Tema 16: Ecuaciones diferenciales II: Ecuaciones lineales de orden superior

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1 Tema 16: Ecuaciones diferenciales II: Ecuaciones lineales de orden superior 1 Ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que 1 Una ecuación diferencial lineal (en adelante ecuación lineal) de orden n es una expresión de la forma ( ) y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 2 (x)y 00 + p 1 (x)y 0 + p 0 (x)y = q(x) Ejemplo: He aquí diversas ecuaciones lineales: Orden 2 y 00 e x y 0 + y x =3 3 x 2 y 000 y 0 log x + e 2x y =0 4 y IV y 00 +3y 0 3y =sin2x Nota: La última ecuación se dice que es de coeficientes constantes, pues en la parte izquierda no aparece la x. Igual que para las ecuaciones de orden 1, diremos que estamos ante una ecuación lineal homogénea cuando la función q(x) sea idénticamente nula (como la segunda ecuación del ejemplo anterior, que es de orden 3). Veamos la siguiente propiedad, relativa al caso de las ecuaciones homogéneas: Propiedad: El conjunto de las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n constituye un espacio vectorial de dimensión n, subespacio del espacio vectorial de las funciones {f : R R : de clase C n } De este modo una vez que encontremos soluciones y 1,y 2,..., y n delaecuaciónyqueseanlisetienequecualquier solución y de la ecuación lineal homogénea es CL de las anteriores, es decir, de la forma y = α 1 y 1 + α 2 y α n y n para ciertos α 1, α 2,..., α n R Pues bien, lo que vamos a hacer va a ser obtener la solución general de una ecuación lineal (como la que aparece en (*)) a partir de una solución particular de dicha ecuación y de la solución general de la ecuación homogénea asociada, es decir, la que se obtiene poniendo en el miembro derecho, en vez de q(x) la función idénticamente nula: ( ) y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 2 (x)y 00 + p 1 (x)y 0 + p 0 (x)y =0 Propiedad: Supongamos que tenemos la ecuación lineal (*). Dada una solución particular y p de la ecuación, se tiene que toda solución y de (*) es de la forma y = y p + y h para alguna función y h solución de la ecuación homogénea asociada (**). Observación: Así, el proceso habitual de determinar la solución general de una ecuación lineal consistirá en determinar la solución general de la ecuación homogénea asociada y una solución particular de la ecuación inicial y sumar ambas cosas. 1

2 1.1 Ecuación lineal con coeficientes constantes Una ecuación lineal con coeficientes constantes es de la forma a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = q(x) con a 0,a 1,..., a n 1,a n números y q una función cualquiera. Ejemplo: Son ejemplos de ecuaciones lineales con coeficientes constantes las siguientes: Orden 2 3y 00 +5y 0 =7 3 y 000 8y 00 y 0 +5y = e x 4 y IV y =0 7 y VII y VI +2y 000 3y 0 = x +2e 5x 3cosx Comenzaremos por resolver ecuaciones lineales que son homogéneas Ecuación lineal con coeficientes constantes homogénea Nosocupamosdelasecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes, esdecir,delasdela forma a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y =0 donde a 0,a 1,a 2,...,a n 1,a n son números. Llamaremos polinomio característico de (o polinomio asociado a) la ecuación anterior al siguiente (realmente este concepto podemos definirlo aunque la ecuación sea no homogénea) P (λ) =a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 Para cada raíz real o compleja de este polinomio determinaremos una serie de funciones, tantas como su multiplicidad. En conjunto tendremos tantas funciones como grado tiene el polinomio, que es el orden que tiene la ecuación. Y como el método que vamos a emplear nos permite que sean LI entonces son una base del espacio vectorial de las soluciones. Por ello cualquier otra solución es CL de ellas. Empezamos a indicar cómo se hace para las raíces reales: Supongamos que tenemos una raíz real r de P con multiplicidad m. Entonces asociadas a esta raíz hay m funciones LI que son solución de la ecuación diferencial: Observemos que si r =0tendremos las funciones Ejemplos: e rx xe rx x 2 e rx... x m 1 e rx 1 x x 2... x m 1 2

