Chapter 1. Introducción

Transcripción

1 Chapter Introducción Si una función definida en algún intervalo I se sustituye en una ecuación diferencial y la reduce a una identidad, entonces se dice que esa función es una solución de la ecuación en ese intervalo. Una solución en la cual la variable dependiente se expresamente solamente en términos de la variable independiente y de constantes se dice que es una solución explícita, en caso contrario se tiene una solución ímplicita. La solución general de una ecuación diferencial de grado n contiene n parámetros en su solución, lo cual significa que una ecuación diferencial puede tener un número infinito de soluciones que corresponden al número infinito de valores de los parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que no tiene tales parámetros se llama una solución particular. En los siguientes problemas se comprueba que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada. Cuando aparecen, los simbolos c y c indican constantes. Problema. Donde: Derivando: y + y = y = e x Sustituyendo en la ecuación: y = e x

2 CHAPTER. INTRODUCCIÓN µ x e + e x = e x + e x = = y = e x si es solución. Problema. Donde: Derivando: dy y = e3x dx y = e 3x +e x y =3e 3x +e x Sustituyendo: 3e 3x +e x (e 3x +e x )=e 3x 3e 3x +e x e 3x e x = e 3x e 3x = e 3x como queda una identidad entonces y = e 3x +e x si es solución de la ecuacón diferencial. Problema 3. Donde: dy +y =4 dx y = e t

3 3 Derivando: y =4e t Sustituyendo en la ecuación diferencial: 4e t + ( e t )=4 4e t +4 4e t =4 4 = 4 y = e t si es solución de la ecuación diferencial. Problema 4. Donde: Derivando: Sustituyendo: y =5+y y =5tan5x y =5sec 5x 5 sec 5x =5+5tan 5x 5 sec 5x = 5( + tan 5x) 5 sec 5x =5sec 5x y =5tan5x si es solución de la ecuación diferencial.

4 4 CHAPTER. INTRODUCCIÓN Problema 5. Donde: r dy y dx = x y =( x + c ),x>,c > Derivando: y =( x + c )( x ) y = x + c x y =+ c x La ecuación diferencial puede escribirse de la siguiente forma y como: dy dx = r y x = y x p y ( x + c ) = x + c = =+ c x x x x ycomoyasehabíaencontrado: Entonces: y =+ c x + c =+ c x x y =( x + c ) si es solución. Problema 6. y + y = senx

5 5 Donde: y = senx cos x +e x Derivando: y = cos x + senx e x Sustituyendo: cos x + senx e x + senx cos x +e x senx = senx y = sin x cos x +e x si es solución. Problema 7. xydx +(x +y)dy = Donde: Utilizando derivación ímplicita: x y + y = c d dx (x y + y = c ) xy + x dy dy +y dx dx = xydx +(x +y)dy = la cual es la ecuación original, x y + y = c es una solución ímplicita de la ecuación diferencial.

6 6 CHAPTER. INTRODUCCIÓN Problema 8. Donde: x dy +xydx = y = x La ecuación puede escribirse como: x dy +xy = dx Derivando la posible solución: Sustituyendo: y = x 3 x x 3 xx = x x = = Se obtiene una identidad, y = si es solución de la ecuación. x Problema 9. y = p y Donde: y = x x El valor absoluto se define como: ½ a si a a = a si a < Por lo tanto, la función se escribe como:

7 7 y = x x = ½ x si x x si x < La derivada es: y = ½ x si x x si x < Por lo tanto si x>, p y = x = x Y sustituyendo en la ecuación: x = x =x Ahora bien, si x<, p y = x y al hacer la sustitución: x = x y = x x si es solución. Problema. y x y = Donde: y = xlnx Derivando: y = lnx + Sustituyendo: lnx + ( )(xlnx) = x = Se obtiene una identidad, y = xlnx si es solución de la ecuación.

8 8 CHAPTER. INTRODUCCIÓN Problema. Donde: Derivando: dp dt P = = P (a bp ) ac e at +bc e at dp dt = ( + bc e at )(a c e at ) (ac e at )(abc e at ) ( + bc e at ) dp dt = a c e at + a bc e at a bc e at ( + bc e at ) Sustituyendo: Es decir: dp dt = a c e at ( + bc e at ) = ac e at +bc e at a c e at ( + bc e at ) ac e at a b( +bc e ) at a c e at ( + bc e at ) = ac e a at abc e at +bc e at +bc e at a c e at ( + bc e at ) = ac e at +bc e at a( + bc e at ) (abc e at ) +bc e at a c e at ( + bc e at ) = ac e at a +bc e at +bc e at a c e at ( + bc e at ) = a c e at ( + bc e at )

9 9 Se obtiene una identidad, P = Problema. dx dt Donde: Derivando en forma ímplicita: ln d dt ac e at +bc e at =( x)( x) t = ln x x µ x = t x µ " x ( x)( dx dx ) ( x)( dt x ( x) dx dt ( x)( x) si es solución de la ecuación. dt ) # = ( +x + x) = dx =( x)( x) dt la cual es la ecuación original. Por lo tanto t = ln x x se obtiene la misma ecuación. Problema 3. y +xy = Donde: Z x y = e x e t dt + c e x Derivando: dy dx = e e x x +( Z x e t dt)( xe x ) c xe x si es solución ya que

10 CHAPTER. INTRODUCCIÓN Sustituyendo: Z x Z x xe x e t dt c xe x +xe x e t dt +c xe x = = R x Se obtiene una identidad, y = e x dt + c et e x si es solución de la ecuación. Problema 4. y + y y = Donde: Derivando dos veces: y = c e 3x + c e 4x y =3c e 3x 4c e 4x Sustituyendo: y =9c e 3x +6c e 4x 9c e 3x +6c e 4x +3c e 3x 4c e 4x (c e 3x + c e 4x )= 9c e 3x +6c e 4x +3c e 3x 4c e 4x c e 3x c e 4x = = Se obtiene una identidad, y = c e 3x +c e 4x si es solución de la ecuación. Problema 5. y 6y +3y = Donde:

11 y = e 3x cos x Derivando dos veces: y =3e 3x cos x e 3x senx Sustituyendo: y =9e 3x cos x 6e 3x senx 6e 3x senx 4e 3x cos x 9e 3x cos x 6e 3x senx 6e 3x senx 4e 3x cos x 8e 3x cos x +e 3x senx +3e 3x cos x = = Se obtiene una identidad, y = e 3x cos x si es solución de la ecuación. Problema 6. d x dx 4dy +4y = dx Donde: Derivando: y = e x + xe x y =e x + e x +xe x =3e x +xe x Sustituyendo: y =6e x +e x +4xe x =8e x +4xe x 8e x +4xe x e x 8xe x +4e x +4xe x =

12 CHAPTER. INTRODUCCIÓN = Se obtiene una identidad, y = e x + xe x si es solución de la ecuación. Problema 7. y +(y ) = Donde: y = ln x + c +c Derivando: y = x + c y = (x + c ) Sustituyendo: (x + c ) +( ) = x + c = Se obtiene una identidad, y = ln x + c +c si es solución de la ecuación. Problema 8. x y + xy +y = Donde: Derivando: y = x cos(ln x),x>

