E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs lineales

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1 ETS Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs lineales Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Noviembre 2009 Versión 6 Contenido Conceptos básicos 2 Sistemas lineales homogéneos 3 Resolución de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 4 Resolución de sistemas completos: variación de parámetros Conceptos básicos Sistemas lineales Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es un sistema de la forma dx a (t) x + a 2 (t) x a n (t) x n + b (t) dx 2 a 2 (t) x + a 22 (t) x a 2n (t) x n + b 2 (t) dx n a n (t) x + a n2 (t) x a nn (t) x n + b n (t) Los coeficientes a ij (t) y los términos independientes b j (t) son funciones continuas en algún intervalo común I Las incógnitas son las n funciones x (t) x 2 (t) x n (t) El sistema es homogéneo cuando los términos independientes son idénticamente nulos b j (t) 0 para j n Cuando todos los coeficientes a ij (t) son constantes el sistema se denomina de coeficientes constantes

2 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 2 2 Funciones vectoriales Una función vectorial de variable real es un vector x (t) x 2 (t) X(t) x n (t) cuyas componentes son funciones Cuando manejamos funciones vectoriales hemos de tener en cuenta los siguientes aspectos: El dominio de una función vectorial es el la intersección del dominio de sus componentes 2 Una función vectorial es continua en un intervalo I si todas sus componentes son continuas en I 3 La derivada de una función vectorial se obtiene derivando sus componentes d x (t) x (t) d x 2 (t) d x 2(t) x n (t) d x n(t) 4 La primitiva de una función vectorial se obtiene integrando sus componentes Z x (t) x (t) Z x 2 (t) Z x 2 (t) x n (t) Z x n (t) Ejemplo Consideramos la función vectorial definida por ln t X(t) e 2t 4 t Determina el dominio 2 Calcula X 0 3 Calcula una primitiva 4 Calcula Z 2 X

3 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 3 Dominio Las funciones componentes son x lnt x 2 e 2t x 3 4 t Los dominios de las funciones componentes son D(x ) (0 + ) D(x 2 ) ( + ) D(x 3 ) ( 4] por lo tanto el dominio de la función vectorial es D(X) D(x ) D(x 2 ) D(x 3 )(0 4] 2 Derivada X 0 t 2e 2t 2 4 t 3 Primitiva Calculamos las primitivas de las funciones componentes Z Z Z x ln t t ln t t t t ln t t + c Z e 2t 2 e2t + c 2 Z 4 t Z 2 3 (4 t)3/2 + c 3 En resumen tenemos Z X (4 t) /2 ( ) (3/2) (4 t)3/2 + c t ln t t 2 e2t (4 t)3/2 + C donde C (c c 2 c 3 ) t es un vector arbitrario de R 3 4 Integral definida Calculamos la integral definida de las funciones componentes Z 2 Z 2 x ln t[tln t t] t2 t 2ln2

4 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 4 Z 2 Z 2 x 2 Z 2 e 2t t2 2 e2t t 2 e4 2 e2 ³p (4 t) 3 t2 Z 2 x 3 4 t t 3 Por lo tanto resulta R 2 Z x 2ln2 (t) 2 R X 2 x 2(t) 2 e e R 2 x 3(t) Propiedades de la derivación de funciones vectoriales Sea: X(t) Y(t) funciones vectoriales del mismo número de componentes α un escalar f(t) una función escalar (a cada t le corresponde un valor real) v un vector constante Entonces se cumple [X(t)+Y(t)] 0 X 0 (t)+y 0 (t) 2 [αx(t)] 0 αx 0 (t) 3 [f(t) X(t)] 0 f 0 (t) X(t)+f(t) X 0 (t) 4 [f(t) v] 0 f 0 (t) v Ejemplo 2 Dada la función vectorial µ t 2 X sin 2 t y la función escalar f(t) e 2t calcula [f(t) X(t)] 0 Aplicamos la regla del producto [f(t) X(t)] 0 f 0 (t)x(t)+f(t) X 0 (t) µ µ [f(t) X(t)] 0 t 2e 2t 2 sin 2 + e 2t 2t t 2sintcos t µ 2e 2t t 2 + t sin 2 +sintcos t