3 1. y 00 11y 0 +18y =0 P (λ) =λ 2 11λ +18=(λ 9)(λ 2) 9 2 y = αe 9x + βe 2x 2. y 000 y 0 =0 P (λ) =λ 3 λ = λ(λ 2 1) = λ(λ 1)(λ +1) y = α + βe x + γe x 3. 9y 00 12y 0 +4y =0 P (λ) =9λ 2 12λ +4=(3λ 2) y = αe 2 3 x + βxe 2 3 x 3

4 4. 2y V +6y IV +6y y 00 =0 P (λ) =2λ 5 +6λ 4 +6λ 3 +2λ 2 =2λ 2 (λ 3 +3λ 2 +3λ +1)=2λ 2 (λ +1) y = α + βx + γe x + δ 1 xe x + δ 2 x 2 e x Supongamos que tenemos dos raíces complejas conjugadas a±bi de P con multiplicidad m. Entonces asociadas a esta raíz hay 2m funciones LI que son solución de la ecuación diferencial: e ax sin bx e ax cos bx xe ax sin bx xe ax cos bx x 2 e ax sin bx x 2 e ax cos bx x m 1 e ax sin bx x m 1 e ax cos bx Observemos que si la parte real a delasraíceses0 (en este caso tendríamos las raíces ±bi) tendremoslas funciones Ejemplo: 1. sin bx cos bx x sin bx x cos bx x 2 sin bx x 2 cos bx... x m 1 sin bx x m 1 cos bx y y 00 + y 0 + y =0 P (λ) =λ 3 + λ 2 + λ +1=(λ +1)(λ 2 +1) 1 ±i y = αe x + β sin x + γ cos x 4

5 2. y IV y =0 P (λ) =λ 4 1=(λ 2 1)(λ 2 +1)=(λ 1)(λ +1)(λ 2 +1) 1 1 ±i y = αe x + βe x + γ sin x + δ cos x 3. y V 2y IV +10y y 00 +9y 0 =0 P (λ) =λ 5 2λ 4 +10λ 3 18λ 2 +9λ = λ(λ 4 2λ 3 +10λ 2 18λ +9)=λ(λ 1) 2 (λ 2 +9) ±3i y = α + βe x + γxe x + δ 1 sin 3x + δ 2 cos 3x 4. y VI y V +4y IV 4y 000 =0 P (λ) =λ 6 λ 5 +4λ 4 4λ 3 = λ 3 (λ 3 λ 2 +4λ 4) = λ 3 (λ 1)(λ 2 +4) ±2i y = α + βx + γx 2 + δe x + ε 2 sin 2x + ε 3 cos 2x 5

6 5. y V + y IV +4y y y 0 13y =0 P (λ) =λ 5 + λ 4 +4λ 3 28λ 2 +35λ 13 = (λ 1) 3 (λ 2 +4λ +13) ± 3i y = αe x + βxe x + γx 2 e x + δ 1 e 2x cos 3x + δ 2 e 2x sin 3x 6. y VII +2y V + y 000 =0 P (λ) =λ 7 +2λ 5 + λ 3 = λ 3 (λ 4 +2λ 2 +1)=λ 3 (λ 2 +1) ±i ±i y = α + βx + γx 2 + δ 1 sin x + δ 2 cos x + δ 3 x sin x + δ 4 x cos x Ejemplo: Resolver el siguiente problema de condiciones iniciales ½ y 00 +8y 0 +16y =0 y(0) = 2,y 0 (0) = 3 P (λ) =λ 2 +8λ +16=(λ +4) 2 sus raíces son 4 4 y = αe 4x + βxe 4x Entonces y(0) = α ycomo y 0 = 4αe 4x + βe 4x 4βxe 4x 6