13 3 y =cos(lnx) sin(ln x) y = x sin(ln x) cos(ln x) x Sustituyendo: x x sin(ln x) x cos(ln x) x cos(ln x)+xsin(ln x)+xcos(ln x) = x x sin(ln x) x cos(ln x) x cos(ln x)+x sin(ln x)+x cos(ln x) = = Se obtiene una identidad, y = x cos(ln x) si es solución de la ecuación. Problema 9. y y +9y 9y = Donde: Obteniendolastresderivadas: y = c sin 3x + c cos 3x +4e x y =3c cos 3x 3c sin 3x +4e x y = 9c sin 3x 9c cos 3x +4e x y = 7c cos 3x +7c sin 3x +4e x Sustituyendo: 7c cos 3x+7c sin 3x+4e x +9c sin 3x+9c cos 3x 4e x +7c cos 3x 7c sin 3x +36e x 9c sin 3x 9c cos 3x 36e x =

14 4 CHAPTER. INTRODUCCIÓN = Como se obtiene una identidad se tiene que y = c sin 3x + c cos 3x +4e x si es solución. Problema. x 3 d3 y d y dx 3 +x dx xdy dx + y =x Donde: Obteniendo las derivadas: y = c x + c x ln x +4x,x> y = c + c ln x + c +8x y = c x +8 Sustituyendo: y = c x x 3 c x +c x x +6x xc xc ln x xc 8x +c x+c x ln x+4x =x x =x Si es solución. Problema. xy y = y = ½ x,x< x,x

15 5 Derivando: y = ½ x, x < x, x Si x<, sustituimos en la ecuación: x( x) ( x )= x +x = = Si x>, sustituimos en la ecuación: x(x) (x )= x x = = Porlotanto,siessolución. Problema. Donde (y ) =9xy Derivando: ½ y =,x< 3x,x y = ½,x< x 3,x Obviamente si y =, la ecuación se satisface. En el caso de que y = x 3 (cuando x )

16 6 CHAPTER. INTRODUCCIÓN y haciendo la sustitución: y =3x (3x ) =9x(x 3 ) 9x 4 =9x 4 Por lo tanto si es solución. Problema 3. Determine valores de m tales que y = e mx sea una solución de la ecuación diferencial respectiva. a) y 5y +6y = Donde: Al derivar dos veces: y = e mx y = me mx Sustitución: y = m e mx m e mx 5me mx +6e mx = e mx (m 5m +6)= e mx (m )(m 3) = Por lo tanto y = e mx es solución sólo cuando: m =

17 7 m =3 Esto puede comprobarse: Para m = 4e 4x e 4x +6e 4x = e 4x e 4x = Para m =3 = 9e 3x 5e 3x +6e 3x = 5e 3x 5e 3x = = b) Donde: y +y +5y = y = e mx Sustitución: m e mx +me mx +5e mx = e mx (m +m +5)= e mx (m +5) = Por lo tanto: m = 5 Comprobación: para m = 5

18 8 CHAPTER. INTRODUCCIÓN 5e 5x 5e 5x +5e 5x = 5e 5x 5e 5x = = Problema 4. Encuentre los valores de m tales que y = x m sea una solución de la ecuación diferencial. Derivando dos veces: x y y = y = mx m Sustituyendo en la ecuación: y = m x m mx m x m x m x mx m x m = x m (m m ) = Por lo tanto: 5 m =+ m = 5

19 Chapter Ecuaciones de primer orden. Separación de variables Una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy dx = g(x)h(y) se dice que es separable o que tiene variables separables. ecuación se escribe como: dy h(y) = g(x)dx Usualmente tal e integrando se obtiene una familia uniparamétrica de soluciones. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por separacion de variables. Todas las ecuaciones se pueden comprobar como en la sección anterior. Problema. dy dx = sen5x Multiplicando la ecuación por dx: integramos ambas partes: dy = sen5xdx 9

20 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Z Z dy = sen5xdx resolvemos: y = cos 5x + c 5 Problema. dx + e 3x dy = Dividimos entre e 3x y despejamos dy : integramos: dx + dy = e3x dy = dx e 3x Z Z dy = Z y = y = dx e 3x e 3x dx µ e 3x + c 3 y = 3 e 3x + c Problema 3. (x +) dy dx = x +6 Multiplicamos por dx y dividimos entre (x +): dy = x +6 x + dx

21 .. SEPARACIÓN DE VARIABLES integramos: Z Z x +6 dy = x + dx Z x ++5 y = x + dx Z µ y = + 5 dx x + y = x +5ln x + + c Problema 4. xy =4y Recordemos que y = dy dx Dividimos entre xy y multiplicamos por dx: integramos: dy y = 4 x dx despejando y: Z Z dy 4 = y x dx ln y = 4ln x +lnc ln y = ln cx 4 e ln y = e ln cx 4 y = cx 4 Problema 5. dx dy = x y +x Multiplicamos por ( + x) ypordy:

22 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN (x +)dx = x y dy divimos entre x : integramos: (x +)dx x = y dy Z Z (x +) dx = y dy x y3 +ln x = x 3 + c multiplicamos por x ypor3: 3+3x ln x = y 3 x + cx Problema 6. dy dx = e3x+y Recordemos que e 3x+y = e 3x e y entonces: dy dx = e3x e y dividimos entre e y y multiplicamos por dx: dy e = y e3x dx integramos: Z Z dy e y = Z e 3x dx e y dy = 3 e3x + c e y = 3 e3x + c

23 .. SEPARACIÓN DE VARIABLES 3 multiplicamos por : e y = 3 e3x + c aplicamos logaritmo en ambos lados: ln e y = ln 3 e3x + c y = ln 3 e3x + c y = ln 3 e3x + c Problema 7. 4y + yx dy x + xy dx = Factorizamos y y x: y 4+x dy x( + y )dx = dividimos entre (4 + x ) y ( + y ): integramos: por cambio de variable: Z ydy +y = xdx 4+x Z ydy +y = xdx 4+x Z du u u = +y,w =4+x du = ydy, dw =xdx = Z dw w

24 4 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ln u = ln w + c ln +y = ln 4+x +lnc ln +y = lnc 4+x aplicamos la función exponecial: e ln +y = e ln c 4+x +y = c 4+x y = c 4+x y = p c (4 + x ) Problema 8. y (x +)dy = xdx Dividimos entre (x +): ydy = xdx x + integramos: Z Z xdx ydy = x + Z x + y = x + dx Z Z y = dx x + dx y = x ln x + + c y = p x ln x + + c Problema 9. y ln x dx dy = µ y + x

25 .. SEPARACIÓN DE VARIABLES 5 Multiplcamos por dy yporx y dividimos entre y: integramos: Z integrando por partes: x ln xdx = (y +) y Z (y +) x ln xdx = dy y u = lnx, du = x dx dv = x dx, v = x3 3 x 3 Z x 3 Z 3 ln x (y +) 3 x dx = dy y x 3 3 ln x Z Z y x +y + dx = dy 3 y x 3 3 ln x 9 x3 = y +y +lny + c x 3 3 ln x 9 x3 = y +y +lny + c Problema. sec xdy +cscydx = Solución. Dividimos entre sec x y csc y: dy csc y + dx sec x = despejamos dy e integramos: csc y Z Z dy csc y = dx sec x

26 6 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN usando las identidades Z csc y = seny sec x = cos x cos cos x x = Z cos x senydy = dx cos y = x + 4 senx + c Problema. Dividimos entre e y yentrecos x: e y senxdx +cosx e y y dy = senxdx cos x + (ey y) dy e y = despejamos senxdx eintegramos: cos x Z Z senx (e y cos x dx = y) dy e y se usa la identidad: entonces: senx =senx cos x Z Z senx cos x (e y y) dx = dy cos x e Z Z y Z y senxdx = e y dy + e dy Z y cosx = e y + ye y dy