5 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 5 4 Expresión matricial de un sistema lineal Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden se puede escribir en la forma X 0 AX + B donde X x (t) x 2 (t) x n (t) A a (t) a 2 (t) a n (t) a 2 (t) a 22 (t) a 2n (t) a n (t) a n2 (t) a nn (t) B b (t) b 2 (t) b n (t) Denominamos dimensión del sistema al número de componentes del vector X Ejemplo 3 Consideramos el sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes dx 4x +6y dy 3x +5y Exprésalo en forma matricial 2 Verifica que las funciones vectoriales µ µ X e 2t 2 X 2 e t son soluciones del sistema Expresión matricial El sistema puede expresarse en la forma µ µ µ d x 4 6 x y 3 5 y si tomamos µ x X y µ 4 6 A 3 5 el sistema se escribe X 0 AX 2 Verificación de la soluciones Tomamos µ X e 2t y calculamos la derivada µ X 0 2e 2t

6 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 6 Por otra parte tenemos µ µ 2t µ µ 4 6 AX e e 3 5 2t µ µ e 2t 4+6 e 3+5 2t 2 X 2 0 por lo tanto X (t) es solución del sistema Para X 2 resulta µ 2 X 2 e t µ X e t µ µ t µ µ AX 2 e e 3 5 t µ µ e t 8+6 e 6+5 t 2 por lo tanto X 2 (t) también es solución del sistema 2 Sistemas lineales homogéneos Nos ocupamos en esta sección de sistemas lineales homogéneos X 0 AX donde x (t) a (t) a 2 (t) a n (t) x 2 (t) X A a 2 (t) a 22 (t) a 2n (t) x n (t) a n (t) a n2 (t) a nn (t) 2 Independencia lineal Supongamos que las funciones vectoriales X (t) X 2 (t)x k (t) son soluciones del sistema homogéneo en el intervalo I Decimosquelasso- luciones son linealmente dependientes en el intervalo I si existen constantes c c 2 c k tales que c X + c 2 X c k X k 0 para todo t en el intervalo I Si la ecuación c X + c 2 X c k X k 0 para todo t I sólo se cumple cuando c c 2 c k 0 decimos que el conjunto de soluciones X X 2 X k son linealmente independientes

7 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 7 22 Wronskiano La independencia lineal puede estudiarse usando el wronskiano de n funciones vectoriales Teorema 2 Consideramos el sistema lineal homogéneo de dimensión n x a (t) a 2 (t) a n (t) x d x 2 a 2 (t) a 22 (t) a 2n (t) x 2 a n (t) a n2 (t) a nn (t) x n y supongamos que X x x 2 x n X 2 x 2 x 22 x n2 X n x n x 2n x nn son n vectores solución en el intervalo I Entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en el intervalo si y sólo si el wronskiano x x 2 x n x 2 x 22 x 2n W (X X 2 X n ) x n x n2 x nn es no nulo para todo t I 23 Estructura del espacio de soluciones El siguiente teorema determina la estructura del conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo Teorema 22 El conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo de dimensión n x a (t) a 2 (t) a n (t) x d x 2 a 2 (t) a 22 (t) a 2n (t) x 2 a n (t) a n2 (t) a nn (t) x n es un espacio vectorial de dimensión n Dado el sistema de dimensión n X 0 AX denominamos conjunto fundamental de soluciones a un conjunto de n soluciones X X 2 X n linealmente independientes Observamos que según el Teorema 22 todo sistema lineal homogéneo tiene sistemas fundamentales de soluciones x n x n

