1. Utilizando el cambio de variable y = z α y eligiendo adecuadamente α integrar el problema de valor inicial dy dx = xy 3x 2 y 4 y(2) = 1
|
|
- Margarita Cárdenas Cortés
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 1 Ecuaciones diferenciales homogéneas 1 Utilizando el cambio de variable y = z α y eligiendo adecuadamente α integrar el problema de valor inicial = xy 3x y 4 y() = 1 Solution 1 Utilizamos el cambio de variable y = z α Diferenciando tenemos Por tanto y simplificando nos queda α 1 dz αz = = αzα 1 dz xz α 3x z 4α dz = 1 ( ) xz α 3x z 4α Esta última ecuación puede ponerse de la siguiente forma dz = 1 ( ) z/x α 3 z 4α /x y es claro que resultará homogenera cuando α = 1/ En este caso queda como ( ) dz z/x = 3 z /x que mediante el cambio Z = z x queda reducida a dz + Z = Z 3 Z Esta última, simplificada, da la siguiente ecuación en variables separables dz = 1) Z(Z Z 3 cuya solución es Usando obtenemos Z 3 Z(Z 1) dz = x + cte Z 3 Z(Z 1) = 3 Z 1 Z 1 1 Z + 1 log Z 3 Z 1 = log x + cte
2 la cual queda Z 3 x Z 1 = k donde k = e cte R Deshaciendo los cambios tenemos ( z ) 3 x ( x z ) = k 1 x y o lo que es equivalente z 3 z x = k y 6 = k y x La solución particular la calculamos usando y() = 1, es decir, 1 = k 1 4 luego k = 1/3 y la solución es y 6 = 1 3 y x Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (x xy y) + xy = 0 Solution La solución general viene dada por x x y + log ( x y ) + log ( x y ) = k con k R Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas 1 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (x y 1) + (x + 4y 1) = 0 Solution 3 La encuación se transforma en la siguiente = y x + 1 x + 4y 1 (1) Hallando los puntos de corte de las rectas r 1 y x + 1 = 0 y r x + 4y 1 = 0 obtenemos el siguiente cambio de variable X = x 1 Y = y
3 que transforma la ecuación 1 a la siguiente ecuación homogénea dy dx = Y X X + 4Y Introduciendo el nuevo cambio de variable dado por Y = V X tenemos que la ecuación anterior queda quedando entonces como X dv dx + V = V V X dv + 4V = 1 dx 1 + 4V lista para ser tratada como una ecuación de variables separables Esta ecuación tiene por solución 1 + 4V dx 1 + 4V dv = X + cte Efectuamos la integración de 1 + 4V 1 + 4V dv Tenemos que 1 + 4V 1 + 4V = V + 1 8V 1 + 4V por tanto 1 + 4V 1 + 4V dv = 1 8V 1 + 4V dv V dv = 1 log(1 + 4V ) + 1 arctan(v ) En definitiva, obtenemos que ( ) log 1 + 4V + 1 arctan(v ) = log X + cte donde log (X ) 1 + 4V + 1 arctan(v ) = cte Tomando exponenciales en la anterior igualdad tenemos X ( arctan(v ) ) 1 + 4V Exp = k donde k = e cte Deshaciendo todos los cambios obtenemos en primer lugar ( ) arctan( Y X + 4Y X ) Exp = k quedando finalmente la integral general de la ecuación diferencial y arctan x 1 (x 1) + 4y Exp = k
4 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (x y 4) + (x y + 10) = 0 Solution 4 Expresamos la ecuación diferencial en la forma siguiente = x y 4 x y + 10 (siempre que x y ) y realizamos el cambio de variable V = x y Por tanto tenemos que = 1 dv y la ecuación queda de la siguiente forma 1 dv = V 4 V + 10 que simplificada resulta dv = 3V + 6 V + 10 ecuación de variables separables cuya solución es V V + 6 dv = + cte Por otro lado es facil comprobar que V V + 6 dv = 1 3 V + 8 log (V + ) 3 Por tanto y simplificando 1 3 V + 8 log (V + ) = x + cte 3 V + 8 log (V + ) = 3x + cte de donde resulta que 8 log (x y + ) = x + y + cte y tomando exponenciales obtenemos x y + = ke x+y 8 con k R constante relacionadas algebraicamente con las anteriores 3 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (3y 7x + 7) + (7y 3x + 3) = 0