27 .. SEPARACIÓN DE VARIABLES 7 esta integral se resuelve por partes: entonces: u = y du = dy dv = e y dy v = e y cosx = e y + Z ye y e y dy cosx = e y ye y e y + c cosx + e y + ye y + e y = c Problema. (e y +) e y dx +(e x +) 3 e x dy = Dividimos entre (e y +) e y yentre(e x +) 3 e x despejamos e integramos: dx (e x +) 3 e + dy x (e y +) = e y Z Z dx (e x +) 3 = e Z x e x Z dx = (e x +) 3 u = e x + du = e x dx dy (e y +)e y e y dy (e y +)

28 8 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN w = e y + dw = e y dy Z Z du dw = u 3 w u = u = (e x +) e y + + c Problema 3. dy xy +3x y 3 = dx xy x +4y 8 Factorizamos por agrupamiento: separamos variables: integramos: dy dx dy dx y (x ) + 3 (x ) = y (x +4) (x +4) (y +3)(x ) = (y ) (x +4) (y ) (x ) dy = (y +3) (x +4) dx Z (y ) (y +3) dy = Z y +3 5 Z (x ) (x +4) dx Z x +4 5 y +3 dy = x +4 dx Z µ 5 Z µ dy = 5 dx y +3 x +4 y 5ln(y +3) = x 5ln(x +4)+c Problema 4. dy dx = senx cos y cos y

29 .. SEPARACIÓN DE VARIABLES 9 Multiplicamos por dx y dividimos entre (cos y cos y): integramos: dy cos y cos y = senxdx Z Z Z dy = senxdx cos y cos y dy = cos x + c ( cos y ) cos y Z dy cos y = cos x + c Z dy sin = cos x + c y Z csc ydy = cosx + c cot y = cosx + c Problema 5. e x + e x dy dx = y Dividimos entre y y (e x + e x ) multiplicamos por dx: dy y = dx e x + e x multiplicamos el denominador y el numerador del lado derecho por e x e integramos: Z Z dy y = e x dx e x + en la integral del lado derecho se hace el cambio de variable:

30 3 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN u = e x du = e x dx Z du = y u + y = arctan u + c =arctane x + c En las siguintes ecuaciones diferenciales, encuentre la solución de las mismas sujetas a la condición inicial respectiva. Problema 6. Dividimos entre (y +) : ydy =4x y + dx, y () = integramos: ydy (y +) =4xdx Z Z ydy = 4xdx (y +) u = y + du = ydy Z du = x + c u Z u du = x + c u = x + c p y + = x + c y + = x + c q y = (x + c)

31 .. SEPARACIÓN DE VARIABLES 3 aplicamos la condicion inicial y() = : x = y = q = (() + c) = c c = regresamos a la integral anterior: y = r ³ x + Problema 7. dy dx =4 x + π, x³ = 4 Multiplicamos por dx: integramos: Z dy =4 x + dx dy = Z 4 x + dx y = 4x3 3 +4x + c aplicamos la condición inicial: x = y = π 4 π 4 = 4 π = c µ 3 c = π ()+c

32 3 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN sustituimos en la solución general: y = 4x3 3 +4x + π Ecuaciones exactas Una expresión de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función f(x, y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = es una ecuación diferencial exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Sean M(x, y) y N(x, y) con derivadas parciales continuas en una región rectangular R definida por a < x < b, c < y < d. Entonces la condición necesaria y suficiente para que M(x, y)dx+n(x, y)dy sea una diferencial exacta es que: dm dy = dn dx En los siguientes problemas, determine si la ecuación respectiva es exacta. Si lo es, resuélvala. Problema. M (x, y) =x N (x, y) =3y +7 (x ) dx +(3y +7)dy =

33 .. ECUACIONES EXACTAS 33 Para saber si son exactas se debe de cumplir la condición de exactitud: M y = N x Se deriva M(x, y) con respecto a y: M y = Se deriva N(x, y) con respecto a x: N x = La ecuación es exacta. Entonces debe existir f(x, y) tal que: f x Integrando la primera: Z f(x, y) = Derivando con respecto a y: =x, f y =3y +7 (x ) dx = x x + g(y) f y = g (y) 3y +7=g (y) Se integra para obtener g(y): Z g(y) = (3y +7y)dy = 3 y +7y + c Sustituyendo g(y) en la expresión de f(x, y): f(x, y) =x x + 3 y +7y + c La solución de la ecuación es:

34 34 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN x x + 3 y +7y + c = Problema. (x + y)dx (x +6y)dy = M(x, y) =x + y N(x, y) = (x +6y) Derivando M(x, y) con respecto a y: M y = Derivando N(x, y) con respecto a x: N x = La ecuación no es exacta. Para resolverla se debería utilizar otro método. Problema 3. (5x +4y)dx +(4x 8y 3 )dy = M(x, y) =5x +4y N(x, y) =4x 8y 3 Para cumplir con la condición de exactitud se deriva M(x, y) con respecto a y: M y =4 Se deriva N(x, y) con respecto a x: N x =4 La ecuación es exacta. Por lo tanto se tiene que: f x =5x +4y

35 .. ECUACIONES EXACTAS 35 f y =4x 8y3 Escogiendo una de las derivadas parciales, integramos: Z f(x, y) = (5x +4y)dx = 5 x +4xy + g(y) Derivando con respecto a y: f y =4x + g (y) 4x 8y 3 =4x + g (x) g (y) = 8y 3 Para obtener a g(y) se integra con respecto a y: Z g(y) = 8 y 3 dy = y 4 + c Sustituyendo a g(y): f(x, y) = 5 x +4xy y 4 + c La solución de la ecuación es: 5 x +4xy y 4 + c = Problema 4. y x 3 dx + yx +4 dy = x. Derivando M(x, y) con respecto a y, N(x, y) con respecto a

36 36 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN M y =4yx, N x =4yx La ecuación es exacta, entonces: f f x =y x 3, y =yx +4 Integramos M(x, y) con respecto a x, paradeterminarf(x, y) f (x, y) =Z y x 3 dx = y x 3x + g (y) derivamos con respecto a y, e igualamos con N(x, y). f y =yx + g (y) =yx +4 g (y) =4 integramos g (y) con respecto a y. Z g (y) =4 dy =4y + c sustituimos g(y) en f(x, y), y el resultado es: La solución se escribe como: f (x, y) =y x 3x +4y + c y x 3x +4y + c = Problema 5. (x + y)(x y) dx + x (x y) dy = Resolvemos la factorización, y derivamos M(x, y) con respecto a y, N(x, y) con respecto a x,

37 .. ECUACIONES EXACTAS 37 x y dx + x xy dy = M y = y 6= N =x y x La ecuación no es exacta, puede resolverse utilizando el método para las ecuaciones homogéneas que se revisará después. Problema 6. x dy dx =xex y +6x Igualamos la ecuación a cero, para dejarla en la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = xe x y +6x dx xdy = M y =, La ecuación es exacta N x = f x =xex y +6x f y = x Integramos N(x, y) con respecto a y, el resultado obtenido, lo derivamos parcialmente con respecto a x, e igualamos con M(x, y). Z f (x, y) = xdy = xy + g (x) f x = y + g (x) =xe x y +6x g (x) =xe x +6x

38 38 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN integramos g (x) xe g (x) =Z x +6x Z dx = Z xe x dx +6 x dx La primera integral se resuelve por partes haciendo: u = x dv = e x dx du = dx v = e x g (x) =(xe x e x )+x 3 + c Sustituimos g(x) en f(x, y), teniendo como resultado: f (x, y) = xy +xe x e x +x 3 + c = Problema 7. µ x y 3 dx +9x dy + x3 y = Separamos dy, e igualamos la ecuación, derivando M(x, y) con respecto a y, N(x, y) con respecto a x. µ x y 3 dx + x 3 y dy = +9x M y =3x y La ecuación es exacta, por lo tanto = N x =3x y f x = x y 3 f +9x y = x3 y Considerando que es más sencillo integrar N(x, y) con respecto a y, luego se deriva con respecto a x Z f (x, y) = x 3 y dy = 3 x3 y 3 + g (x) f x = x y 3 + g (x) = x y 3 +9x