8 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 8 Teorema 23 Dado el sistema lineal homogéneo X 0 AX sea X X 2 X n un sistema fundamental de soluciones en el intervalo I Entonces la solución general del sistema en el intervalo es X c X + c 2 X c n X n donde c c 2 c n son constantes arbitrarias Ejemplo 2 Determina la solución general del sistema µ µ µ d x 4 6 x y 3 5 y Hemos visto en el Ejemplo 3 que los vectores µ µ X e 2t 2 X 2 e t sonsolucióndelsistemaelwronskianoes W (X X 2 ) 2e t e2t e t e 2t 2e t e t 2e t e t e2t e 2t e t Obtenemos que el wronskiano no se anula para ningún valor de t por lo tanto los vectores solución son linealmente independientes y forman un sistema fundamental La solución general es X c µ e 2t + c 2 µ 2 e t c c 2 R que también puede escribirse en la forma ½ x c e 2t +2c 2 e t y c e 2t + c 2 e t c c 2 R 3 Resolución de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes En esta sección se muestra como obtener la solución general del sistema lineal homogéneo de dimensión n con coeficientes constantes X 0 AX La construcción de la solución se basa en el cálculo de los valores y vectores propios de la matriz de coeficientes A Consideramos 3 casos: Valores propios reales distintos 2 Valores propios reales repetidos 3 Valores propios complejos distintos No trataremos el caso de valores propios complejos repetidos

9 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 9 3 Valores propios reales distintos La matriz de coeficientes es una matriz cuadrada de orden n si A tiene n valores propios reales distintos λ λ 2 λ n entonces podemos determinar n vectores propios linealmente independientes En este caso las funciones vectoriales V V 2 V n X (t) V e λt X 2 (t) V 2 e λ2t X n (t) V n e λnt forman un sistema fundamental de soluciones en el intervalo ( + ) y la solución general es X(t) c V e λt + c 2 V 2 e λ2t + + c n V n e λnt donde c c 2 c n son constantes arbitrarias Ejemplo 3 Resuelve el sistema dx 4x +6y dy 3x +5y Determina la solución particular que verifica µ 0 X(0) Expresamos el sistema en forma matricial µ X X El polinomio característico es p(λ) A λi 4 λ λ ( 4 λ)(5 λ) λ 5λ + λ 2 +8 λ 2 λ 2 Resolvemos la ecuación característica λ ± +8 2 λ 2 λ

10 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 0 Los valores propios son λ λ 2 2 Para calcular los vectores propios asociados a λ Resolvemos (A λ I) V 0 (A + I) V 0 µ µ µ 4+ 6 x y 0 ½ 3x +6y 0 3x +6y 0 Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas { x +2y 0 resolvemos paramétricamente ½ x 2α y α α R Los vectores propios asociados a λ son de la forma µ 2 V α α R tomamos µ 2 V Para calcular los vectores propios asociados a λ 2 2 resolvemos (A 2I) V 0 µ µ µ x y 0 ½ 6x +6y 0 3x +3y 0 Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas { x + y 0 resolvemos paramétricamente ½ x α y α α R Los vectores propios asociados a λ 2 son de la forma µ V α α R

11 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs tomamos µ V 2 Sistema fundamental de soluciones µ µ 2 X e t X 2 e 2t la solución general es X c µ 2 e t + c 2 µ e 2t Para determinar la solución particular imponemos la condición µ 0 X(0) yresulta c µ 2 e 0 + c 2 µ µ e 0 0 ½ 2c + c 2 0 c + c 2 Restamos la 2 a ecuación a la a y obtenemos sustituyendo en la a ecuación resulta c c 2 2 Por lo tanto la solución del problema de valor inicial es µ µ 2 X(t) e t +2 e 2t obien ½ x(t) 2e t +2e 2t y(t) e t +2e 2t 32 Valores propios reales repetidos Cuando existe un valor propio λ de multiplicidad m la situación es bastante más complicada A continuación vemos algunos casos particulares Representamos por P λ ker(a λi) el subespacio de vectores propios asociados al valor propio λ Conviene notar que si reunimos vectores solución linealmente independientes correspondientes a valores propios distintos se obtiene un conjunto de soluciones linealmente independiente