5 Solution 5 Expresamos la ecuación diferencial en la forma siguiente = 3y 7x + 7 7y 3x + 3 si 7y 3x Aplicando en cambio de variable X = x 1 Y = y obtenemos la siguiente ecuación homogénea dy dx = 3Y 7X 7Y 3X Introduciendo el nuevo cambio de variable dado por Y = V X tenemos que la ecuación anterior queda quedando entonces como X dv ( dx = V + 3V 7 ) 7V 3 X dv dx = 7(1 V ) 7V 3 lista para ser tratada como una ecuación de variables separables Esta ecuación tiene por solución 7V 3 dx 1 V dv = 7 X + cte Es facil ver que 7V 3 dv = log V 1 5 log V V Por tanto Tomando exponenciales tenemos log V log V log X = cte (V 1) V X 7 = k con k R Deshaciendo los cambios tenemos que ( ) Y X 1 Y X + 1 que simplificada queda 5 X 7 = k (Y X) Y + X 5 = k o equivalentemente (y x + 1) y + x 1 5 = k 4 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (x + y 4) (x 4y) = 0
6 Solution 6 La solución general viene dada por log ( 4(y 1) + (x ) ) arctan 5 Integrar el problema de valor inicial = x + 9y 0 6x + y 10 y(0) = Solution 7 Aplicando en cambio de variable X = x 1 obtenemos la siguiente ecuación homogénea dy dx Y = y = X + 9Y 6X + Y ( ) (y 1) = cte x La anterior ecuación puede ser reducida mediante el cambio Y = V X a la siguiente ecuación en variables separables dada por quedando entonces como X dv dx = + 9V 6 + V V X dv + 3V V = dx 6 + V lista para ser tratada como una ecuación de variables separables cuya solución es 3 + V + 3V V dv = 1 dx X + cte luego Es facil ver que 3 + V + 3V V = 1 1 V V 3 + V + 3V V dv = 1 log V + 1 log V quedando la solución de la forma siguiente 1 log V + 1 log V = 1 log X + cte Por tanto log V + 1 log V log X = cte quedando entonces como V + 1 log X (V ) = log Y + 1 X X ( Y ) = cte X
7 Tomando exponenciales obtenemos (Y + 1 X ) = k 1 (Y X) siendo k 1 = e cte Finalmente deshaciendo el primer cambio de variable, la última identidad queda ((y ) + 1 ) (x 1) = k 1 ((y ) (x 1)) la cual simplificada resulta ( y + 1 x 5 ) = k 1 (y x) La solución verificando y(0) = nos da k 1 = 1/8 y por tanto la solución buscada es ( y + 1 x 5 ) = 1 8 (y x) 6 Integrar el problema de valor inicial (4x + 3y + 1) + (3x + y + 1) = 0 y(0) = 1 Solution 8 Hacer 7 Integrar el problema de valor inicial = y x 3 3x + y + 1 = 0 y( 1) = 0 Solution 9 Hacer 8 Integrar el problema de valor inicial = 3(x + 3y) 3 = 0 y(0) = 1 Solution 10 Hacer 3 Factores de Integración 1 Encuentre un factor integrante para la siguiente ecuación diferencial (x + xy y ) + (y + xy x ) = 0 sabiendo que es una función de z = (x + y) 1
8 Solution 11 Consideremos la ecuación más general siguiente M(x, y) + N(x, y) = 0 y sea µ(x, y) = µ(x + y) un factor integrante para la anterior ecuación siguiente ecuación Entonces la es exacta y por tanto se verifica que µ(x + y)m(x, y) + µ(x + y)n(x, y) = 0 x (µ(x + y)n(x, y)) = (µ(x + y)m(x, y)) Desarrollando esta última igualdad obtenemos µ N + µ x = µ M + µ M donde hemos suprimido los argumentos de las funciones para facilitar la notación Es claro que ( M µ (N M) = µ ) x y simplificando se tiene que µ µ = x M N M Luego la función x M Φ(x, y) = N M = Φ(z) debe ser una función de z = x + y y en este caso el factor integrante viene dado por µ(x + y) = µ(z) = e Φ(z)dz En nuestro caso particular aplicando este resultado general obtenemos Además se verifica que Φ(x, y) = Φ(z) = M(x, y) = x + xy y ; N(x, y) = y + xy x ; x M N M quedando entonces que el factor integrante viene dado por µ(x + y) = M = x y = y x x = 4(y x) (y x ) = x + y = z 1 (x + y)
