UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-6-4-M CURSO: Matemática aplicada JORNADA: SEMESTRE: Matutina do. Semestre AÑO: 0 TIPO DE EXAMEN: Examen Final NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN: Linda Solis REVISÓ EL EXAMEN: Ing. Orlando López

2 Nombre: Carné INSTRUCCIONES: Desarrolle cada tema que se le plantea a continuación, dejando claro su procedimiento y REALICE ITERACIÓN COMPLETA A MANO en cada método que utilice. Usted contará con 00 minutos para resolverlo NO SE PERMITE EL PRÉSTAMO DE CALCULADORAS. Cada tema 0 puntos. Tema : Sea f ( x ) x x cosx x ; 0. x 0. Utilice el P y tol Método de Steffensen para calcular una raíz con 0 0. MATEMÁTICA APLICADA EXAMEN FINAL 07 Tema : A continuación se presentan las presiones de vapor del cloruro de magnesio: Puntos P (mm Hg) T C Construya un polinomio (simplificado), que represente los datos de los puntos 0, y 5, usando Lagrange, úselo para calcular la presión de vapor correspondiente a T = 000 C. Tema : Resolver el siguiente sistema: método de Gauss-Seidel, tomando 4x x 6x x 6x x 8x 6x x (0) t x 0,0,0, TOL < usando el Tema 4: Use el método de Newton-Raphson para hallar una solución del sistema dado ( 0 ) t con y x.65,.80 ln x x sen x x x x 0 x x e cos f x x Tema 5: Sea la función x ln ln, halle una raíz por el método de Newton, en el intervalo 0,.5, con Tol < x

3 RESOLUCIÓN DE EXAMEN Tema : Sea f ( x ) x x cosx x ; 0. x 0. Utilice el Método de Steffensen para calcular una raíz con P0 0. y tol Donde: Este método proporciona convergencia cuadrática en la localización de un punto fijo de una función real p 0 = punto inicial del método p = g(p 0 ) p = g(p ) p n+ = aproximación a la raiz p n+ = p 0 (p p 0 ) p p + p 0 Error = p 0 p n+ De la función: f x = x + xcosx x Obtenemos la función g(x): g x = + x xcosx Como la tolerancia contiene decimales se trabajará el método agregando decimales mas, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún momento f(p) no llegue a ser cero directamente. p 0 = 0. p = g p 0 = Cos 0. = p = g p = Cos = p n+ = = 0.970

4 Error = Como este error no es menor que 0.00 se hace una nueva iteración hasta encontrar la raíz. n Po P P Pn+ Error La raíz se encontró en la iteración, con un valor de 0.975, debido a que el error es menor que la tolerancia. La raiz es Tema : A continuación se presentan las presiones de vapor del cloruro de magnesio: Puntos P (mm Hg) T C Construya un polinomio (simplificado), que represente los datos de los puntos 0, y 5, usando Lagrange, úselo para calcular la presión de vapor correspondiente a T = 000 C. El polinomio de interpolación de LaGrange se plantea como sigue: P x = y 0 l 0 + y l + y l +.y n l n Donde los polinomios l i x se llaman polinomios de LaGrange correspondientes a la tabla de datos. Un polinomio de LaGrange de grado es el que se obtiene para representar los datos de los puntos 0, y 5.

5 A partir de la tabla de datos se obtiene la siguiente tabla: 0 X (Temperatura) P(x) (Presión mmhg) Al formar el polinomio con los puntos dados se obtiene el siguiente polinomio P x = 60 x x0 x x x0 + x x x + 00 x x0 x x x0 + x x + x + 0 (x x) (x x) (x0 x) (x0 x) Sustituyendo valores los valores se obtiene el polinomio de grado : P x = 5( x + 4x ) Luego se calcula la presión de vapor correspondiente a T=000 C: P 000 = 5( (000) + 4(000) ) = La presión de vapor a 000 C es mmhg