7 se cumple que y 0 (0) = 4α + β. Al imponer las condiciones iniciales, y(0) = 2 e y 0 (0) = 3, obtenemos el sistema de ecuaciones ½ α =2 4α + β = 3 cuya solución nos da α =2y β =5. Así la solución de este problema de condiciones iniciales es la función y =2e 4x +5xe 4x Ejemplo: Resolver el siguiente problema de contorno ½ y 00 +9y =0 y(0) = 2,y( π 6 )=9 sus raíces son Entonces Así la solución de este problema de contorno es P (λ) =λ 2 +9 ±3i y = α sin 3x + β cos 3x 2 = y(0) = β cos 0 = β 9 = y( π 6 )=αsin π 2 = α y =9sin3x 2cos3x Independencia lineal de funciones En general puede probarse que cualquier sistema formado por funciones de los tipos anteriores x k sin(mx)e ax,x r cos(nx)e bx,x s e cx es un subconjunto LI del espacio vectorial de las funciones {f : R R}. En lo anterior hay algunas puntualizaciones que hacer: 1) No debe haber repetición de funciones (en particular, observemos que x r cos(mx)e ax = x r cos( mx)e ax, por lo que ambas funciones no pueden estar simultáneamente). 2) No debe estar la función nula (en particular, no debe estar la función x k sin(0x)e ax =0). 3) No debe haber funciones opuestas (en particular, observemos que x k sin( mx)e ax = x k sin(mx)e ax,por lo que ambas funciones no pueden estar simultáneamente). Y justamente estas propiedades se dan cuando obtenemos las soluciones de una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes a partir de cada una de las raíces del polinomio característico, tal y como hemos indicado anteriormente. 7

8 1.1.2 Método de los coeficientes indeterminados para hallar soluciones particulares de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes no homogéneas Una vez que sabemos cómo hallar la solución general de cualquier ecuación lineal homogénea nuestro objetivo debe ser ahora ser capaces de encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea. El método que usaremos para tal menester, el método de los coeficientes indeterminados, se basa en probar con funciones parecidas a los términos independientes de la ecuación. Supongamos que tenemos una ecuación lineal con coeficientes constantes Sea P el polinomio asociado, es decir, (***) a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = q(x) P (λ) =a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 Supongamos que q(x) =f(x)e rx con f(x) un polinomio de grado k yquer no es raíz de P Pues bien, nosotros vamos a buscar una solución particular de la ecuación (***) de la forma y p = t(x)e rx siendo t un polinomio del mismo grado que f es decir, de la forma y p =(A 0 + A 1 x + A 2 x A k x k )e rx eligiendo los coeficientes adecuadamente para que se verifique la ecuación (***). Ejemplo: En los siguientes ejemplos trataremos ecuaciones de este estilo (con polinomio asociado P )cuyo término independiente es q(x) : q(x) Número que no es raíz de P Solución particular de la ecuación 3e 2x 2 y p = Ae 2x 5xe x 1 y p =(Ax + B)e x (8x 3 2)e 7x 7 y p =(Ax 3 + Bx 2 + Cx + D)e 7x En el caso en que r =0la solución particular que buscaremos será de la forma Ejemplo: Idéntico enunciado al ejemplo anterior: y p = A 0 + A 1 x + A 2 x A k x k q(x) Número que no es raíz de P Solución particular de la ecuación 5 0 y p = A 6x +7 0 y p = Ax + B x 3 2x +7 0 y p = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D 3x 5 0 y p = Ax 5 + Bx 4 + Cx 3 + Dx 2 + Ex + F 8

9 Si q(x) =[f(x)sinbx + g(x)cosbx]e ax con a + bi no siendo raíz de P f(x) y g(x) polinomios (pudiendo ser nulo f ó g, es decir, aparecer sólo el seno o sólo el coseno) nosotros buscaremos una solución particular de la ecuación (***) de la forma donde k es el mayor de los grados de f y g. Así y p =[t(x)sinbx + s(x)cosbx]e ax siendo t y s polinomios ambos de grado k y p =[(B 0 + B 1 x B k x k )sinbx +(C 0 + C 1 x C k x k )cosbx]e ax eligiendo los coeficientes adecuadamente para que se verifique la ecuación. En el caso en que a =0tendremos que buscar alguna solución particular de la forma y p =(B 0 + B 1 x B k x k )sinbx +(C 0 + C 1 x C k x k )cosbx Ejemplo: Idéntico enunciado a los ejemplos anteriores: q(x) No raíz de P Solución particular de la ecuación 4sinx i y p = A sin x + B cos x cos 2x 2i y p = A sin 2x + B cos 2x 4sin3x 2cos3x 3i y p = A sin 3x + B cos 3x 3sin7x +(3 5x)cos7x 7i y p =(Ax + B)sin7x +(Cx + D)cos7x e x sin 4x 1+4i y p = e x (A sin 4x + B cos 4x) 10e 4x cos 5x 4+5i y p = e 4x (A sin 5x + B cos 5x) 5xe x sin 6x 1+6i y p = e x ([Ax + B]sin6x +[Cx + D]cos6x) 7e 3x sin 2x + e 3x cos 2x 3+2i y p = e 3x (A sin 2x + B cos 2x) 4e 5x sin x 3x 2 e 5x cos x 5+i y p = e 5x ([Ax 2 + Bx + C]sinx +[Dx 2 + Ex + F ]cosx) Quéesloqueocurresir sí es raíz de P, con multiplicidad m? Que la solución particular de la ecuación que buscamos será como la anterior pero multiplicada por x m.así,paraelprimercasoenque será de la forma q(x) =f(x)e rx y p = x m t(x)e rx siendo t un polinomio del mismo grado que f es decir, y p = x m (A 0 + A 1 x + A 2 x A k x k )e rx 9

