Escuela de Matemáticas 6 de Mayo de Examen Parcial # 1. Instrucciones

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1 Universidad de Costa Rica MA005 Ecuaciones Diferenciales Escuela de Matemáticas 6 de Mao de 07. Examen Parcial # Instrucciones Cuenta con 3 horas para realizar el examen. El examen cuenta de 7 preguntas que suman 00 puntos (mas 0 puntos EXTRA). Este es un examen de desarrollo. Debe escribir todos los pasos que justifican su solución. El coordinador atenderá las dudas que se presenten sobre la redacción de la prueba durante los primeros 90 minutos. Los ítemes con puntaje extra son OPCIONALES.. 0 pts Muestre que la función Enunciados x (x) = + e x e t dt es solución del problema de valor inicial { + = + e x+ x, (0) =. Claramente la función dada satisface (0) =. función satisface la ecuación diferencial: 0 Les presento 3 pruebas de que la Solución : Esta es una ecuación diferencial lineal (de orden ) con factor integrante µ = e x. Multiplicando por µ, obtenemos d dx [ex ] = e x + e x. Integrando, tenemos e x = e x + e x dx + C = e (e x x + ) e x dx + C de donde obtenemos el resultado, usando el Teorema Fundamental del Cálculo para remplazar la antiderivada por una integral definida (con C = 0).

2 Solución : Tomando la función dada, derivando usando el Teorema Fundamental del Cálculo: x = e x e t dt + e x e x. Sustituendo x 0 e t dt =, llegamos a 0 = + e x+ x. Solución 3: La integral e t dt se puede calcular, usando el cambio de variable u = t, usando integración por partes. Así, se puede verificar que la función cumple con la ecuación diferencial. Esta es la solución que menos me gusta, pues no hace falta saber (ni poder) calcular esta antiderivada.. 0 pts Considere la siguiente ecuación diferencial de variables separables: d dx ( ) =. x (a) Cuál es la solución general de esta ecuación diferencial? Separando las variables (note que = 0 = son soluciones!!): d ( ) = dx x, de donde, usando fracciones simples, llegamos a ( ) ( ) dx d = x ln = ln x + C, de donde podemos despejar: = Cx. Otra forma de resolver esta ecuación diferencial es notar que es de Bernoulli!! (b) Qué función satisface esta ecuación diferencial pasa por el punto (, 0)? Esta corresponde a la solución (singular) = 0. No esto seguro si lxs demás colegas están mu de acuerdo que haa preguntado esto. Pero si unx estudiante resuelve la ecuación x = x cancelando un x, para obtener la solución x =, creo que si estariamos de acuerdo que cometió un error por omisión! 3. 5 pts La función (x) = e x satisface que su tercer derivada es igual a si misma: =. Determine otra función (x), linealmente independiente de (x), que cumpla con esta misma propiedad. Justifique su respuesta.

3 Queremos hallar otra solución de la ecuación diferencial = 0. Su ecuación característica m 3 = 0 tiene por raíces, a parte de m =, los números complejos de donde, podemos tomar por ejemplo m = ± 3i, (x) = e x/ sin( 3x/). Para verificar que {, } es un conjunto l.i., se puede usar el criterio del Wronskiano. Sin embargo, comprobar (in)dependencia lineal de dos vectores es una tarea casi trivial: solo ha que verificar que un vector no es un múltiplo escalar del otro pts Muestre que la ecuación diferencial x + 7x + 5 = 0 posee dos soluciones particulares de la forma = x r. Utilice este resultado para hallar la solución general de esta ecuación diferencial. Sustituendo = x r en la ecuación diferencial, obtenemos la ecuación (característica) r(r ) + 7r + 5 = 0 r + 6r + 5 = 0 (r + )(r + 5) = 0, de donde concluimos que r = r = 5. Por lo tanto, la solución general está dada por = Ax + Bx 5. Como todxs sabemos, una ecuación de Cauch-Euler se puede resolver haciendo x = e z reescribir la ecuación diferencial con z como la variable independiente. Yo si penalicé si la respuesta obtenida fue = Ae x + Be 5x. 5. Considere la ecuación diferencial de variable ausente (a) + ( ) = ( ) 3/. 3 pts Realize un cambio de variable apropiado que transforme esta ecuación diferencial en una de Bernoulli. Haciendo u = = d, tomando como la variable independiente, de forma que = du dx d u, obtenemos du d + u = ( ) /, la cual es una ecuación diferencial de Bernoulli (con n = /). 3