9 Encuentre un factor integrante para la siguiente ecuación diferencial sabiendo que es una función de z = xy (x y y 3 + y) + (xy x 3 + x) = 0 Solution 1 Al igual que en el ejercicio anterior para la ecuación más general obtenemos que esta ecuación es exacta Por tanto y desarrollando nos queda Se tiene entonces la siguiente expresión quedando Luego tenemos que la función M(x, y) + N(x, y) = 0 µ(xy)m(x, y) + µ(xy)n(x, y) = 0 x (µ(xy)n(x, y)) = (µ(xy)m(x, y)) yµ N + µ x = xµ M + µ M µ (yn xm) = µ ( M ) x µ µ = x M yn xm x M Φ(x, y) = yn xm = Φ(z) debe ser una función de z = xy y en este caso el factor integrante viene dado por En nuestro caso Además es claro que µ(xy) = µ(z) = e Φ(z)dz M(x, y) = x y y 3 + y; N(x, y) = xy x 3 + x; M = x 3y + 1 x = y 3x + 1 x M Φ(x, y) = Φ(z) = yn xm = 4(y x ) xy(y x ) = xy = z quedando entonces que el factor integrante viene dado por µ(xy) = 1 x y
10 3 Encuentre un factor integrante para la siguiente ecuación diferencial (x y) + (x + y) = 0 sabiendo que es una función de z = x + y Solution 13 Análogamente y desarrollando nos queda ( µ(x + y )N(x, y) ) = ( µ(x + y )M(x, y) ) x Obtenemos entonces la siguiente expresión xµ N + µ x = yµ M + µ M µ (xn ym) = µ ( M ) x quedando entonces Luego tenemos que la función µ µ = 1 x M xn ym Φ(x, y) = 1 x M xn ym = Φ(z) debe ser una función de z = x + y y en este caso el factor integrante viene dado por µ(xy) = µ(z) = e Φ(z)dz En nuestro caso tenemos que M(x, y) = x y; N(x, y) = x + y; M = 1 x = 1 Además tenemos que Φ(z) = 1 x M xn ym = 1 x(x + y) y(x y) = 1 x + y = 1 z quedando entonces que el factor integrante viene dado por µ(x + y ) = 1 x + y
11 4 Qué relaciones deben verificar los coeficientes de la siguiente ecuación diferencial (ax + by) + (cx + ) = 0 para que admita un factor integrante que sea función de z = x + y? Solution 14 Supongamos que los coeficientes sean números reales no nulos Aplicando el ejercicio anterior, tenemos que M(x, y) = ax + by; N(x, y) = cx + ; M = b x = c Además se verifica que Φ(z) = 1 x M xn ym = 1 c b x(cx + ) y(ax + by) = 1 c b cx by + (d a) xy Para que haya factor integrante dependiente de z = x + y suficiente que d = a b = c es condición necesaria y Entonces y el factor integrante viene dado por Φ(z) = 1 x + y µ(x + y ) = 5 Encuentre un factor integrante de la ecuación 1 x + y (4xy + 3y 4 ) + (x + 5xy 3 ) = 0 sabiendo que es de la forma µ(x, y) = x r y s con r, s N que se determinarán Solution 15 Sencillo 6 Encuentre un factor integrante para la ecuación ( y + x(x + y ) ) (y(x + y ) x) sabiendo que es una función de x + y Solution 16 Hecho en clase
12 7 Demostrar que un factor integrante de la ecuación viene dado por f(xy)y + F (xy)x = 0 µ(x, y) = 1 xy[f(xy) F (xy)] Con ayuda de este resultado reducir a la cuadratura la siguiente ecuación diferencial (x 3 y 3 + 1)y + (x y 1)x = 0 Solution 17 Hacer en clase 4 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes 1 Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial con ω R d y + y = sin ωx Solution 18 La solución general de la ecuación diferencial viene dada por y(x) = y h (x) + y p (x) donde y h (x) = C 1 cos x + C sin x siendo C 1, C R Por otro lado la solución particular y p (x) viene dada por y p (x) = A sin ωx + B cos ωx con ω R y ω 1 Para determinar las constantes A y B tenemos que d y p = ( ω A sin ωx + ω B cos ωx ) y usando que obtenemos d y p + y p(x) = sin ωx (ω A sin ωx + ω B cos ωx) + (A sin ωx + B cos ωx) = sin ωx Luego A(1 ω ) = 1 B(1 ω ) = 0