12 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 2 32 Valor propio de mutiplicidad 2 con dim(p λ )2 En este caso disponemos de dos vectores propios asociados V V 2 que son linealmente independientes La solución es análoga al caso de valores propios simples Los vectores X (t) V e λt X 2 (t) V 2 e λt son vectores solución linealmente independientes Ejemplo 32 Resuelve el sistema dx x dy x + y z dz x +2z Se trata de un sistema de dimensión 3 en forma matricial es X X 0 2 Calculamos el polinomio característico λ 0 0 p(λ) A λi λ 0 2 λ ( λ) λ 0 2 λ ( λ) 2 (2 λ) los valores propios son λ (doble) λ 2 2 Vectores propios asociados a λ Resolvemos (A λ I) V 0 (A I) V x y 0 z ½ x z 0 x + z Resulta un sistema de una ecuación con tres incógnitas {x + z 0

13 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 3 resolvemos paramétricamente x α y β z α α β R los vectores propios asociados a λ son de la forma V α 0 + β 0 α β R 0 El subespacio de vectores propios P λ es de dimensión 2 podemos obtener dos vectores propios linealmente independientes V 0 V y construir los vectores solución X (t) 0 e t X 2 (t) 0 0 e t Vectores propios asociados a λ 2 2 Resolvemos el sistema (A 2I) V x µ y z 0 0 x µ y z x 0 x y z 0 x 0 Resulta un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas ½ x 0 y + z 0 Resolvemos paramétricamente x 0 y α z α α R los vectores propios asociados a λ 2 son de la forma V α 0 α R

14 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 4 tomamos y obtenemos el vector solución V 3 0 X 3 (t) 0 e 2t Finalmente obtenemos el sistema fundamental de soluciones X (t) 0 y la solución general es X(t) c e t X 2 (t) e t + c e t X 3 (t) e t + c e 2t e 2t donde c c 2 c 3 son constantes arbitrarias La solución también puede expresarse en la forma x(t) c e t y(t) c 2 e t + c 3 e 2t z(t) c e t c 3 e 2t 322 Valor propio de mutiplicidad 2 con dim(p λ ) En este caso disponemos de un único vector propio asociado V Un vector solución es X (t) V e λt Podemos construir un segundo vector solución de la forma X 2 (t) V te λt + V 2 e λt donde V 2 verifica (A λi) V 2 V Las funciones vectoriales X (t) X 2 (t) así obtenidas son soluciones linealmente independientes Ejemplo 33 Resuelve el sistema dx 3x y dy 4x + y y determina la solución particular que verifica ½ x(0) 0 y(0)

15 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 5 Expresamos el sistema en forma matricial µ X X El polinomio característico es p(λ) A λi 3 λ 4 λ ( 3 λ)( λ)+4 3+3λ λ + λ 2 +4 λ 2 +2λ + Resolvemos λ 2 +2λ +0 λ 2 ± (doble) 2 2 Tenemos un único valor propio doble λ Vectores propios asociados a λ Resolvemos (A λi) V 0 (A + I) V 0 µ µ µ 3+ x y 0 ½ 2x y 0 4x +2y 0 Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas {2x + y 0 resolvemos paramétricamente ½ x α y 2α α R Los vectores propios asociados a λ son de la forma µ V α α R 2 tomamos V µ 2 El subespacio de vectores propios es de dimensión vector solución µ X (t) e 2 t Obtenemos un primer

16 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 6 Para determinar un segundo vector solución X 2 calculamos V 2 que verifique (A + I) V 2 V µ µ µ 2 x 4 2 y 2 ½ 2x y 4x +2y 2 Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas {2x + y resolvemos paramétricamente ½ x α y 2α α R Para α 0 obtenemos el vector µ 0 V 2 construimos un segundo vector solución de la forma X 2 (t) V te λt + V 2 e λt esto es µ µ X 2 (t) te 2 t 0 + e t La solución general es X(t) c µ 2 e t + c 2 µ 2 µ te t 0 + t e Para determinar la solución particular imponemos las condiciones : ½ x(0) 0 oloqueeslomismo y(0) µ 0 X(0) y obtenemos c µ 2 e 0 + c 2 µ 2 µ 0 e µ 0 e µ c 2 µ + c 2 µ 0 c 2c c 2 µ 0 µ 0 de donde resulta ½ c 0 c 2 La solución particular es µ X(t) e t t e t +2e t t