39 .. ECUACIONES EXACTAS 39 Z g (x) = g (x) = +9x +9x = 3 tan 3x + c Sustituyendo en f(x, y), tenemos como resultado: f (x, y) = 3 x3 y 3 3 tan 3x + c = Problema 8. (tan x senxseny) dx +cosx cos ydy = M (x, y) =tanx senxseny N (x, y) =cosx cos y Veamos si cumple con la condición de exactitud: M y = senx cos y N = senx cos y x La ecuación es exacta, por lo tanto se tiene que: f x =tanx senxseny f y =cosx cos y Escogiendo una de las derivadas parciales, integramos: Z f (x, y) = (tan x senxseny) dx = ln cos x + seny cos y + h(y) Para obtener h(y) se tiene que:

40 4 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN f y =cosx cos y + h (y) cos x cos y =cosx cos y + h (y) Sustituyendo h(y) : la solución de la ecuación es: h (y) =c f (x, y) = ln cos x + seny cos y + c ln cos x + seny cos y + c = Problema 9. 4x 3 y 5x y dx + x 4 +3y x dy = M (x, y) =4x 3 y 5x y N (x, y) =x 4 +3y x Se verifica si se cumple con la condición de exactitud: M y =4x3 N x =4x3 La ecuación es exacta, por lo tanto se tiene que: f x =4x3 y 5x y f y = x4 +3y x

41 .. ECUACIONES EXACTAS 4 Escogiendo una de las derivadas parciales integramos: f (x, y) =Z 4x 3 y 5x y dx = x 4 y 5x 3 yx + m (y) Para obtener m(y) se tiene que: f y = x4 x + m (y) x 4 +3y x = x 4 x + m (y) Z m (y) = 3y dy = y 3 + c Sustituyendo a m(y): la solución de la ecuación es: f (x, y) =x 4 y 5x 3 yx + y 3 + c x 4 y 5x 3 yx + y 3 + c = Problema. y cos x 3x y x dx + ysenx x 3 +lny dy =,y() = e M (x, y) =y cos x 3x y x N (x, y) =ysenx x 3 +lny Cumpliendo con la condición de exactitud: M y =y cos x 3x N x =y cos x 3x La ecuación es exacta por lo tanto se tiene que:

42 4 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN f x = y cos x 3x y x f y =ysenx x3 +lny Escogiendo una de las derivadas parciales integramos: f (x, y) =Z y cos x 3x y x dx = y senx x 3 y x + h (y) Para obtener h(y) se tiene que: f y =ysenx x3 + h (y) ysenx x 3 +lny =ysenx x 3 + h (y) Z h (y) = ln ydy = y ln y y + c Sustituyendo a h(y) : f (x, y) =y senx x 3 y x + y ln y y + c = Tomando la condición inicial de y() = e se tiene que: e sen 3 e + e ln e e + c = c = Por lo tanto la solución de la ecuación es: y senx x 3 y x + y ln y y = Determine el valor de k para que la ecuación diferencial correspondiente sea exacta. Problema. y 3 + kxy 4 x dx + 3xy +x y 3 dy =

43 .. ECUACIONES EXACTAS 43 M (x, y) =y 3 + kxy 4 x N (x, y) =3xy +x y 3 Derivando con respecto a x y y M y =3y +4kxy 3 Igualando las derivadas parciales: Despejando a k se tiene que: N x =3y +4xy 3 3y +4kxy 3 =3y +4xy 3 k = Por lo tanto k se sustituye en la ecuación diferencial para que sea exacta. Resuelva la ecuación respectiva comprobando que la función indicada, µ(x, y), sea un factor integrante. Problema. 6xydx + 4y +9x dy =, µ (x, y) =y Puede verificarse que la ecuación no es exacta, pero si se multiplica por el factor integrante queda: 6xy 3 dx + 4y 3 +9x y dy = M (x, y) =6xy 3 N (x, y) =4y 3 +9x y Y ahora sí cumple con la condición de exactitud: M y =8xy

44 44 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Por lo tanto se tiene que: N x =8xy f x =6xy3 f y =4y3 +9x y Escogiendo una de las derivadas parciales integramos: Z f (x, y) = 6xy 3 dx =3x y 3 + h (y) Para obtener h(y) se tiene que: f y =9x y + h (y) 4y 3 +9x y =9x y + h (y) Z h (y) = 4y 3 dy = y 4 + c Sustituyendo a h(y) : f (x, y) =3x y 3 + y 4 + c Por lo tanto la solución de la ecuación es: 3x y 3 + y 4 + c = Problema 3. y +3x dx +xydy =,µ(x, y) =x

45 .. ECUACIONES EXACTAS 45 Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante queda: xy +3x dx +x ydy = M (x, y) =xy +3x N (x, y) =x y Verificando la condición de exactitud: M y =4xy N x =4xy La ecuación es exacta, por lo tanto se tiene: f x =xy +3x f y =x y Escogiendo una de las derivadas parciales integramos: f (x, y) =Z xy +3x dx = x y + x 3 + l (y) Para obtener l(y) se tiene que: f y =x y + l (y) x y =x y + l (y) l (y) =c Sustituyendo a l(y) : f (x, y) =x y + x 3 + c Por lo tanto la solución de la ecuación es: x y + x 3 + c =

46 46 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN.3 Ecuaciones lineales Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma: a (x) dy dx + a (x) y = g (x) es una ecuación lineal. Solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden ) Para resolver una ecuación lineal de primer orden, primero se reescribe de tal manera que el coeficiente de dy/dx sea la unidad dy + p (x) y = f (x) dx ) Hay que identificar p (x) ydefinir el factor integrante, µ (x) = e R p(x)dx 3) La ecuación obtenida en el paso se multiplica por el factor integrante: e R p(x)dx dy dx + p(x)er p(x)dx y = e R p(x)dx f(x)

47 .3. ECUACIONES LINEALES 47 4) El lado izquierdo de la ecuación obtenida en el paso 3 es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente y; esto es: d h e R i p(x)dx y e R p(x)dx = e R p(x)dx f(x) dx 5) Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 4. Problema. 3 dy +y =4 dx Dividimos la ecuación entre 3 para ponerla en la forma general dy dx +4y = 4 3 p (x) =4 Calculamos el factor integrante y lo multiplicamos por la ecuación µ (x) =e R p (x)dx = e R 4dx = e 4x µ e 4x dy dx +4y = 4 3 Integramos y despejamos a y Z d Z ye 4x 4 = dx 3 e4x dx

48 48 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ye 4x = 3 e4x + c y = 3 + c e 4x Problema. dy dx + y = e3x p (x) = Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R p (x)dx = e x Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ dy (e x ) dx + y = e 3x (e x ) Integramos para calcular el valor de y Z Z d [ye x ]= e 4x dx ye x = 4 e4x + c Despejamos el valor de y y = e 4x 4 e + c x e x y = 4 e3x + ce x Problema 3. y +3x y = x