13 y como ω 1 se tiene que Entonces cuando ω 1 En el caso que ω = 1 tenemos que y derivando obtenemos A = 1 1 ω, B = 0 y(x) = C 1 cos x + C sin x + 1 sin ωx 1 ω y p (x) = Bx sin x + Dx cos x p = A cos x + B sin x C sin x + D cos x + Bx cos x xd sin x d y p = B cos x C cos x A sin x D sin x Bx sin x xd cos x Por tanto d y p + y p(x) = B cos x D sin x = sin x luego D = 1/ y B = 0 En este caso y(x) = C 1 cos x + C sin x 1 x cos x Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial d 3 y y 3 d + y = xex Solution 19 La solución general viene dada por y(x) = C 1 cos x + C sin x + C 3 e x 1 xex 3 Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial d 3 y 3 + y = 1 + x e x Solution 0 La solución general viene dada por y(x) = C 1 e x + C e x/ sin ( 3 con constantes C 1, C y C 3 R x ) + C 3 e x/ cos ex 3 xex + 1 x e x ( 3 x ) + 4 Integrar el problema de valor inicial d 3 y 3 = x + sin x y(0) = 0, d y = 0, x=0 = 0 x=0
14 Solution 1 La solución general viene dada por y(x) = C 1 + C e x + C 3 e x + 1 cos x x Por otro lado usando las condiciones iniciales dadas, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones que determina la solución siguiente C 1 + C + C 3 = 1/ C C 3 = 0 C 3 + C = 3/ y(x) = ex e x Integrar el problema de valor inicial cos x x d 3 y 3 = xex + e x y(0) = 0, d y = 0, x=0 = 0 x=0 Solution La solución general viene dada por y(x) = y h (x) + y p (x) donde y h (x) = C 1 + C e x + C 3 e x es la solución general de la ecuación homogénea y y p (x) = x(a + Bx)e x + Cxe x es la solución particular donde A, B y C son constantes a determinar Tenemos que y luego d 3 y p 3 d 3 y p 3 p = Aex + (A + B)xe x + Bx e x + Ce x Cxe x = (3A + 6B)ex + (A + 6B)xe x + Bx e x + 3Ce x Cxe x p = (A + 6B)ex + 4Bxe x + Ce x = xe x + e x A + 6B = 0 4B = 1 C = 1 cuya solución resulta A = 3, B = 1, C = 1 quedando la solución particular dada por 4 4 y p (x) = x ( ) x e x + 1 xe x
15 Para resolver el problema con condiciones iniciales usamos las dadas en el ejercicio para obtener el sistema de tres ecuaciones con incognitas C 1, C y C 3 Dejamos como ejercicio el comprobar dichas constantes valen C 1 =, C = 9/8, C 3 = 7/8 Por tanto la solución es y(x) = ex e x + x ( ) x e x + 1 xe x 6 Integrar el problema de valor inicial d 3 y + 3 y(0) = 0, = 3 + x + sin x + 4 cos x d y = 0, x=0 = 0 x=0 Solution 3 Comprobar que la solución es ( y(x) = 1 sin x cos x + x 3 + x ) e x x sin x x cos x 7 Integrar el problema de valor inicial d y 6 + 9y = xe3x Solution 4 Buscar una solución particular de la forma y p (x) = x (a + bx)e 3x Comprobar que la solución general es 8 Integrar el problema de valor inicial y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x x3 e 3x d y 6 + 9y = (3 + x)e3x Solution 5 Buscar una solución particular de la forma y p (x) = x (a + bx)e 3x Comprobar que la solución general es 9 Integrar el problema de valor inicial y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x x (9 + x)e 3x d y 6 + 9y = x3 e 3x Solution 6 Buscar una solución particular de la forma y p (x) = x (a+bx+cx + 3 )e 3x Comprobar que la solución general es y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x x5 e 3x
Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.
Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)
Más detalles1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1.1. PRIMERAS DEFINICIONES. PROBLEMA DEL VALOR INICIAL Definición 1.1. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una variable dependiente y
Más detalles2.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 3 Ejercicios.3. Ecuaciones diferenciales lineales. Soluciones en la página 4 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.. y 0 C 00y D 0.. x 0 0x
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detalles2 Métodos de solución de ED de primer orden
CAPÍTULO Métodos de solución de ED de primer orden.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma a 0.x/y 0 C a.x/y D f.x/y r ; con r 0; : se denomina
Más detallesContenidos. Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 2
Tema 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Definiciones generales Problema de Cauchy Contenidos Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Resolución de ecuaciones
Más detallesEcuaciones, inecuaciones y sistemas
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 1 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Ecuaciones con una incógnita. Ecuación.- Una ecuación es una igualdad de expresiones
Más detallesProblema 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (d) f(x, y) = arctan x + y. (e) f(x, y) = cos(3x) sin(3y),
Problema. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = x + y cos(xy), (b) f(x, y) = x x + y, (c) f(x, y) = log x + y x y, (d) f(x, y) = arctan x + y x y, (e) f(x, y) = cos(3x)
Más detallesEjemplos Desarrollados
Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Mecánica Mecánica de Medios Continuos Eugenio Rivera Mancilla Ejemplos Desarrollados 1. Una placa rectangular homogénea, de masa m, cuyas aristas
Más detallesECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Introducción y métodos elementales de resolución 7.1. Generalidades Llamamos ecuación diferencial a toda ecuación que relacione una o más variables independientes,
Más detallesCLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO
MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA LA INGENIERÍA EN SISTEMAS CLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO 1 1. SISTEMAS LINEALES DISCRETOS Y CONTINUOS 1.1. Modelos matemáticos 1.2. Sistemas 1.3. Entrada
Más detallesEcuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Definición de Ecuación diferencial. A toda igualdad que relaciona a una función desconocida o variable dependiente con sus variables independientes y sus derivadas se le conoce
Más detallesComplementos de Análisis. Año 2016
Complementos de Análisis. Año 2016 Práctica 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 1 Modelando con ecuaciones diferenciales Modelar con ecuaciones diferenciales las siguientes situaciones. Intentar resolver
Más detalles2.3 Ecuaciones diferenciales lineales
.3 Ecuaciones diferenciales lineales 45.3 Ecuaciones diferenciales lineales Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos la atención
Más detalles4 Ecuaciones diferenciales de orden superior
CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 4. educción de orden allar un método para encontrar soluciones que formen un conjunto fundamental de la ED será nuestro trabajo en las siguientes secciones.
Más detallesMétodos Matemáticos 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
Métodos Matemáticos 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior L. A. Núñez * Centro de Astrofísica Teórica, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, Mérida 5101, Venezuela
Más detallesEcuaciones diferenciales de primer orden
Práctica Ecuaciones diferenciales de primer orden.. Introducción Para resolver una ecuación diferencial en la forma F (x, y, y ) = 0, o bien y = f(x, y) (.) el Mathematica dispone del comando DSolve, cuya
Más detallesEcuaciones diferenciales. Una introducción para el curso de Cálculo I y II.
Ecuaciones diferenciales. Una introducción para el curso de Cálculo I y II. Eleonora Catsigeras * 23 de julio de 2007 Notas para el curso de Cálculo II de la Facultad de Ingeniería. 1. Definición y ejemplos
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos
MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )
Más detallesLECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS.
160 LECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS. JUSTIFICACIÓN En esta lección centraremos nuestro estudio en aquellas ecuaciones diferenciales homogéneas mediante
Más detallesFactorización de Polinomios
www.matebrunca.com Prof. Waldo Márquez González Factorización 1 Factorización de Polinomios TEMAS A EVALUAR 1. Factor Común Monomio. 2. Factor Común Polinomio. 3. Factor Común por Agrupación. 4. Diferencia
Más detallesLecturas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (I) Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso
1 / 34 Lecturas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (I) Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso 2012-13 Octubre 2012 2 / 34 Motivación: Existen infinidad de problemas en Ciencia e Ingeniería
Más detallesAnálisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden: la ecuación de Bernouilli
de aplicación económica Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden: la ecuación de Bernouilli Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo
Más detallesTema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)
Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto
Más detallesSoluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior Ampliación de matemáticas urso 2008-2009 Ecuación diferencial lineal de orden n (x dn y n + P (x dn y n + + P n (x dy + P n(xy = G(x ( donde, P,...,
Más detalles1 Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matemáticas MA-841: Ecuaciones Diferenciales Lectura #6 Profesor: Victor Segura 1 Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.3.4 Factores Integrantes Dentro
Más detallesAnalicemos ahora el siguiente ejemplo: (2x 4y) dx + (12y - 6x + 1) dy = 0. Será ésta una ecuación diferencial reducible a homogénea?