17 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 7 4 Valores propios complejos Consideramos el sistema X 0 AX donde A es una matriz n n real Si A tiene un par conjugado de valores propios complejos λ α ± βi tomamos el valor propio λ α + βi y calculamos un vector propio asociado V U + Wi Entonces podemos obtener el par de vectores solución X (t) e αt (U cos βt W sin βt) X 2 (t) e αt (U sin βt + W cos βt) Los vectores solución obtenidos son la parte real y la parte imaginaria de e αt (cos βt + i sin βt)(u + Wi) Ejemplo 4 Resuelve el sistema dx 4x 5y dy 5x 2y y determina la solución particular que verifica ½ x(0) 0 y(0) Expresamos el sistema en forma matricial µ X X El polinomio característico es p(λ) A λi 4 λ λ (4 λ)( 2 λ) λ +2λ + λ λ 2 2λ +7 Resolvemos la ecuación característica λ 2 2λ +70

18 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 8 λ 2 ± ± 8i ± 4i 2 2 tenemos un par de valores propios complejos conjugados λ ± 4i Para calcular un vector propio asociado a λ +4i resolvemos el sistema (A λi) V 0 µ µ µ 4 4i 5 x i y 0 µ µ µ 3 4i 5 x i y 0 Obtenemos el sistema ½ (3 4i) x 5y 0 5x (3 + 4i) y 0 reordenamos ½ 5x (3 + 4i) y 0 (3 4i) x 5y 0 Multiplicamos la primera ecuación por (3 4i) 5 y la sumamos a la segunda y obtenemos ½ 5x (3 + 4i) y 0 00 Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas {5x (3 + 4i) y 0 resolvemos paramétricamente x 3+4i 5 y a a a R Los vectores propios asociados a λ son de la forma V a 3+4i 5 a R Tomamos V µ 3+4i 5 µ 3 5 µ 4 + i 0

19 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 9 El sistema fundamental de soluciones son la parte real y la parte imaginaria de µ µ e t 3 4 (cos 4t + i sin 4t) + i 5 0 Sistema fundamental de soluciones µ µ X (t) e t 3 4 cos 4t 5 0 µ µ X 2 (t) e t 4 3 cos 4t La solución general es X c e t µ 3 5 cos 4t µ 4 0 c e t µ 3cos4t 4sin4t 5cos4t µ sin 4t e t 3cos4t 4sin4t 5cos4t µ sin 4t e t 4cos4t +3sin4t 5sin4t µ sin 4t + c 2 e t c 2 e t µ 4cos4t +3sin4t 5sin4t Para determinar la solución particular imponemos la condición µ 0 X(0) µ 3 cos 4t + 5 sin 4t yresulta c e 0 µ 3cos0 4sin0 5cos0 c µ c 2 e 0 µ 4cos0+3sin0 5sin0 + c 2 µ 4 0 µ 0 µ 0 ½ 3c +4c 2 0 5c ½ c /5 c 2 3/20 Por lo tanto la solución del problema de valor inicial es X(t) 5 et µ 3cos4t 4sin4t 5cos4t 3 20 et µ 4cos4t +3sin4t 5sin4t 5 4 et sin 4t X(t) e t cos 4t 3 4 et sin 4t