49 .3. ECUACIONES LINEALES 49 p (x) =3x Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R p(x)dx = e R 3x dx = e x3 Se multiplica el factor integrante por la ecuación ³ e x3 y +3x y = x e x3 Integramos para calcular el valor de y Z d h ye x3i Z = dx x e x3 ye x3 = 3 ex3 + c Despejamos el valor de y Problema 4. y = 3 + c e x3 xdy =(xsenx y) dx La ecuación se lleva a la forma de las ecuaciones lineales: dy (xsenx y) = dx x dy dx + µ y = senx x Determinamos el valor de p (x) p (x) =x Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R p(x)dx = e R dx x = e ln x = x

50 5 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ µ dy x dx y = senx x d [xy] =xsenx dx Integramos para calcular el valor de y Z d dx [xy] = Z xsenxdx Integramos por partes R xsenxdx u = x dv = senxdx du = dx v = cos x Z xy = x cos x + cos xdx = x cos x + senx + c Despejamos el valor de y y = x cos x + senx + c x Problema 5. cos x dy + ysenx = dx La ecuación se lleva a la forma de las lineales: dy dx + y senx cos x = cos x dy +(tanx) y =secx dx p (x) =tanx Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R p(x)dx = e R tan xdx = e ln(cos x) =secx

51 .3. ECUACIONES LINEALES 5 Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ dy sec x + (tan x) y =secx dx d dx [y sec x] =sec xdx Integramos para calcular el valor de y Z d [y sec x] = dx Z sec xdx Despejamos el valor de y y sec x =tanx + c y = tan x + c = senx + c cos x sec x Problema 6. x dy dx +4y = x3 x La ecuación se lleva a la forma: dy dx + 4 x y = x p (x) = 4 x Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R p(x)dx = e R 4 x dx = e 4ln(x) = x 4 Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ dy x 4 dx + 4 x y = x d yx 4 = x 6 x 4 dx

52 5 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Integramos para calcular el valor de y Z d Z yx 4 x = 6 x 4 dx dx Despejamos el valor de y yx 4 = 7 x7 5 x5 + c y = 7 x3 5 x + c x 4 Problema 7. cos xsenxdy + y cos 3 x dx = La ecuación se lleva a la forma de las lineales: dy dx + y cos3 x cos xsenx = dy dx + cos x senx y = cos xsenx p (x) =cotx Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R p(x)dx = e R cot xdx = e ln(senx) = senx Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ dy senx dx +(cotxy)= cos xsenx d dx [ysenx] = cos x Integramos para calcular el valor de y

53 .3. ECUACIONES LINEALES 53 Z Z d sec dx [ysenx] = x dx ysenx =tanx + c Despejamos el valor de y y = tan x + c senx y =secx + c csc x Problema 8. x dy +(3x +)y = e 3x dx La ecuación se lleva a la forma: dy dx 3x + + y = e 3x x x p (x) = 3x+ x Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R p(x)dx = e R 3x+ x dx = e 3x e ln(x) = xe 3x Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ dy xe 3x 3x + + y = e 3x dx x x d yxe 3x = dx Integramos para calcular el valor de y Z d yxe 3x = dx Z dx

54 54 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Despejamos el valor de y yxe 3x = x + c y = x + c xe 3x = e 3x + ce 3x x Problema 9. dy dx + y = e x e x + e x p (x) = Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R dx = e x Se multiplica el factor integrante por la ecuación e x µ dy dx + y = e x e x + e x d dx [yex ]= ex e x e x + e x Integramos para calcular el valor de y Z Z µ d e x e x dx [yex ]= dx e x + e x Despejamos el valor de y ye x =ln e x + e x + c y = e x ln e x + e x + ce x Problema. (x +) dy =5 8y 4xy dx

55 .3. ECUACIONES LINEALES 55 La ecuación se lleva a la forma de las lineales: (x +) dy =5 4(x +)y dx dy dx + 4 x + y = 5 (x +) p (x) = 4 x + Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R 4 x+ dx = e 4ln(x+) =(x +) 4 Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ dy (x +) 4 dx + 4 x + y = 5 (x +) d (x +) 4 y =5(x +) dx Integramos para calcular el valor de y Z d (x +) 4 y Z = dx 5(x +) dx Despejamos el valor de y (x +) 4 y = 5 3 (x +)3 + c y = 5 3(x +) + c (x +) 4 Problema. dy +5y =, y() = dx

56 56 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN p (x) =5 Calculamos el valor del factor integrante µ (x) µ (x) =e R 5dx = e 5x Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ dy e 5x +5y = dx d ye 5x =e 5x dx Integramos para calcular el valor de y Z d Z ye 5x e = 5x dx dx Calculamos el valor de c ye 5x =4e 5x + c () e 5() =4e 5() + c =4+c c = Despejamos el valor de y y sustituimos el valor de c Problema. y =4 e 5x L di dt + Ri = E L,R y E son constantes, i() = i

57 .3. ECUACIONES LINEALES 57 La ecuación se lleva a la forma de las lineales: di dt + R L i = E L p (t) = R L Calculamos el valor del factor integrante µ (t) µ (t) =e R R L dt = e R L t Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ e R di L t dt + R L i = E L d i hie R L t = E dt L e R L t Integramos para calcular el valor de i Z d i Z µ hie R E L t = dt L e R L t dt Calculamos el valor de c ie R L t = E R e R L t + c i e R L () = E R e R L () + c i = E R + c c = i E R Despejamos el valor de i y sustituimos el valor de c

58 58 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ie R L t = E R e R L t + µ i E R i = E µ R + i E e R L t R Problema 3. dt = k (T 5) k es constante, T() = dt La ecuación se lleva a la forma: dt kt = 5k dt Determinamos el valor de p (t) p (t) = k Calculamos el valor del factor integrante µ (t) µ (t) =e R kdt = e kt Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ dt e kt kt = 5k dt d Te kt = 5ke kt dt Integramos para calcular el valor de y Z d Z Te kt 5ke = kt dt dt Te kt =5e kt + c

59 .3. ECUACIONES LINEALES 59 Calculamos el valor de c e k() =5e k() + c = 5 + c c =5 Despejamos el valor de T y sustituimos el valor de c Te kt =5e kt +5 Problema 4. T =5+5e kt (x +) dy + y =lnx y() = dx La ecuación se lleva a la forma: dy dx + (x +) y = ln x x + Determinamos el valor de p (x) p (x) = (x+) Calculamos el valor del factor integrante µ (x) R µ (x) =e (x+) dx = e ln(x+) = x + Se multiplica el factor integrante por la ecuación µ dy (x +) dx + (x +) y = ln x x + d [(x +)y] =lnx dx

60 6 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Integramos para calcular el valor de y Z d [(x +)y] = dx Z ln xdx Integramos por partes R ln xdx u =lnx dv = dx du = dx v = x x Z (x +)y = x ln x dx Calculamos el valor de c (x +)y = x ln x x + c ( + ) = () ln () +c = +c c = Despejamos el valor de y y sustituimos el valor de c (x +)y = x ln x x + y = x ln x x + (x +).4 Sustituciones diversas.4. Ecuaciones homogéneas Una ecuación diferencial de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy =

61 .4. SUSTITUCIONES DIVERSAS 6 se dice que es homogénea si M(x, y) y N(x, y) son ambas funciones homogéneas del mismo grado, en otras palabras la ecuación es homogénea si M(tx, ty) =t α M(x, y), N(tx, ty) =t α N(x, y) Una ecuación diferencial homogénea puede resolverse por medio de las sustituciones algebraicas: y = ux, o x = vy éstas sustituciones reducirán la ecuación a una de variables separables de primer orden. Resuelva cada una de las ecuaciones homogéneas con la sustitución apropiada: Problema. (x y) dx + xdy = Hacemosuncambiodevariableyderivamos: y = ux dy = udx + xdu sustituimos en la ecuación y desarrollamos: (x ux) dx + x (udx + xdu) = xdx uxdx + uxdx + x dx = xdx + x du = dividimos entre x eintegramostodalaecuación: dx x + du = Z µ dx + du = x ln x + u = c