82 Analicemos ahora el siguiente ejemplo: (2x 4y) dx + (2y - 6x + ) dy = 0 Será ésta una ecuación diferencial reducible a homogénea? Si observamos la ecuación diferencial, tenemos que 2x 4y = 0 2y 6x +
Más detallesAnálisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales
Análisis Dinámico: Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: 1 / 51 Introducción Solución genérica Solución de
Más detalles2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matemáticas MA-41: Ecuaciones Diferenciales Lectura # Profesor: Victor Segura Flores Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior.1 Ecuaciones Diferenciales
Más detallesECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN ARIEL M. SALORT asalort@dm.uba.ar Marzo de 2016 1. Teoría general Una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede ser escrita
Más detallesECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DE COEFICIENTES VARIABLES
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DE COEFICIENTES VARIABLES MÉTODO DE CAUCHY-EULER ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA ESIME CULHUACAN En el tema anterior tocamos el caso de las ecuaciones
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesEcuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
Tema 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Introducción Estudiaremos en este tema varios tipos de E.D.O. de primer orden que es posible resolver de forma exacta. 2.1 Ecuaciones en variables
Más detallesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon Departament de matemàtiques Codi d assignatura 35 Edita: Publicacions de la Universitat Jaume I. Servei de Comunicació i Publicacions
Más detalles7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes
7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes La ecuación lineal homogénea de coecientes constantes de orden n es: donde a 1, a 2,..., a n son constantes. a n y (n) + a n 1 y n
Más detallesEcuaciones Diferenciales I. Artemio González López
Ecuaciones Diferenciales I Artemio González López Madrid, enero de 2004 Índice general 1 Introducción 1 1.1 Preliminares.................................. 1 1.2 Técnicas elementales de integración.....................
Más detallesEcuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Tema 4 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = b(x) (41) Vamos
Más detallesFactorización. Ejercicios de factorización. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx
Factorización Ejercicios de factorización www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación...........................................
Más detallesEcuaciones diferenciales no lineales. 1. Ecuaciones diferenciales no lineales y el factor integrador
Ecuaciones diferenciales no lineales 1. Ecuaciones diferenciales no lineales y el factor integrador Del mismo modo y con la misma idea podemos incorporar el factor integrador µ y para etender la idea a
Más detalles2.- Sistemas lineales.
2.- Sistemas lineales. 2.1.-Definiciones previa. 2.1.1.-Ecuación lineal con n incógnitas: Cualquier expresión del tipo:, donde a i, b, ú. Los valores a i se denominan coeficientes, b término independiente
Más detallesCoeficiente Parte literal Coeficiente Parte literal 5 x 6 am 2. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman:
1 Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por: - una parte numérica, llamada coeficiente, y - una parte literal, formada por letras y sus exponentes. Coeficiente Parte literal Coeficiente
Más detallesCapitulo IV - Inecuaciones
Capitulo IV - Inecuaciones Definición: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detallesEcuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior al primero
Tema 5 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior al primero Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es de manera general una expresión del tipo: F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 o bien,
Más detallesCURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
Más detallesEcuaciones Diferenciales
1.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: (x + y -4) dx + (5y -1) dy=0.- Obtener la solución general de la ecuación diferencial (x-1) y dx + x (y+1) dy = 0. Hallar la solución particular que pasa
Más detallesClase 4 Funciones polinomiales y racionales
Clase 4 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo de 2014 Polinomios Definición Se llama polinomio en x a toda expresión de la forma p(x) = a 0 + a 1x+ +a n
Más detallesJosé de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización
José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación.................................. 2 2. Factor común 4 2.1. Ejercicios: factor común......................... 4
Más detallesColegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio
TRABAJO PRÁCTICO Nº 5. MONOMIOS Y POLINOMIOS TEORÍA Y PRÁCTICA Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por: - una parte numérica, llamada coeficiente, y - una parte literal, formada por
Más detallesTema 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Tema 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ampliación de Matemáticas Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial. Índice General 1 Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Más detallesCapítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional
Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional Cuando introducíamos el concepto de variable aleatoria unidimensional, decíamos que se pretendía modelizar los resultados de un experimento aleatorio en el
Más detallesNotas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023
Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Clase #8: jueves, 9 de junio de 2016. 8 Factorización Conceptos básicos Hasta
Más detallesECUACIONES. Ecuaciones. Indicadores. Contenido ECUACIÓN
Indicadores ECUACIONES Determina el conjunto solución de una ecuación. Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de ecuaciones Contenido Ecuaciones De primer grado Sistemas de ecuaciones
Más detallesTEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS RAÍCES MATEMÁTICAS 3º ESO
TEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS RAÍCES MATEMÁTICAS 3º ESO 1. División de polinomios Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente)
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD. a) Grado 2 b) Grado 3 c) Grado 2 d)grado 1 e) Grado 1 f) Grado 3 g) Grado 0 h) Grado 2 i) Grado 0
Pág. Página 8 PRACTICA Monomios Indica cuál es el grado de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: a) x b) x c) x d) x e) x f) x g) h) x i) a) Grado b) Grado c) Grado d)grado e) Grado f) Grado
Más detallesFunciones de varias variables: problemas resueltos
Funciones de varias variables: problemas resueltos BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimenez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ
Más detallesCOEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN *
40 CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5. Determine la solución general de y 6y y 34y 0 si se sabe que y e 4x cos x es una solución. 52. Para resolver y (4) y 0, es necesario encontrar
Más detallesÁlgebra. Curso de junio de Grupo B
Álgebra. Curso 2008-2009 9 de junio de 2009. Grupo B Primera parte Ejercicio. 1. Sea D un dominio noetheriano que no es un cuerpo. Demuestra que son equivalentes: (a) D es un dominio de Dedekind. (b) Todo
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales
Tema. Transformaciones Lineales TEMA: TRANSFORMACIÓN LINEAL, NÚCLEO Y RECORRIDO Problema : Sean P el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y la transformación
Más detallesECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una 2.1.