20 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 20 5 Resolución de sistemas completos: variación de parámetros El objetivo de esta sección es presentar un método de resolución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales completos con coeficientes constantes X 0 AX + B () donde X x (t) x 2 (t) x n (t) a (t) a 2 (t) a n (t) A a 2 (t) a 22 (t) a 2n (t) B a n (t) a n2 (t) a nn (t) b (t) b 2 (t) b n (t) Puede demostrarse que la solución general del sistema () puede expresarse en la forma X(t) X h (t)+x p (t) donde X h es la solución general del sistema homogéneo X 0 AX X p es una solución particular del sistema completo X 0 AX + B Cuando el sistema es de coeficientes constantes disponemos de métodos para determinar la solución general del sistema homogéneo por lo tanto el problema se reduce a calcular una solución particular del sistema completo 5 Matriz fundamental Consideramos el sistema homogéneo X 0 AX (2) Una matriz fundamental es una matriz cuyas columnas es un sistema fundamental de soluciones esto es decir que la matriz x (t) x 2 (t) x n (t) x 2 (t) x 22 (t) x 2n (t) Φ x n (t) x n2 (t) x nn (t) es una matriz fundamental del sistema (2) sobre el intervalo I equivale a decir que los vectores x (t) x 2 (t) x n (t) x 2 (t) X (t) X x 22 (t) 2(t) X x 2n (t) n(t) x n (t) x n2 (t) x nn (t) son un sistema fundamental de soluciones

21 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 2 Empleando una matriz fundamental la solución general del sistema homogéneo se puede escribir en la forma X Φ C donde C c c 2 es vector columna cuyas componentes son constantes arbitrarias La matriz fundamental verifica la siguiente propiedad Ejemplo 5 Dado el sistema dx dy c n Φ 0 AΦ 2x 4y x y Determina un sistema fundamental de soluciones 2 Calcula una matriz fundamental y verifica que cumple la propiedad Φ 0 AΦ 3 Verifica que las dos formas de expresar la solución general son equivalentes X c X + c 2 X 2 X Φ C Sistema fundamental de soluciones Expresamos el sistema en forma matricial µ X X El polinomio característico es p(λ) A λi 2 λ 4 λ (2 λ)( λ) 4 2 2λ + λ + λ 2 4 λ 2 λ 6 resolvemos λ 2 λ 60

22 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 22 λ ± Los valores propios son λ 3 λ 2 2 Vectores propios asociados a λ 3 Resolvemos (A 3I) V 0 µ µ µ x 0 3 y 0 µ µ µ 4 x 0 4 y 0 Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas {x +4y 0 resolvemos paramétricamente ½ x 4α y α α R Los vectores propios asociados a λ son de la forma µ 4 V α α R tomamos V µ 4 Vectores propios asociados a λ 2 2 Resolvemos (A +2I) V 0 µ µ µ x 0 +2 y 0 µ µ µ 4 4 x 0 y 0 Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas { x + y 0 resolvemos paramétricamente ½ x α y α α R los vectores propios asociados a λ 2 son de la forma µ V α α R

23 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 23 tomamos µ V 2 Obtenemos el sistema fundamental de soluciones µ µ 4 X e 3t X 2 e 2t 2 Matriz fundamental µ 4e 3t e Φ 2t e 3t e 2t Verificamos que se cumple la propiedad Φ 0 AΦ La derivada es µ Φ 0 2e 3t 2e 2t 3e 3t 2e 2t por otra parte calculamos µ µ µ 2 4 4e 3t e AΦ 2t 8e e 3t e 2t 3t 4e 3t 2e 2t 4e 2t 4e 3t e 3t e 2t e 2t µ 2e 3t 2e 2t 3e 3t 2e 2t Φ 0 3 Solución general Tenemos µ 4 X(t) c e 3t + c 2 µ e 2t µ µ 4e 3t e X(t) 2t c e 3t e 2t c 2 En ambos casos resulta ½ x (t) 4c e 3t + c 2 e 2t y (t) c e 3t + c 2 e 2t 52 Cálculo de la solución particular Teorema 5 Dado el sistema X 0 AX + B podemos obtener una solución particular para el sistema completo de la forma X p Φ R Φ B donde Φ es una matriz fundamental La solución general del sistema completo es X Φ C + Φ R Φ B donde C es un vector columna cuyas componentes son constantes arbitrarias