62 6 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN regresamos a la variable original: y = ux u = y x ln x + y x = c multiplicamos toda la ecuación por x: x ln x + y = cx Problema. xdx +(y x) dy = Hacemoselcambiodevariable x = vy dx = vdy + ydv sustituimos en la ecuación y desarrollamos: vy (vdy + ydv)+(y vy) dy = v ydy + vy dv + ydy vydy = y v v + dy + vy dv = dividimos entre y y (v v +)eintegramos: dy y + vdv v v + = dy y + vdv Z µ dy (v ) =, y + vdv (v ) = si z = v, ν = z +,dν = dz Z µ dy (z +)dz + = y z

63 .4. SUSTITUCIONES DIVERSAS 63 ln y +lnz z = c ln y +ln(ν ) (ν ) = c ν = x/y ln y +ln( x y ) ( x ) y = c Problema 3. y + yx dx x dy = Hacemos el cambio de variable: y = ux dy = udx + xdu sustituimos en la ecuación y desarrollamos: u x + ux dx x (udx + xdu) = u x dx + ux dx ux dx + x 3 du = u x dx + x 3 du = dividimos entre u y x 3 eintegramos: dx x + du = u Z µ dx x + du u = ln x u = c regresamos a la variable original: y = ux u = y x

64 64 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ln x y ln x x y = c = c multiplicamos por y: y ln x x = cy Resuelva la ecuación homogénea sujeta a la condición inicial respectiva: Problema 4. ³ x + ye y x dx xe y x dy =,y() = Hacemoselcambiodevariable: y = ux dy = udx + xdu sustituimos en la ecuación y desarrollamos: ³x + uxe ux y dx xe ux x (udx + xdu) = xdx + uxe u dx uxe u dx x e u du = xdx x e u du = dividimos entre x eintegramos: dx x eu du = Z µ dx x eu du = ln x e u = c

65 .4. SUSTITUCIONES DIVERSAS 65 regresamos a la variable original: y = ux u = y x ln y e y x = c aplicamos la condición inicial y () = x = y = ln e x = c ln = c = c regresamos a la ecuación: ln x e y x = Problema 5. xy dy dx = y3 x 3 Dividimos entre dx e igualamos a cero: hacemoselcambiodevariable: xy dy y 3 x 3 dx = sistituimos y desarrollamos: x = vy dx = vdy + ydv

66 66 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN vy 3 dy y 3 v 3 y 3 (vdy + ydv) = vy 3 dy vy 3 dy v 4 y 3 dy + y 4 dv v 3 y 4 dv = v 4 y 3 dy y 4 dv + v 3 y 4 dv = v 4 y 3 dy y 4 v 3 = diviimos entre v 4 y y 4 e integramos: dy y ( v3 ) dv = v 4 Z µ dy y ( v3 ) dv = v 4 ln y v 3 ln v = c regresamos a la variable original: x = vy v = x y ln y x ln x y y ln y y x ln x y = c = c aplicamos la condición inicial: y () = x = y = ln ln = c.6 = c regresamos a la ecuación: ln y y x ln x y =.6

67 .4. SUSTITUCIONES DIVERSAS Ecuación de Bernoulli La ecuación diferencial dy + P (x)y = f(x)yn dx donde n es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli. Para n = y n =la ecuación es lineal. En el caso de que n 6= y n 6= la sustitución u = y n reduce cualquier ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal. Resuelva la ecuación respectiva de Bernoulli empleando una sustitución adecuada: Problema 6. dy dx = y xy 3 Llevamos la ecuación a la forma de Bernoulli Hacemos el cambio de variable sustituimos: multiplicamos por 3w 4 3 : dy dx = xy4 y dy dx + y = xy4 w = y 4 = y 3 y = w 3 dy dx = 3 w 4 3 dw dx 4 dw 3 w 3 dx + w 3 = xw 4 3 dw dx 3w = 3x p(x) = 3 µ(x) = e R 3dx = e 3x

68 68 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN multiplicamos la ecuación anterior por e 3x : agrupamos: 3x dw e dx 3we 3x = 3e 3x d we 3x = 3xe 3x dx d we 3x = 3xe 3x dx Z d we 3x = 3xe 3x dx Z we 3x = 3 xe 3x dx resolviendo la integral por partes: multiplicamos por e 3x : u = x du = dx dv = e 3x v = 3 e 3x we 3x = 3 3 xe 3x + Z 3 we 3x = 3 3 xe 3x we 3x = xe 3x + 3 e 3x + c 9 e 3x e 3x dx + c regresamos a la variable original: w = x ce 3x y = w 3

69 .4. SUSTITUCIONES DIVERSAS 69 w = y 3 y 3 = x ce3x y = µx ce3x 3 Problema 7. x dy dx + y = xy Dividimos entre x y hacemos el cambio de variable: dy dx + y = y x x dy dx y x = y x sustituimos: multiplicamos por w : w = y = y dy dx y = w = w dw dx dw w dx w x = w x dw dx + w x = x multiplicamos la ecuación por x: p(x) = x µ(x) = e R x dx = e ln x = x

70 7 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN agrupamos e integramos: x dw dx + w = x dividimos entre x: d dx (wx) = x d (wx) = x dx Z d (wx) = wx = lnx + c w = ln x x regresamos a la variable original: + c x x dx w = y y = ln x x + c x x y = ln x + c.4.3 Sustituciones para reducir a variables separables ecuaciones del tipo dy dx = f(ax + By + C) Una ecuación diferencial de la forma dy = f(ax + By + C) dx puede reducirse a una ecuación de variables separables por medio de la sustitución u = Ax + By + C, B 6=.

71 .4. SUSTITUCIONES DIVERSAS 7 Problema 8. Hacemos: dy =(x + y +) dx u = x + y + du dy = + dx dx dy dx = du dx du dx = u du dx = u + du u + = dx integramos: Z Z du u + = dx arctan u = x + c pero: u = x + y + arctan (x + y +) = x + c x + y +=tan(x + c) y =tan(x + c) x

72 7 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Problema 9. Hacemos: dy dx =cos(x + y),y() = π 4 sustituimos: u = x + y du dy = + dx dx dy dx = du dx du dx = cosu du dx = +cosu du +cosu = dx integramos: Z Z du +cosu = dx multiplicamos el lado izquierdo por ( cos u) en el denominador y en el numerador: Z cos u ( + cos u)( cos u) du = x + c Z cos u cos u du = x + c Z cos u sin u du = x + c Z sin u du Z cos u sin u du = x + c

73 .4. SUSTITUCIONES DIVERSAS 73 Z Z cos u csc udu sin u du = x + c cot u + sin u = x + c cot u +cscu = c pero: aplicamos la condición inicial: u = x + y cot (x + y)+ sin (x + y) = x + c regresamos a la ecuación: y () = π 4 x = y = π ³ 4 cot + π ³ +csc + π = +c 4 4 cot π 4 +cscπ 4 = c + = c csc (x + y) cot (x + y) =x +

74 74 CHAPTER. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

75 Chapter 3 Aplicaciones de ecuaciones de primer orden Problema. La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 5 y aumenta el 5% en años. Cuál será la población pasados 3 años? N = población de la comunidad en cuestión. N = Población inicial de la comunidad. N() = N =5 N() = 575 N() =.5N Basándonos en la ecuación diferencial del módelo básico de crecimiento: dn dt = kn cuya solución se encuentra fácilmente usando variables separables: N = Noe kt Para encontrar k aplicamos la condición: Sustituyendo en la solución: N() =.5N 75

76 76CHAPTER 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN.5N = N e k Despejando k ln.5 = k k =.4 Sustituyendo: N = N e.4t =5e.4t Finalmente se calcula la población de la comunidad después de 3 años. N(3) = 5e.4(3) N(3) = 76 Problema. El Pb-9, isótopo radioactivo del plomo, se desintegra con una razón poporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un período medio de vida de 3.3 horas. Si al principio había gramo de plomo, Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 9%? C = Cantidad presente del isótopo a cualquier tiempo τ = Periododevidamedia=3.3horas C = Cantidad inicial presente del isótopo = gramo La ecuación diferencial a resolver es: dc dt = kc la cual es igual a la del problema anterior.

