 3x + = 0, (5) x 2 + x + = 0, (6) x 2 + 3x + 2 = 0, (7) x 2 + 7x + 9 = 0, (8) x 2 + = 0, (9) x + 2 = 0. (f) Buscando soluciones de la forma x α resuelve la ecuación x 3 (4) + 8x 2 (3) + 8x 8 = 0. Problema 7.15 La ecuación = x + f( ) se llama ecuación de Clairaut. (a) Prueba que ha una familia de rectas que es solución de esta ecuación hállala. (b) Además de esa familia de rectas ha una solución singular. Para obtenerla haz el cambio de variable u(x) = (x), deriva la ecuación respecto de x para transformarla en la ecuación u ( x + f (u) ) = 0. (c) La solución u = 0 corresponde a la familia de rectas del primer apartado; a partir de x + f (u) = 0 sustituendo en la ecuación original deduce que la curva paramétrica x = f (u), = uf (u) + f(u), es la solución singular de la ecuación de Clairaut. Verifica que es solución de dicha ecuación. (d) Resuelve las ecuaciones (1) = x + 1 ln, (2) = x + ( ) 2, (3) = (x + 4) + ( ) 2. (e) Representa las familias de rectas soluciones singulares de las ecuaciones del apartado anterior (con auda de un ordenador, si es necesario) deduce la relación geométrica que existe entre ambas. Problema 7.16 Halla las curvas tales que las longitudes de los segmentos sobre la recta tangente entre el punto de tangencia los ejes coordenados son iguales. AYUDA: Halla una ecuación diferencial para la curva (x) resuélvela. Problema 7.17 Halla la curva contenida en el primer cuadrante con la propiedad de que dado cualquier punto de la curva (x, ), ésta divide al rectángulo de vértices (0, 0), (x,0), (x, ), (0, ) en dos partes, la que queda por encima con área doble de la que queda por debajo. AYUDA: Halla una ecuación para la integral de (x) derívala para convertirla en una ecuación diferencial. Problema 7.18 Halla una curva plana con la propiedad de que el punto medio del segmento de la normal comprendido entre el punto de la curva el punto en que la normal corta el eje X pertenece a la parábola 2 = 4x. Problema 7.19 El modelo logístico de crecimiento de una población viene dado por la ecuación diferencial P = ap bp 2.

5 7 INTRODUCCIÓN Y MÉTODOS GENERALES DE RESOLUCIÓN DE EDOS 37 (a) Determina la población en un instante t sabiendo que la población inicial es M. (b) Calcula, de acuerdo con este modelo, la población de peces en un estanque en el año 1998, sabiendo que se inició con 1000 peces en el año 1990, que en 1992 en 1994 la población estimada era de peces, respectivamente. (c) Cuál es la población a largo plazo? Problema 7.20 Una bola de nieve se derrite de tal manera que la razón de cambio de su volumen es proporcional al área de su superficie. El diámetro inicial de la bola es de 4 cm al cabo de media hora su diámetro pasa a ser de 3 cm. (a) Cuándo será su diámetro de 2 cm? (b) Cuándo se derretirá completamente la bola de nieve? (c) Repite el problema si la disminución de volumen es proporcional al cuadrado del área. Problema 7.21 El radiocarbono 14 C de la madera viva se desintegra a un ritmo de d 0 = desintegraciones por minuto (dpm) por gramo de carbono. Tomando σ = 5600 años como semivida del 14 C (periodo de tiempo en que el número de isótopos radiactivos se reduce a la mitad), estima la edad que tenía en el año 2000 cada uno de los siguientes objetos descubiertos por los arqueólogos analizados por la radiactividad en 1950: (a) un fragmento de pata de silla de la tumba de Tutankhamon, hallada en su tumba en el Valle de los Rees (Egipto): d = dpm; (b) una flecha encontrada en Leonard Rock Shelter (Nevada, USA): d = 6.42 (c) estiércol de un perezoso gigante hallado en la cueva Gpsum (Nevada, USA): d = 4.17 dpm.