Capítulo 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 2.. INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una variable dependiente: y y sus derivadas de
Más detallesopen green road Guía Matemática PRODUCTOS NOTABLES profesor: Nicolás Melgarejo .co
Guía Matemática PRODUCTOS NOTABLES profesor: Nicolás Melgarejo.co 1. Introducción Es usual en matemática intentar simplificar todas las expresiones y definiciones, utilizando el mínimo de elementos o símbolos
Más detalles3. Ecuaciones diferenciales. Mayo, 2009
Cálculo 3. Ecuaciones diferenciales Mayo, 2009 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias 1.a Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Nociones generales
Más detallesResolución de ecuaciones lineales. En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
Resolución de ecuaciones lineales En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. Si un paréntesis tiene el signo menos delante,
Más detalles1 Introducción a las ecuaciones diferenciales
E.T.S. Arquitectura. EDO. Introducción a las ecuaciones diferenciales Una ecuación diferencial es aquella que relaciona las variables independientes con la variable dependiente y sus derivadas con respecto
Más detallesMÉTODOS DE INTEGRACION
MÉTODOS DE INTEGRACION En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el capítulo anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones elementales
Más detallesMétodos de solución de ED de primer orden
CAPÍTULO Métodos de solución de E de primer orden. Ecuaciones diferenciales de variables separables El primer tipo de E que presentamos es el de variables separables, porque con frecuencia se intenta separar
Más detallesMultiplicación de Polinomios. Ejercicios de multiplicación de polinomios. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.
Multiplicación de Polinomios Ejercicios de multiplicación de polinomios www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Antecedentes 2 2. Multiplicación de monomios
Más detalles2 x
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 08-2 Importante: Visita regularmente ttp://www.dim.ucile.cl/~calculo. Aí encontrarás las guías de ejercicios
Más detallesANÁLISIS I MATEMÁTICA 1 ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009
ANÁLISIS I MATEMÁTICA ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009 Derivadas parciales de orden superior - Polinomio de Taylor - Convexidad y Extremos Derivadas de orden superior. Calcular las derivadas
Más detallesCAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA
CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA SECCIONES A. Integrales inmediatas. B. Integración por sustitución. C. Integración por partes. D. Integración por fracciones simples. E. Aplicaciones de la integral
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas lineales
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Relación de Problemas n o 5 Curso 006-007 Matrices, determinantes y sistemas lineales 8. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule
Más detallesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación
Más detallesNoviembre 2006, Versión 1.1. Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias. 1. 4y 00 + y 0 =0. 2. y 00 y 0 6y =0.
E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 8 EDOs de orden superior Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 006/07
Más detallesETS Minas: Métodos matemáticos Ejercicios resueltos Tema 1 Preliminares
ETS Minas: Métodos matemáticos Ejercicios resueltos Tema Preliminares Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 006/07 Agosto 006,
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesINGENIERÍA VESPERTINA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL. APUNTE N o 1 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES PROFESOR RICARDO SANTANDER BAEZA
INGENIERÍA VESPERTINA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL APUNTE N o 1 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES MATEMÁTICA II PROFESOR RICARDO SANTANDER BAEZA 2004 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile
Más detallesDeterminación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales
3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 95 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales Transformadas de Ecuaciones
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA CASOS DE FACTORIZACIÓN El futuro tiene muchos nombres. Para los débiles es lo inalcanzable. Para los temerosos, lo desconocido.