6 Tema : Resolver el siguiente sistema: método de Gauss-Seidel, tomando 4x x 6x x 6x x 8x 6x x 4 4 (0) t x 0,0,0, TOL < 0 usando el Como primer paso se determina si la matriz es diagonalmente dominante, se deben ordenar las filas para que resulte una diagonal dominante, esto significa que si el valor absoluto del elemento de la diagonal de cada renglón es más grande que la suma de los valores absolutos de los otros elementos de tal renglón entonces el sistema tiene una solución única. En este cuadro se tiene la matriz ordenada: AX B = = 0 Así se comprueba que la suma en valor absoluto de los coeficientes de la diagonal principal es la mayor haciendo cualquier arreglo entre filas. Ahora se determina la ecuación de recurrencia para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas realizando los despejes respectivos. x = 4 x +x 6 x = x +6x + 6 x = 4+x 4x 8 Con el vector de arranque inicial se itera en el ciclo que cambia la aproximación utilizando los valores de las incógnitas más recientes. (0) x 0,0,0 t

7 x = 4 (0) +(0) = x = = 0.8 x = ( ) 8 = 0.75 Ahora se calcula el error para cada variable y se toma el valor más grande para error del método Ex n = x (n ) x (n) = x (0) x () Ex = = Ex = = 0.8 Ex = = 0.75 El error más grande que se tiene es el de Ex como 0.8>0.0 se deben hacer mas iteraciones Se completa la tabla con las iteraciones necesarias. n x x x Ex Ex Ex ERROR La solución se encontró en la 4 iteración, con un valor de: X = , X = y X =

8 Tema 4: Use el método de Newton-Raphson para hallar una solución del sistema dado ( 0 ) t con y x.65,.80 ln x x sen x x x x 0 x x e cos ln ln Se iguala a cero cada ecuación y se evalúan con el vector inicial de arranque y se obtiene el siguiente sistema f = In.65 + (.80 sen e cos = Se formula el jacobiano, en este caso se tienen ecuaciones y dos incógnitas, entonces el jacobiano queda de la siguiente manera j x, x = x (x ) + x x Cos x x e x x x Sen(x x ) x (x ) + x x Cos(x x ) e x x x Sen(x x ) Se evalúa el jacobiano con el vector inicial j.65,.80 = Se saca la inversa del jacobiano y se obtiene la siguiente: j.65,.80 =

9 Con todos los cálculos hechos anteriormente se puede encontrar la primera aproximación a la solución y el error que se cometió, para este caso el valor de k es porque es la primera iteración x (k) = x (k ) j f x () = x (0) j f x () = x () = Ex = x (n) x (n ) = x () x (0) = = Ex = x (n) x (n ) = x () x (0) = = Se toma el mayor error, como no cumple 0.687>0.00 (error mayor que tolerancia), se debe realizar otra iteración hasta encontrar la raíz y completar la tabla. n x x Error La solución del sistema es x =.7745 y x =.7745 f x x x Tema 5: Sea la función, halle una raíz por el método de Newton, en el intervalo 0,.5, con Tol < Se debe tener un punto inicial cercano a la raíz, como dan un intervalo, se tiene: x =.5 0 = 0.75 Esto se puede comprobar con la grafica de la función ya que el punto cercano a la raíz esta en el intervalo que da el problema x

10 Se calcula la primera derivada de la función f(x): f x x x x f x = + x In x Se calcula la aproximación a la raíz por el corte con el eje de las x de la recta tangente x n+ = x n f x n f x n x = 0.75 x x + x + + x In x Se calcula el error x = 0.75 (0.75) (0.75) (0.75) In (0.75 ) =0.704 Error = x n+ x n Error = =

11 Como el error es >0.00 se siguen haciendo iteraciones, luego se completa la tabla: n Xn Xn+ Error E-06 La raíz se encontró en la iteración, con un valor de