24 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 24 Demostración Partimos de la solución de la ecuación homogénea X Φ C y usamos el método de variación de constantes para determinar una solución particular del sistema completo esto es proponemos una solución particular de la forma X p Φ U(t) Sustituimos en el sistema completo yresulta usamos la propiedad X 0 AX + B Φ 0 U + Φ U 0 A (Φ U)+B Φ 0 AΦ yresulta AΦU + Φ U 0 AΦ U + B Φ U 0 B como Φ es invertible podemos despejar U 0 U 0 Φ B Integramos para obtener U Z U Φ B y finalmente la solución particular es Z X p Φ Φ B La solución general del sistema homogéneo es de la forma X h Φ C y la solución general del sistema completo se puede escribir como X X h +X p por lo tanto resulta Z X Φ C + Φ Φ B Ejemplo 52 Consideramos el sistema dx x +2y +2e4t dy 2x + y + e4t

25 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 25 Calcula una matriz fundamental 2 Determina una solución particular del sistema completo 3 Determina la solución general del sistema completo Matriz fundamental Expresamos el sistema en forma matricial µ µ X 0 2 2e 4t X+ 2 e 4t se trata de un sistema completo con X µ x(t) y(t) X 0 AX + B µ 2 A 2 µ 2e 4t B e 4t El polinomio característico es p(λ) A λi λ 2 2 λ ( λ)( λ) 4 2λ + λ 2 4 λ 2 2λ 3 resolvemos λ 2 ± λ 2 2λ 30 Los valores propios son λ 3 λ 2 Vectores propios asociados a λ 3 Resolvemos (A 3I) V 0 µ µ µ 3 2 x y 0 µ µ µ 2 2 x y 0 Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas {x y 0 resolvemos paramétricamente ½ x α y α α R

26 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 26 los vectores propios asociados a λ son de la forma µ V α α R tomamos µ V Vectores propios asociados a λ 2 Resolvemos (A + I) V 0 µ µ µ + 2 x y 0 µ µ µ 2 2 x y 0 resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas {x + y 0 Resolvemos paramétricamente ½ x α y α α R los vectores propios asociados a λ 2 son de la forma µ V α α R Tomamos V 2 µ Obtenemos el sistema fundamental de soluciones µ µ X e 3t X 2 e t Matriz fundamental µ e 3t e Φ t e 3t e t 2 Solución particular del sistema completo Sabemos que podemos obtener una solución particular del sistema completo a partir de la expresión Z X p Φ Φ B Tomamos la matriz fundamental µ e 3t e Φ t e 3t e t

27 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 27 calculamos el determinante Φ e 3t e t e 3t e t 2e 2t la inversa de Φ es Φ µ e t e t 2e 2t e 3t e 3t 2 Calculamos el producto Φ B µ µ e 3t e 3t 2e 4t 2 e t e t e 4t 2 µ 3e t 2 e 5t Calculamos la integral µ e 3t e 3t e t e t µ e 3t 2e 4t + e 3t e 4t e t 2e 4t e t e 4t R Z Z µ Φ 3e t 3e B 2 e 5t t 2 R 3e t e 5t 2 5 e5t Finalmente la solución particular es Z µ 3e t X p Φ Φ e 3t e B t e 3t e t 2 5 e5t µ 3e t e 3t e t 2 e 3t e t e4t 4 5 e4t 5 e5t 8 5 e4t 7 5 e4t 3 Solución general del sistema completo Podemos escribir la solución general del sistema completo en la forma Z X Φ C + Φ Φ B X µ e 3t e t e 3t e t µ c c o bien usando un sistema fundamental de soluciones µ µ e 3t e t X c e 3t + c 2 e t e4t 5 e4t 8 5 e4t 7 5 e4t

28 Resumen y ejemplos Tema 9: Sistemas de EDOs 28 En ambos casos obtenemos la solución general x (t) c e 3t + c 2 e t e4t y (t) c e 3t c 2 e t e4t