10 Ysi q(x) =[f(x)sinbx + g(x)cosbx]e ax con a + bi raíz de P con multiplicidad m, igual que antes, la solución particular de la ecuación que buscamos serácomolaanteriorperomultiplicadaporx m,osea,delaforma y p = x m [t(x)sinbx + s(x)cosbx]e ax siendo t y s polinomios del mismo tipo que antes es decir, y p = x m [(B 0 + B 1 x B k x k )sinbx +(C 0 + C 1 x C k x k )cosbx]e ax Ejemplo: Idéntico enunciado a los ejemplos anteriores: q(x) Raíz de P Multiplicidad Solución particular 8e 5x 5 1 y p = Axe 5x x 2 e 3x 3 4 y p = x 4 (Ax 2 + Bx + C)e 3x 5x 3 2x 0 2 y p = x 2 (Ax 3 + Bx 2 + Cx + D) y p = Ax 6 cos 3x 3i 4 y p = x 4 (A sin 3x + B cos 3x) 2x sin 4x 4i 3 y p = x 3 ([Ax + B]sin4x +[Cx + D]cos4x) 10e 4x cos 5x 4+5i 3 y p = x 3 e 4x (A sin 5x + B cos 5x) e 3x sin 2x +9xe 3x cos 2x 3+2i 2 y p = x 2 e 3x ([Ax + B]sin2x +[Cx + D]cos2x) Observación: Finalmente, cuando el término independiente es suma de funciones, todas de los tipos anteriores, es suficiente buscar para cada una de estas funciones una solución particular y luego sumarlas todas. En algunos casos podemos ahorrar algunos cálculos. Esto ocurre cuando entre las funciones que busquemos haya varias asociadas a la misma raíz (ver Ejemplo 1.1.2). Ejemplo: Idéntico enunciado a los ejemplos anteriores (ahora habrá varios números, que algunos puede que sean raíces de P y otros puede que no. Si ponemos multiplicidad 0 se entenderá que el número no es raíz): q(x) Raíces de P Multiplicidades Solución particular sin x 2xe 3x +3e 4x i, 3, 4 1, 2, 0 y p = x(a sin x + B cos x)+x 2 (Cx + D)e 3x + Ee 4x 3x e 2x cos x 0, 2+i 5, 0 y p = x 5 (Ax + B)+e 2x (C sin x + D cos x) 2e x cos 3x +2e 3x 1, 3i, 3 3, 0, 1 y p = Ax 3 e x +(B sin 3x + C cos 3x)+Dxe 3x 4xe 6x sin 5x i, 0 3, 0 y p = x 3 e 6x ([Ax + B]sin5x +[Cx + D]cos5x)+E sin 3x + x sin 4x 3i, 4i 1, 0 y p = x(a sin 3x + B cos 3x)+(Cx + D)sin4x +(Ex + F )cos4x Observación: Recordemos entonces que una vez hallada una solución particular y p de una ecuación no homogénea se tiene que la solución general y es de la forma siendo y h la solución general de la homogénea. y = y p + y h 10