4 (b) 7 pts Utilice el inciso anterior para resolver el problema de valor inicial + ( ) 3 = + 3 ( ) 3/, (0) =, (0) = 9/4. De la parte anterior, si hacemos z = u / = u /, reducimos la ecuación de Bernoulli a la lineal dz d + z = 3 +, 3 cuo factor integrante está dado por µ =. Al multiplicar por µ obtenemos la ecuación exacta d d [z] = 3 + z = d = C, 3 de donde z = ( C) d dx = ( ) C. Con los valores iniciales (0) = (0) = 9/4, se obtiene que la constante de integración es C = 0, facilitando la siguiente integral. En general, haciendo el cambio de variable w = + 3, podemos calcular la integral en cuestión: ( C) d = 3 w (w + C) dw = ( ln(w + C) + C ) + D. 3 w + C En este punto, o considero que aún sin devolver todos los cambios de variable ni encontrar los valores de C D, el ejercicio está terminado, unx estudiante que haa planteado estos pasos, debería obtener la totalidad de los puntos. 6. (a) 5 pts EXTRA Muestre que si ecuación diferencial M(x, ) + N(x, ) d dx = 0 posee un factor integrante µ = µ(u) que es una función de u = x+, si el cociente M N x M N, es una función que solo depende de u, digamos F (u), en este caso, el factor integrante está dado por µ = e F (u) du. 4

5 (b) 5 pts Use el resultado de la parte anterior para resolver la ecuación diferencial + (x + x + x) d dx = 0 Calculamos, usando la fórmula del inciso anterior, que M N x M N = (x + ) (x + ) (x + ) = u u( u) = u, de donde la ecuación diferencial posee como factor integrante µ = e u du = u = (x + ). Por lo tanto es exacta. De hecho, note que [ d ] = dx x + ( ) (x + ) + x d (x + ) dx = 0, ( (x + ) + ) x d (x + ) dx, de donde la solución de la ecuación diferencial está dada por x + = C 7. (a) 5 pts EXTRA Muestre que si (x) es solución de la ecuación diferencial a (x) + a (x) + a 0 (x) = 0, entonces otra solución, linealmente independiente de (x), está dada por a (x) e a (x) dx (x) = (x) dx. (x) (b) 7.5 pts Halle la solución general de la ecuación diferencial 4x 6x + (x + 6) = 0, sabiendo que la función = x cos( x) es una solución para x > 0. 5

6 Utilizando la fórmula de Abel, tenemos que otra solución particular de la ecuación diferencial homogénea está dada por = u, donde u está dado por u = e 6x 4x dx x cos ( x) dx = e 3 ln x x cos ( x) dx = x cos ( x) dx = tan( x). Así, podemos tomar = x cos( x) tan( x) = x sin x. (Note que es posible que algunx estudiante haa adivinado que esta era, sin embargo, sustituir = x sin( x) en la ecuación diferencial, para verificar que es solución, es mucho mas trabajoso que usar la fórmula de Abel.) Por lo tanto la solución general está dada por = Ax cos( x) + Bx sin( x). (c) 7.5 pts Halle la solución general de la ecuación diferencial 4x 6x + (x + 6) = x, Es claro (!?) que p = x es solución de la ecuación diferencial no homogénea. Si el/la estudiante no se percata de este hecho, usamos el método de variación de parámetros: p está dada por p = x cos( x)γ + x sin( x)γ, donde las funciones γ γ están dadas por det Wi γ i = det W dx. Se verifica que γ = cos( x) γ = sin( x), de forma que p = x cos ( x) + x sin ( x) = x. 6