5.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

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1 5.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Una ecuación diferencial lineal de orden n es de la forma: a n (x)y (n) + a n (x)y (n ) + + a 2 (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = b(x) Pero solamente abordaremos el caso en que los coeficientes a i (x) son constantes: a n y (n) + a n y (n ) + + a 2 y + a y + a 0 y = b(x) Consideremos primeramente la ecuación homogénea: a n y (n) + a n y (n ) + + a 2 y + a y + a 0 y = 0 de la que puede demostrarse que su conjunto de soluciones es un espacio vectorial de dimensión n. Si y, y 2,, y n son n soluciones linealmente independientes, la solución general será de la forma C y + C 2 y C n y n, siendo C i contantes indeterminadas. Puede comprobarse que una función de la forma e x es solución si a n n + a n n + + a a + a 0 = 0. Así pues, según sean las raíces del polinomio característico a n t n + a n t n + + a 2 t 2 + a t+ a 0, pueden presentarse los siguientes casos: y 2 son dos raíces reales simples y distintas: entonces las funciones e x y e 2 x son soluciones linealmente independientes. Ejemplo: y y 6y = 0; polinomio característico t 2 t 6; raíces 2 y ; solución de la ecuación y = C e 2x + C 2 e x. es raíz real múltiple de grado r: entonces las r funciones e x, xe x, x 2 e x,, x r e x son soluciones linealmente independientes. Ejemplo: y 0y + 25y = 0; polinomio característico t 2 0t + 25; raiz 5 (doble); solución de la ecuación y = C e 5x + C 2 xe 5x. a bi, son un par de raíces (complejas conjugadas) simples: entonces e ax cosbx y e ax senbx son soluciones linealmente independientes. Ejemplo: y 2y + 2y = 0; polinomio característico t 2 2t + 2; raíces i; solución de la ecuación y = e x (C cosx + C 2 senx). a bi, son un par de raíces (complejas conjugadas) múltiples de grado r: entonces e ax cosbx, e ax senbx, xe ax cosbx, xe ax senbx,, x r e ax cosbx, x r e ax senbx son soluciones linealmente independientes. Ejemplo: y IV + 2y + y = 0; polinomio característico t 4 + 2t 2 + ; raíces i (dobles); solución de la ecuación y = C cosx + C 2 senx + C xcosx + C 4 xsenx Si y h es la solución general de la ecuación homogénea e y c es una solución particular de la ecuación completa, entonces y h + y c es la solución general de la ecuación completa. /5

2 Obtención de una solución particular de la ecuación completa.- ( P * k (x) y Q * k (x) son polinomios a coeficientes indeterminados, de grado k) EJERCICIOS PROPUESTOS EN EXÁMENES Escrita de la forma y y = x observamos que se trata de una ecuación lineal. El polinomio característico es t, luego la solución general de la ecuación homogénea es y = Ce x. Una solución particular de la ecuación completa tendrá la forma y 2 = Ax + B. Derivando y sustituyendo en la ecuación se obtiene que A = B =. Luego la solución general de la ecuación propuesta es y = Ce x x El polinomio característico t 2 t + 2 tiene las raíces t = y t 2 = 2, luego la solución general de la ecuación es y = C e x + C 2 e 2x. El polinomio característico t 2 + t 2 tiene las raíces y 2, luego la solución general de la ecuación homogénea es y = C e x + C 2 e 2x. Como solución particular de la ecuación completa ensayamos y = Axe x. Sustituyendo en la ecuación se obtiene que A =, de donde la solución general de la ecuación propuesta es y = C e x + C 2 e 2x + xe x. 2/5