77 77 La solución es: C = C e kt Se sabe que C(3.3) = C Por lo que: C = C e 3.3k es decir k =. Sustituyendo: k = ln C = C e.t Finalmente, obtenemos el tiempo que debe transcurrir para que se desintegre el 9% del isótopo: C (.) = C e.t ln. =.t t = ln.. t =horas Problema 3. Cuando pasa un rayo vertical de luz por una sustancia transparente, la razón con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 ft bajo la superficie, es el 5% de la intensidad inicial I del rayo incidente. Cuáleslaintensidaddelrayoa5ftbajolasuperficie?

78 78CHAPTER 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN I = intensidad t = espesor del medio di dt = ki I = I e kt I (.5) = I e 3k k = ln.5 3 k =.46 Finalmente, procedemos a calcular la intensidad del rayo a 5 ft bajo la superficie I(5) = I e.46(5) I(5) =.98I Aproximadamente.% de I. Problema 4. Enuntrozodemaderaquemadaocarbónvegetal se determinó que el 85.5% de su C-4 se había desintegrado. Con la información siguiente determine la edad aproximadama de la madera. Estos son precisamente los datos que usaron los arqueólogos para fechar los murales prehistóricos de una caverna de Lascaux, Francia. k = constante de decaimiento

79 79 Vida media C-4 τ = 5,6 años Sustituyendo: A = A e kt A = A e 5,6t ln =5, 6k k = ln 5, 6 k =.378 Por último, procedemos a determinar la edad aproximada del trozo de madera A (.45) = A e.378t t = ln t =5, 6 años Problema 5. Un tanque contiene l de agua en que se han disuelto 3 g de sal y le entran 4 L/min de solución con g de sal por litro; está bien mezclado, y de él sale líquido con el mismo flujo(4 L/min). Calcule la cantidad A(t)de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier momento t. A =cantidaddegramosdesal

80 8CHAPTER 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN t = momento (tiempo) V = volumen inicial del tanque v = flujo de entrada v = flujo de salida C = Concentración de entrada (masa/volumen) C = Concentración de salida (masa/volumen) R = Razón o ritmo con el que entra R = Razón o ritmo con el que sale V = l v = 4L/min v = 4L/min C =g/l C = A V Como hay conservación de masa: da dt = R R R = C υ R = C υ da dt =g l da dt = C υ C υ µ 4 l A µ g 4 l min l min da dt =4 4A da A =4 5 A da A + 5 A =4 p(t) = 5 µ(t) =e R 5 dt = e t 5

81 8 d ³ Ae t 5 =4e t 5 dt Ae t 5 =4 Z e t 5 dt Ae t 5 =e t 5 + c A =+ce t 5 Considerando la condición inicial: A() = 3 3 = + c c = 7 Finalmente: A(t) = 7e t 5 Problema 6. Un tanque tiene 5 gal de agua pura y le entra salmuera con lb de sal por galón a un flujo de 5 gal/min. El tanque esta bien mezclado, y sale de él el mismo flujo de solución. Calcule la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momento t. V = 5 gal υ = 5 gal/min υ = 5 gal/min C = lb/gal C = A Vo = A 5 da A = C υ C υ µ da A =lb 5 gal A gal min 5 lb gal µ 5 gal min

82 8CHAPTER 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN da A = A da A + A = p(t) = µ(t) =e R dt = e t d ³ Ae t =e t dt Ae t = Z e t dt Ae t 5 =e t + c A = + ce t Considerando las condiciones iniciales: A() = = + c c = Finalmente: A(t) = e t Problema 7. En un modelo demográfico de la población P(t) de una comunidad, se supone que: dp dt = db dt dd dt

83 83 en donde db/dt y dd/dt son las tasas de natalidad y mortantad, respectivamente. a) Determine P (t) db dt = k P dd dt = k P b)analice los casos k >k,k <k,k = k db = Natalidad dt dd = Mortandad dt P (t) =Natalidad-Mortantad a) dp dt = k P k P dp dt =(k k )P Z Z dp P =(k k ) dt lnp =(k k )t +lnc lnp lnc =(k k )t P c = e(k k )t P = ce (k k )t Considerando la condición inicial:

84 84CHAPTER 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN P () = P P = P e (k k )t b) k >k La tasa de natalidad es mayor que la de mortalidad, por lo tanto la población aumenta. Esto se observa en la gráfica ya que en tal caso k k > ylagráfica corresponde a una exponencial creciente. k <k La tasa de natalidad es menor que la de mortalidad, provocando la disminución de la población. En la gráfica se tiene una exponencial decreciente cuando k k <. k = k La tasa de natalidad es igual a la de mortalidad, por ello la poblaciónsemantieneestable.entalcasop = P. Problema 8. Cuando se tiene en cuenta lo olvidadizo de un individuo, la rapidez con que memoriza está definida por da dt = k (M A) k A, en que k >, k >, A(t) es la cantidad de material memorizado por el tiempo t, M es la cantidad total para memorizar y M A es la cantidad que resta por memorizar. Halle A(t) ygrafique la solución. Suponga que A() =. Determine el valor límite de A cuando t einterpreteel resultado. Proponemos la ecuación diferencial y la despejamos: da dt = km k A k A da dt = k M A(k + k ) da dt + A(k + k )=k M

85 Definimos el factor integrante, lo sustituimos en la ecuación diferencial, y la integramos. µ (t) =e R (k +k )dt = e (k +k )t 85 d Z Ae (k +k )t = dt k Me (k +k )t Ae (k +k )t = k M (k + k ) e(k +k )t + C Despejamos A, y el resultado es: A = k M (k + k ) + Ce (k +k )t Aplicamos la condición inicial A() = o sea = k M (k + k ) + C C = k M (k + k ) Por lo tanto la solución queda como A = k M (k + k ) ( e (k +k )t ) tal como se observa cuando t en esta expresión queda que A = k M (k +k, lo cual siempre es menor que M, esdecir,nosememorizaal%, ) por ejemplo en la siguiente gráfica se muestra que después de un cierto tiempo el individuo a lo más memorizará el 8%.

