Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea

Transcripción

1 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior Ampliación de matemáticas urso Ecuación diferencial lineal de orden n (x dn y n + P (x dn y n + + P n (x dy + P n(xy = G(x ( donde, P,..., P n, P n, G están definidas y son continuas en I R, con (x 0 x I. Si G(x = 0 x I, la ecuación se llama homogénea. Si G(x 0, la ecuación se llama no homogénea o completa. Existencia y unicidad de solución Por tanto, para obtener una solución única y = y(x de ( es necesario especificar n condiciones iniciales: donde x 0 I, y 0, y,, y n R. y(x 0 = y 0, y (x 0 = y,, y n (x 0 = y n (2 Teorema Si, P,..., P n y G son continuas en I, x 0 I, y 0, y,, y n R, entonces existe una única solución de la ecuación ( en I que cumpla las condiciones iniciales (2. Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea DEF. Las funciones f, f 2,, f n son linealmente dependientes en I si existen constantes k, k 2,, k n no todas cero tales que: k f + k 2 f k n f n = 0 en I DEF. Las funciones f, f 2,, f n son linealmente independientes si no son dependientes, es decir: k f + k 2 f k n f n = 0 eni k = k 2 = = k n = 0 DEF. Sean f, f 2,, f n n funciones que poseen n derivadas al menos. Se define el Wronskiano de las funciones como el siguiente determinante: f f 2 f n f f 2 f n W (f, f 2,, f n = f n f n 2 fn n Teorema 2. Sean y, y 2,, y n n soluciones en I de la ecuación (x dn y n + P (x dn y n + + P n (x dy + P n(xy = 0 (3 Entonces y, y 2,, y n son linealmente independientes en I si y sólo si W (y, y 2,, y n 0 en I W (y, y 2,, y n (x 0 0 para algún x 0 I

2 Teorema 3. Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en I tiene n soluciones linealmente independientes en I. Teorema 4. Sean y, y 2,, y n n soluciones linealmente independientes de (3 en I. Entonces: y = c y + c 2 y c n y n es la solución general de (3 con c, c 2,, c n constantes arbitrarias. Integración de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Para obtener la solución general de: d n y n + P d n y n + + P dy n + P ny = 0 (4 ensayamos con soluciones de la forma y = e mx ya que la ecuación lineal homogénea de orden dy + ay = 0 (a constante tiene por solución y = e ax. omenzamos considerando el caso de las ecuaciones de 2 o orden: y +P y +P 2 y = 0 Si y = e mx, entonces y = me mx e y = m 2 e mx, sustituyendo se tiene: m 2 e mx + P me mx + P 2 e mx = 0 e mx ( m 2 + P m + P 2 = 0 m 2 + P m + P 2 = 0 Esta ecuación se denomina ecuación auxiliar o característica Estudiamos las raíces de la ecuación auxiliar: a Raíces reales distintas: m y m 2 En este caso tenemos dos soluciones linealmente independientes: e m x y e m 2x W (e mx, e m2x = e m x m e m x e m 2x m 2 e m 2x = m 2e mx e m2x m 2 e mx e m 2x = e (m +m 2 x (m 2 m = 0 m = m 2 Solución general: y = e m x + 2 e m 2x b Raíces reales iguales: m = m 2 Sólo tenemos una solución: e m x con m = P 2 Obtenemos otra solución a partir de esta (en la siguiente sección se detalla este proceso de forma general: y 2 = y y 2 = xe m x y 2 e R = em x Solución general: y = e m x + 2 xe m 2x e 2mx e R = 2m em x c Raíces complejas conjugadas: m = α + iβ, m 2 = α iβ Solución general: e 2mx e 2m x = em x y = e (α+iβx + 2 e (α iβx = e αx e iβx + 2 e αx e iβx = e αx ( e iβx + 2 e iβx = e αx [ (cos(βx + i sen(βx + 2 (cos(βx i sen(βx] = e αx [( + 2 cos(βx + i( 2 sen(βx] y = e αx [K cos(βx + K 2 sen(βx]