3 El polinomio característico t + 2t 2 + no admite raíces racionales. Tiene una raíz real (irracional) en el intervalo ], 2[, llamémosle, y dos raíces complejas conjugadas, llamémoslas abi (es fácil de ver analizando la representación gráfica de f(t) = t + 2t 2 +, aunque no podemos precisar los valores). Luego la solución general tendrá la forma: y = C e x + e ax [C 2 cosbx +C senbx] La ecuación característica t t 2 0 tiene como solución 2 (doble). Luego la solución 2x 2x general de la ecuación es y = Ce C2xe. Derivando y = 2C e 2x 2x C2e 2C2xe C 2 2C C /5 2 2x. Para x = 0 se obtiene el sistema: cuya solución es C = 2 y C 2 = 5. Luego la solución particular pedida es y = 2e 2x 2x 5xe. MÁS EJERCICIOS RESUELTOS.- Resuélvase la siguiente ecuación diferencial: y + 2y' + y = x + 6 El polinomio característico t 2 + 2t + tiene la raiz, (doble), luego la solución general de la ecuación homogénea es y = C e x + C 2 xe x. Por otra parte una solución particular de la ecuación completa es de la forma y 2 = Ax + + Bx 2 + Cx + D y sustituyendo en la ecuación se obtiene y 2 = x 6x 2 + 8x 8. Luego la solución es: y = C e x + C 2 xe x + x 6x 2 + 8x Resuélvase la siguiente ecuación diferencial: y IV +2y III +2y"+2y +y = 5e x La ecuación característica t 4 + 2t + 2t 2 +2t + = 0 admite las soluciones i, i y (doble), luego la solución general de la homogénea es: y = C e x +C 2 xe x +C cosx+c 4 senx Una solución particular de la ecuación completa será de la forma y 2 = Ae x. Sustituyendo: Ae x + 2A e x +2A e x +2A e x +A e x =5 e x 5 A. Así pues la solución general será: 8 y = y + y 2 = C e x +C 2 xe x 5 x +C cosx+c 4 senx+ e 8.- Resuélvase la siguiente ecuación diferencial: y y 2y = e x Las raices de la ecuación característica t 2 t 2 = 0, son 2 y, por lo que una solución particular

4 de la ecuación completa será de la forma: y = Axe x. Sustituyendo en la ecuación se obtiene que A =, con lo que la solución de la ecuación propuesta es: y = C e 2x + C 2 e x xe x. 4.- Resuélvase la siguiente ecuación diferencial: y + y = 2xe x Calculemos primeramente la solución general de la ecuación homogénea. La ecuación característica t + t = 0, tiene las soluciones t = 0, t 2 = i, t = i, luego la solución buscada es: y = C + C 2 cosx + C senx Como solución particular de la ecuación completa, ensayaremos y 2 = (Ax+B)e x, de donde y ' 2 = Ae x + (Ax+B)e x ; y '' 2 = 2Ae x + (Ax+B)e x ; y ''' 2 = Ae x + (Ax+B)e x. Sustituyendo: Ae x + (Ax+B)e x + Ae x + (Ax+B)e x = 2xe x 2Ax + 4A + 2B = 2x A =, B = 2. Así pues la solución de la ecuación dada es: y = y + y 2 = C + C 2 cosx + C senx + (x + 2)e x La ecuación característica t t 2 + t = 0 (t ) = 0, luego la solución general de la ecuación homogénea será: y = (C + C 2 x+ C x 2 )e x Como solución particular de la ecuación completa ensayaremos una función de la forma y 2 = Ax e x + B y 2 = (Ax +Ax 2 )e x y 2 = (Ax +6Ax 2 +6Ax)e x y 2 = (Ax +9Ax 2 +8Ax+6A)e x. Sustituyendo en la ecuación propuesta: (Ax +9Ax 2 +8Ax+6A)e x (Ax +6Ax 2 +6Ax)e x +(Ax +Ax 2 )e x Ax e x B = 2e x + Simplificando: 6Ae x B = 2e x +, de donde A = ; B =. Luego la solución general de la ecuación propuesta será: y = (C + C 2 x+ C x 2 )e x + x ALGUNOS EJERCICIOS CON SOLUCIÓN. y 4y = x 2 e 2x ; Sol : y = xe 2x (Ax 2 + Bx + C) 2. y 4y + 4y = x 2 ; Sol : y = (C + C 2 x) e 2x + 8 (2x 2 + 4x + ). y + 2y + y = e 2x ; Sol : y = (C + C 2 x) e x + 9 e 2x 4. y + y = cos x; Sol : y = C cos x + C 2 sen x + 2 x sen x 5. y + y 6y = xe 2x ; 2x x x 2x Sol : y = Ce C2e x e y 2y + y = 2e x ; Sol : y = e x (C + C 2 x + x 2 ) 7. y iv + y = 0; x Sol : y = C + C 2 e x 2 + e (C cos x C4sen x) 2 2 4/5 e x

5 8. y IV 2 y + y = e x ; Sol : y = C + C 2 x + (C + C 4 x + 2 x 2 ) e x 9. y IV 2y + y = x ; Sol: y = C + C 2 x + (C + C 4 x)e x + 2x 2 + x + x 4 + x /5