Más detallesTeorema del Valor Medio
Tema 6 Teorema del Valor Medio Abordamos en este tema el estudio del resultado más importante del cálculo diferencial en una variable, el Teorema del Valor Medio, debido al matemático italo-francés Joseph
Más detallesOperador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales
Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales. Operador Diferencial Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una
Más detallesEjercicios Resueltos de Cálculo III.
Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como
Más detallesMétodos de solución de ED de primer orden
CAPÍTULO Métodos de solución de ED de primer orden.3 Ecuaciones diferenciales lineales Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos
Más detallesEl haz de planos paralelos queda determinado por un vector normal, n A, B,
HAZ DE PLANOS HAZ DE PLANOS PARALELOS Dado un plano, por ejemplo, π :3x4y2z1 cuyo vector normal es n 3, 4, 2, cualquier otro plano que tenga el mismo vector normal será un plano paralelo a. El plano π
Más detallesTALLER DE MATEMÁTICAS NOTAS. Toda expresión algebraica del tipo. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. es un polinomio de grado n, si a n 0.
NOTAS Toda expresión algebraica del tipo es un polinomio de grado n, si a n 0. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 RELACIONES DE DIVISIBILIDAD 1) x n a n = (x a)(x n 1 + ax n 2 + a 2 x n 3 +... +
Más detallesAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
FACTORIZACION DE POLINOMIOS. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común,
Más detallesMECÁNICA DE FLUIDOS I GUÍA DE EJERCICIOS TEMA 4 SOLUCIÓN
Ejercicio 1 Un campo de velocidades viene dado por MECÁNICA DE FUIDOS I GUÍA DE EJERCICIOS TEMA 4 SOUCIÓN V = 4txi 2t 2 yj + 4xzk Es el flujo estacionario o no estacionario? Es bidimensional o tridimensional?
Más detallesFunciones de varias variables
Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial
Más detallesProblemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4
Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4 Ejercicio Determinar las funciones enteras f para las que Solución f( + w) = f()f(w), w C. En primer lugar, f(0) = f(0 + 0) = f(0)f(0) = f(0) 2,
Más detalles2 Deniciones y soluciones
Deniciones y soluciones Sabemos que la derivada de una función y(x) es otra función y (x) que se determina aplicando una regla adecuada. Por ejemplo, la derivada de y = e 3x es dx = 6xe3x. Si en la última
Más detallesEcuaciones Diferenciales
1 Parte IV Ecuaciones Diferenciales Esta sección tiene como propósito dar algunos de los conceptos básicos relacionados con las ecuaciones diferenciales e ilustrar su importancia en la resolución de problemas
Más detalles+ = 0, siendo z=f(x,y).
Ecuaciones diferenciales de primer orden ECUACIONES DIFERENCIALES Definición. Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que inclua una función, que es la incógnita, alguna de sus derivadas o diferenciales.
Más detallesEcuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: problemas resueltos
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: problemas resueltos BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimenez@ull.es) M.
Más detallesHoja de Prácticas tema 2: Derivación de Funciones de Varias Variables. (d) z = arctan(xy) (e) z = arcsin(x+y) (f) z = x y. x 2 +y 2 +z 2, ω xx =
Cálculo II EPS (Grado TICS) Curso 2012-2013 Hoja de Prácticas tema 2: Derivación de Funciones de Varias Variables 1. Hallar las derivadas parciales primera y segunda de las siguientes funciones: (a) z
Más detallesIntroducción a Ecuaciones Diferenciales
Introducción a Ecuaciones Diferenciales Temas Ecuaciones diferenciales que se resuelven directamente aplicando integración. Problemas con condiciones iniciales y soluciones particulares. Problemas aplicados.
Más detallesFunciones Exponenciales y Logarítmicas
Funciones Exponenciales y Logarítmicas 0.1 Funciones exponenciales Comencemos por analizar la función f definida por f(x) = x. Enumerando coordenadas de varios puntos racionales, esto es de la forma m,
Más detallesEcuaciones diferenciales para ingenieros. Agustín E. González Morales ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIEROS
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIEROS 1 2 ÍNDICE TEMA 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 1. DEFINICIONES 2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN HAZ DE CURVAS PLANAS 3. HAZ INTEGRAL DE UNA
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 5 Derivación de funciones de una y varias variables
Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 5 Derivación de funciones de una y varias variables José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La
Más detalles