3 EUAIONES DE ORDEN SUPERIOR En el caso de una ecuación de orden n la ecuación característica es una ecuación polinomial de grado n: m n + P m n + + P n m + P n = 0 a Raíces reales distintas: m, m 2,, m n Solución general: y = e m x + 2 e m 2x + + n e mnx b Raíces reales múltiples: Si la raíz m tiene multiplicidad k aporta a la solución general: e mx + 2 xe mx + + k x k e mx c Raíces complejas conjugadas: α ± iβ (Siempre aparecen por pares conjugados Raíz simple: e αx [K cos(βx + K 2 sen(βx] Raíz de multiplicidad k: [ ] e αx (K + K 2 x + + K k x k cos(βx + (K + K 2x + + K k xk sen(βx Obtención de una solución a partir de una conocida Si se conoce una solución particular no trivial y de: (xy + P (xy + P 2 (xy = 0 (5 podemos obtener otra solución particular y 2 de modo que y e y 2 sean linealmente independientes, es decir, y 2 (x = u(xy (x (6 con u(x no constante. Para encontrar u(x: Derivamos y 2 : y 2 = u y + uy, Se sustituye en (5, y 2 y sus derivadas: y 2 = u y + 2u y + uy ( y + 2u y + uy + P (u y + uy + P 2 uy = 0 Agrupamos los términos multiplicados por u, u y : Llamamos w = u y reescribimos: y + u (2 y + P y +u( y + P y + P 2 y = 0 w y + w(2 y + P y = 0 Se trata de una ecuación lineal de primer orden ( 2y Resolvemos la ecuación: w + w + P = 0 y ( 2y + P Solución general: we y = ; u e 2 ln(y + = u y 2 e = u = y 2 (x = u(xy (x = y (x y 2 e R u = R y 2e R y 2e

4 Solución general de la ecuación completa Teorema 5. Si y p es una solución particular de la ecuación ( e y h = n ky k es la solución general de la ecuación homogénea (3. Entonces y = y h + y p es la solución general de la ecuación completa ( Integración de ecuaciones lineales completas con coeficientes constantes Variación de parámetros omenzamos considerando el caso de las ecuaciones de 2 o orden: (xy + P (xy + P 2 (xy = G(x (7 Reescribimos la ecuación: p (x = P (x (x y + p (xy + p 2 (xy = f(x, con p 2 (x = P 2(x (x f(x = G(x (x Buscamos una solución particular de la forma: (8 y p (x = u (xy (x + u 2 (xy 2 (x (9 donde y, y 2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada a (7. Derivamos (9 dos veces: y p = u y + u y + u 2y 2 + u 2 y 2 y p = y + 2u y + u y + 2y 2 + 2u 2y 2 + u 2 y 2 Sustituimos en (8: y + 2u y + u y + 2y 2 + 2u 2y 2 + u 2 y 2 + p (u y + u y + u 2y 2 + u 2 y 2 + p 2 (u y + u 2 y 2 = f Agrupamos: y + 2y 2 + u (2y + p y + u 2(2y 2 + p y 2 + u (y + p y + p 2 y + u 2 (y 2 + p y 2 + p 2 y 2 = f omo y e y 2 son soluciones de la ecuación homogénea asociada a (7: Reescribimos: y + 2y 2 + u (2y + p y + u 2(2y 2 + p y 2 = f d (u y + u 2y 2 + p (u y + u 2y 2 + u y + u 2y 2 = f Imponemos la hipótesis: u y + u 2 y 2 = 0. La expresión anterior queda reducida a: u y + u 2 y 2 = f Por tanto, para encontrar u y u 2 debemos resolver las ecuaciones: { u y + u 2 y 2 = 0 u y + u 2 y 2 = f

5 Generalización para orden n En este caso es necesario resolver el sistema: y u + y 2u y nu n = 0 y u + y 2 u y nu n = 0. y n u + yn 2 u yn n u n = f con y, y 2,, y n n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea y u, u 2,, u n funciones a determinar. y p = u k y k Métodos abreviados Dada la ecuación (, si la función G(x es de alguna de las formas siguientes, sabemos cómo será una solución particular de la ecuación completa. G(x a a k x k cos(ax ó sen(ax e mx y p (x A A k x k A cos(ax + B sen(ax Ae mx ( ( a k x k e mx A k x k e mx ( ( ( a k x k cos(bx ó A k x k cos(bx + B k x k sen(bx ( a k x k sen(bx e mx ( cos(bx ó e mx sen(bx e mx (A cos(bx + B sen(bx [( e mx a k x k cos(bx ó e mx A k x k cos(bx ( ( ] e mx a k x k sen(bx + B k x k sen(bx Si en y p (x aparece algún término de y h (x se multiplica por x n dicho término, eligiendo n de modo que no haya términos repetidos en y p (x e y h (x.