11 Observación: Veamos otra manera de analizar qué números (relativos a los términos independientes de la ecuación) son los que hay que comprobar si son o no raíces del polinonio asociado a la ecuación. Hemos considerado casos en que éstos eran funciones de los tipos f(x)e rx g(x)e ax sin bx h(x)e ax cos bx con f(x),g(x),h(x) polinomios. Construyamos una ecuación lineal homogénea que sea satisfecha por los términos independientes. Por ejemplo para el caso f(x)e rx (se puede sustituir esta función por x k e rx para k el grado de f) debe ocurrir que esta función satisfaga la ecuación a construir, y por tanto ésta debe ser una ecuación cuyo polinomio asociado P tenga entre sus raíces al número r (y con multiplicidad al menos k). Por ello P debe contener el factor (x r) m. Para cualquiera de los otros dos casos P debe contener el factor [(x a) 2 +b] k siendo k el grado de g (respectivamente el de h), para que así la función x k e ax sin bx (respectivamente x k e ax cos bx) satisfaga la ecuación homogénea correspondiente. Ejemplo: Encontrar una solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales (y ya de paso resolverlas): 1. Solución: 3 no es raíz de y 00 +2y 0 + y = e 3x P (λ) =λ 2 +2λ +1=(λ +1) 2 (sus raíces son 1, 1), luego una solución particular de la ecuación es Resolvamos totalmente la ecuación. Como y p = Ae 3x y 0 p =3Ae 3x y 00 p =9Ae 3x se tiene que De aquí deducimos que e 3x = y 00 p +2y 0 p + y p =9Ae 3x +6Ae 3x + Ae 3x =16Ae 3x A = 1 16 Así, la solución particular (de la ecuación inicial) que buscábamos es y p = 1 16 e3x Como la solución general de la ecuación homogénea asociada y 00 +2y 0 + y =0 es y h = αe x + βxe x se tiene que la solución general de la ecuación inicial es y = y p + y h = 1 16 e3x + αe x + βxe x 11

12 2. y 00 3y 0 =32x 2 e x Indicación para la solución particular: 1 no es raíz de P (λ) =λ 2 3λ = λ(λ 3) (sus raíces son 0, 3), luego una solución particular de la ecuación es y p =(A + Bx + Cx 2 )e x 3. y 00 +3y 0 +2y =5sin2x Solución: 2i no es raíz de P (λ) =λ 2 +3λ +2=(λ +1)(λ +2) (sus raíces son 1, 2), luego una solución particular es Resolvamos totalmente la ecuación. Como y p = A sin 2x + B cos 2x y 0 p =2A cos 2x 2B sin 2x y 00 p = 4A sin 2x 4B cos 2x se tiene que 5sin2x = y 00 p +3y 0 p +2y p = = 4A sin 2x 4B cos 2x +6A cos 2x 6B sin 2x +2A sin 2x +2B cos 2x = =( 2A 6B)sin2x +(6A 2B)cos2x De aquí deducimos el sistema ( 5= 2A 6B 0=6A 2B en el que de la segunda obtenemos que B =3A, loquealsustituirenlaprimeranosllevaaque5= 20A, es decir A = 1 yportanto B = Así, la solución particular (de la ecuación inicial) que buscábamos es y p = 1 4 sin 2x 3 cos 2x 4 Como la solución general de la ecuación homogénea asociada y 00 +3y 0 +2y =0 es y h = αe x + βe 2x 12

13 se tiene que la solución general de la ecuación inicial es y = y p + y h = 1 4 sin 2x 3 4 cos 2x + αe x + βe 2x y 00 y =5e x sin x Indicación para la solución particular: 1+i no es raíz de P (λ) =λ 2 1=(λ 1)(λ +1) (sus raíces son 1, 1), luego una solución particular de la ecuación es de la forma y p = Ae x sin x + Be x cos x 4. y 00 +4y = 2e 5x Indicación para la solución particular: P (λ) =λ 2 +4 (sus raíces son ±2i), y 5 no es raíz de P, luego una solución particular de la ecuación es de la forma y p = Ae 5x 5. y y 0 =3e x 5sin2x Indicación para la solución particular: El polinomio característico es P (λ) =λ 3 + λ = λ(λ 2 +1) (sus raíces son 0,±i), y ni 1 es raíz de P,nitampoco2i lo es. En definitiva una solución particular de la ecuación es de la forma y p = Ae x + B sin 2x + C cos 2x Solución: y = α + β sin x + γ cos x ex 5 cos 2x 6 6. y 000 8y =7e 2x Indicación para la solución particular: 2 es raíz de P (λ) =λ 3 8=(λ 2)(λ 2 +2λ +4) (sus raíces son 2, 1 ± 3i) con multiplicidad m =1, luego una solución particular de la ecuación es de la forma y p = xae 2x 13