86 86CHAPTER 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Figure 3.: Cantidad de material memorizado en el tiempo

87 Chapter 4 Ecuaciones de segundo orden 4. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes Una ecuación diferencial de este tipo tiene la forma ay + by + cy = donde a,b y c son constantes. Para resolverla se propone una solución de la forma y = e mx y al sustituir en la ecuación se obtiene la ecuación auxiliar am + bm + c = la cual se resuelve para encontrar los valores de m, dependiendo de estos valores se obtienen tres casos: Caso I: Raíces reales y distintas m 6= m,encuyocasolasoluciónseescribe como y = c e m x + c e m x Caso II. Raíces reales repetidas m = m = m y = c e mx + c xe mx Caso III. Raíces complejas de la forma m = α ± iβx 87

88 88 CHAPTER 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN y = e αx (c cos βx + c senβx) Resolver los siguientes problemas Problema. La ecuacion auxiliar es 4y + y = factorizando. 4m + m = m(4m +)= Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son: m = m = 4 Así la fórmula general aplicada para este problema queda de la siguiente manera. y = c e ()x + c e ( 4 )x Problema. La ecuación auxiliar es y = c + c e x 4 y 36y = m 36 =

89 4.. ECUACIONES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES89 factorizando (m +6)(m 6) = Las raíces de la ecuación auxiliar son: m =6 m = 6 Así la solución general es: y = c e 6x + c e 6x Problema 3. La ecuación auxiliar es y +9= m +9= Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son: m = ±3i Como las raíces son complejas y la parte real es cero, la solución se escribe como: Problema 4. La ecuación auxiliar es y = c cos 3x + c sen3x y y 6y = m m 6= (m 3)(m +)= Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son: m =3 m =

90 9 CHAPTER 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN La solución general es:. Problema 5. La ecuación auxiliar es y = c e 3x + c e x y +3y 5y = m +3m 5= Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son: m = 3 ± p 9 4( 5) = 3 ± 9 m =.9, m = 4.9 Así la fórmula general aplicada para este problema queda de la siguiente manera. Problema 6. La ecuación auxiliar es la cual se factoriza como y = c e.9x + c e 4.9x y 5y y = m 5m = (3m )(4m +)= Las raíces de la ecuación auxiliar son: m = 3,m = 4

91 4.. ECUACIONES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES9 Así la solución es: Problema 7. La ecuación auxiliar es y = c e 3 x + c e 4 x 3y +y + y = 3m +m += Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son: m = + i = i 3 3 ± 3 Así la fórmula general aplicada para este problema queda de la siguiente manera. Problema 8. y = e x x x 3 (c cos + c sen 3 3 ) La ecuación auxiliar es y 4y 5y = factorizando m 3 4m 5m = m(m +)(m 5) = Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son: m =,m =, m 3 =5 Así la fórmula general aplicada para este problema queda de la siguiente manera.

92 9 CHAPTER 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Problema 9. La ecuación auxiliar es y = c + c e x + c 3 e 5x y 5y +3y +9y = m 3 5m +3m +9= Al utilizar división sintetica se encontraron las siguientes raíces m =3,m =, m 3 =3 La raíz 3 está repetida, por ello la solución general de la ecuación es: Problema. y = c e 3x + c xe 3x + c 3 e x d 4 y dx + d3 y 4 dx + d y 3 dx = La ecuación auxiliar es factorizando. m 4 + m 3 + m = m (m + m +)= Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son m =(raíz doble),m= ± 3i = 3i ± Así la solución general se escribe de la siguiente forma: y = c e + c xe + e x 3 3 (cos x + c 4sen x)

93 4.. ECUACIONES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES93 y = c + c x + e x 3 3 (cos x + c 4sen x) Problema. y +6y = y() = ; y () = La ecuación auxiliar es m +6= Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son La solución general es: m =4i, m = 4i y = c cos 4x + c sen4x Para aplicar las condiciones iniciales es necesario derivar y = 4c sen4x +4c cos 4x Al sustituir las condiciones iniciales se obtiene: y() = = c Resolviendo: y () = =4c c =,c = De tal manera que la solución al problema de valor inicial es: Problema. y =cos4x sin 4x

94 94 CHAPTER 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN y y + y = y() = ; y () = La ecuación auxiliar es m m += Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son La solución general es: m = ± 4i 4 = ± i y = e x (c cos x + c sen x) Derivando: y = e x ( c sen x + c cos x)+ e x (c cos x + c sen x) Sustituyendo las condiciones iniciales: y() = =c y () = = c + c Resolviendo: c =, c = La solución al problema de valor inicial es: y = e x ( cos x + sen x) Problema 3. y + y +y = y() = y () =

95 4.. ECUACIONES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES95 La ecuación auxiliar es m + m += Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son m = + 8i La solución general se escribe como: = + 7i Derivando: y = e x (c cos 7 7 x + c sen x) y = e x ( c sen x + c cos x) x e (c cos Al sustituir las condiciones iniciales da el siguiente resultado: 7 7 x + c sen x) y() = = c es decir: y () = = 7 c c c = c = La única solución que es compatible con estas condiciones es: y = Problema 4. y +y +36y = y() = ; y () = ; y () = 7 La ecuación auxiliar es

96 96 CHAPTER 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN factorizando. m 3 +m +36m = m(m +6) = Por lo consiguiente las raíces de la ecuación auxiliar son m =,m = 6 de doble multiplicidad La solución general es: Derivando: y = c + c e 6x + c 3 xe 6x y = 6c e 6x 6c 3 xe 6x + c 3 e 6x Sustituyendo las condiciones: y =36c e 6x +36c 3 xe 6x c 3 e 6x y() = = c + c y () = = 6c + c 3 Resolviendo el sistema: y () = 7 =36c c 3 c = 5 36,c = 5 36,c 3 = 6 La solución al problema de valor inicial es: y = c e 6x + 6 c 3xe 6x Problema 5.

97 4.. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 97 y y +5= y() = ; y() = La ecuación auxiliar es factorizando. Laúnicaraízesdoble: m m +5= (m 5) = m =5 la solución general se escribe como: y = c e 5x + c xe 5x Al sustituir las condiciones iniciales en la ecuación nos da el siguiente resultado El resultado final es: c =,c = y = e 5x xe 5x 4. Método de los coeficientes indeterminados Una ecuación diferencial de orden n se puede escribir como: a n D n y + a n D n y a Dy + a y = g(x)

98 98 CHAPTER 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN en donde D k y = d k y/dx k,k =,,..., n. Es conveniente a veces representar también esta ecuación en la forma L(y) = g(x). donde L representa el operador diferencial lineal de orden n: L = a n D n + a n D n a D + ao La aplicación de los operadores diferenciales permite llegar a una solución particular de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. OPERADOR ANULADOR: Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f es una función suficientemente diferenciable tal que: L (f(x)) =, se dice que L es un anulador de la función. El operador diferencial D n anula cada una de las siguientes funciones:,x,x,..., x n El operador diferencial (D a) n anula cada una de las siguientes funciones: e ax,xe ax,x e ax,..., x n e ax El operador diferencial [(D ad +(a + B )] n funciones: anula a las siguientes e ax cos βx, xe ax cosβx, x e ax cos βx,..., x n e ax cos βx,

99 4.. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 99 e ax senβx, xe ax senβx, x e ax senβx,..., x n e ax senβx, Para resolver la ecuación L(y) = g(x) se busca el operador anulador de la función g(x) y luego se aplica en ambos lados de la ecuación: L L(y) = L (g(x)) =, de tal forma que la ecuación diferencial aumenta de orden pero se convierte en una ecuación homogénea, la cual ya puede ser resuelta. La solución se expresa como y(x) =y c (x)+y p (x) donde y c (x) se llama la solución complementaria y es la solución de la ecuación homogénea y y p (x) es una solución particular de la ecuación no homogénea que se encuentra usando el método de los coeficientes indeterminados, tal como se ilustra en los siguientes ejemplos. Problema. Escriba las siguientes ecuaciones diferenciales en la forma L(y) =g(x), donde L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. a) y 4y y = x 6 En notación de operadores esto se puede escribir como: factorizando, el resultado es: (D 4D )y = x 6 (D 6)(D )y = x 6 b) y +y +5y = e x En notación de operadores esto se puede escribir como: Factorizando: (D +D +5)y = e x