14 7. Indicación para la solución particular: y IV 16y =5sin2x + xe 2x 2e 3x P (λ) =λ 4 16 = (λ 2)(λ +2)(λ 2 +4) (sus raíces son 2, 2,±2i), luego 2 es raíz de P con multiplicidad uno, 3 no es raíz de P y 2i es raíz de P con multiplicidad m =1. Así una solución particular de la ecuación es de la forma y p = x(a 1 sin 2x + A 2 cos 2x)+x(Bx + C)e 2x + De 3x 8. Indicación para la solución particular: y V 2y IV + y 000 =3x +sinx 3e x +2xe x P (λ) =λ 5 2λ 4 + λ 3 = λ 3 (λ 2 2λ +1)=λ 3 (λ 1) 2 (0,0,0,1,1), luego 0 es raíz de P con multiplicidad m =3, i no es raíz de P, 1 es raíz de P con multiplicidad m =2y 1 no es raíz de P. Así una solución particular de la ecuación es de la forma y p = x 3 (Ax + B)+(C 1 sin x + C 2 cos x)+dx 2 e x +(E 1 x + E 2 )e x 9. Indicación para la solución particular: y 00 2y 0 + y = xe x +2xe x P (λ) =λ 2 2λ +1=(λ 1) 2 (1,1), luego 1 es raíz de P con multiplicidad m =2y 1 no es raíz de P. Así una solución particular de la ecuación es de la forma y p = x 2 (Ax + B)e x +(Cx + D)e x 10. Indicación para la solución particular: y 00 2y 0 +2y =4e x cos x 10e 3x P (λ) =λ 2 2λ +2 (sus raíces son 1 ± i), luego 1+i es raíz de P con multiplicidad m =1y 3 no es raíz de P. Así, una solución particular es de la forma y p = x(ae x sin x + Be x cos x)+ce 3x 14

15 11. Indicación para la solución particular: y 00 + y =5x 2 e x + x cos x P (λ) =λ 2 +1 (sus raíces son ±i), luego 1 no es raíz de P y i es raíz de P con multiplicidad m =1. Así una solución particular de la ecuación es de la forma y p =(A 1 x 2 + A 2 x + A 3 )e x + x[(b 1 x + B 2 )sinx +(C 1 x + C 2 )cosx] 12. Indicación para la solución particular: y 00 + y =4x cos x 3sinx P (λ) =λ 2 +1 (sus raíces son ±i), luego i es raíz de P con multiplicidad 1 (observemos que únicamente tenemos que fijarnos en estas raíces, para los dos sumandos del término independiente; de hecho el término independiente de la ecuación puede ponerse en la forma (x 1) cos x). Así una solución particular de la ecuación es y p = x[(a 1 x + A 2 )sinx +(B 1 x + B 2 )cosx] 13. Resolver el siguiente problema de condiciones iniciales: ( y 00 y =18e 2x y(0) = 8,y 0 (0) = 7 P (λ) =λ 2 1 (sus raíces son ±1), luego 2 no es raíz de P. Así una solución particular de la ecuación es de la forma y p = Ae 2x Derivando tenemos luego se tiene que y 0 p = 2Ae 2x y 00 p =4Ae 2x 18e 2x = y 00 p y p =3Ae 2x de donde obtenemos que A =6. Así una solución particular de la ecuación es y p =6e 2x 15

16 Por otra parte la solución general de la ecuación homogénea es y en definitiva la solución general de la ecuación es Debemos hallar la derivada de esta función, que es para imponer finalmente las condiciones iniciales Obtenemos que y h = αe x + βe x y = y p + y h =6e 2x + αe x + βe x y 0 = 12e 2x + αe x βe x 8 = y(0) = 6 + α + β 7 = y 0 (0) = 12 + α β 2 = α + β 5 = α β luego α = 7, β = 3. Por ello la solución de nuestro problema de condiciones iniciales es 2 2 y =6e 2x ex 3 2 e x 16