4 Ecuaciones diferenciales de orden superior

Transcripción

1 CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 4.7. Variación de parámetros para E de orden n escripción del método general Una vez discutido el método de variación de parámetros para ecuaciones diferenciales de orden, en esta sección extenderemos dicho método a ecuaciones diferenciales de orden n para n >. Así, consideraremos el caso de la E lineal no homogénea normalizada cuya E homogénea asociada es Suponemos conocido el conjunto fundamental de soluciones y.n/ C a n.x/y C C a 0.x/y g.x/i (4.) y.n/ C a n.x/y C C a 0.x/y 0 (4.) f.x/;.x/; ; n.x/g; con el cual podemos formar la solución general de la ecuación (4.),.x/ c.x/ C c.x/ C C c n n.x/ (4.3) En lo que sigue, supondremos también que las funciones a n.x/; ; a 0.x/ & g.x/ son continuas en el intervalo. ; ˇ/, donde el conjunto de funciones f.x/;.x/; ; n.x/g satisface.x/.x/ n.x/ 0.x/ 0.x/ n 0.x/ W Œ.x/;.x/; ; n.x/ 0, para todo x. ; ˇ/.x/.x/ n.x/. canek.azc.uam.mx 3/ 9/ 00

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias Como vimos en la sección anterior, el método se apoya en la idea de que las constantes c ; c ; ; c n de la ecuación (4.3) las podemos reemplazar por un conjunto fu.x/; u.x/; ; u n.x/g de funciones indeterminadas por conocer, que permiten generar una solución particular y p.x/ u.x/.x/ C u.x/.x/ C C u n.x/ n.x/ (4.4) de la ecuación (4.). Como queremos determinar n funciones, es de esperarse que debemos imponer n condiciones a las funciones u j.x/; j ; ; ; n. Es claro que una de las condiciones debe ser sin lugar a dudas el cumplimiento de la ecuación (4.). La idea central de este método radica en no resolver para las funciones u j.x/ ecuaciones diferenciales que sean de orden mayor que, es decir, buscaremos las restantes n condiciones de manera que nunca tengamos que considerar alguna relación en la que intervenga alguna derivada u.k/ j.x/ para k >. Con esto en mente, a partir de (4.4) obtenemos al derivar y 0 p Œu 0 C u 0 C C u n 0 n C Œu 0 C u 0 C C u 0 n n Para asegurar que no aparezca alguna uj 00.x/, al calcular la segunda derivada, requerimos que en el intervalo. ; ˇ/ Entonces, tenemos ahora Por lo tanto, u 0 C u 0 C C u 0 n n 0 (4.5) y 0 p u 0 C u 0 C C u n 0 n y 00 p Œu 00 C u 00 C C u n 00 n C Œu 0 0 C u 0 0 C C u 0 n 0 n Por la misma razón que expusimos anteriormente, ahora planteamos la condición e donde se desprende que u 0 0 C u 0 0 C C u n 0 n 0 0 (4.6) y 00 p u 00 C u 00 C C u n 00 n (4.7) Si proseguimos de la misma manera, determinamos que se deben cumplir las relaciones y y.k/ p u 0.h/ C u 0.h/ C C u 0 n.h/ n 0; h 0; ; ; ; n ; (4.8) u.k/ C u.k/ C C u n.k/ n para k 0; ; ; ; n (4.9) Finalmente, si para k 0; ; ; ; n usamos las relaciones (4.9) en (4.), hallamos u.n/ C C u n n.n/ C u 0 /.n C C un 0 / n.n y.n/ p Ca n Œu C C u n y p n C C C a 0 Œu C C u n n g.x/ (4.0) y p Ahora reacomodamos la ecuación (4.0) factorizando u, u u n u Œ.n/ C a n C C a 0 C C u n Œ n.n/ C a n n C C a 0 n C C Œu 0 /.n C C un 0 /.n n g.x/ (4.)

3 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4 3 Notemos que como cada una de las funciones del conjunto f.x/;.x/; ; n.x/g satisface a la ecuación (4.), todos los términos en (4.) son iguales a cero con excepción del último; esto permite llegar a la conclusión de que u 0 /.n C C un 0 /.n n g.x/ (4.) Al reunir todas las condiciones indicadas en (4.8) junto con la ecuación (4.), concluimos que las funciones incógnitas u 0; ; u n 0 satisfacen a las condiciones u 0 C u 0 C C un 0 n 0I u 0 0 C u 0 0 C C u n 0 n 0 0I (4.3) u 0 /.n C u 0 /.n C C un 0 /.n n 0I u 0 /.n C u 0 /.n C C un 0 /.n n g.x/ Ahora bien, como indicamos anteriormente W Œ.x/;.x/; ; n.x/ 0, para todo x. ; ˇ/ Por lo tanto, considerando (4.3) como un sistema de n ecuaciones con n incógnitas u 0 ; ; u 0 n, podemos utilizar la regla de Cramer para obtener la solución única para u 0 ; ; u 0 n. Obtenemos u 0 k W k W Œ.x/;.x/; ; n.x/ W k W I k ; ; ; n (4.4) onde W k difiere de W Œ.x/;.x/; ; n.x/ W en que tiene, como columna k-ésima, a la columna 0 0 g.x/ Las funciones W W.x/ y W k W k.x/ son continuas; en consecuencia, las expresiones uk 0 W k W integrables; por lo tanto, integrando se determinan las funciones incógnitas u.x/; ; u n.x/. Finalmente observe que, si en lugar de la ecuación diferencial (4.), tuviéramos son a n.x/y.n/ C a n.x/y C C a 0.x/y b.x/ es decir, si a n.x/ no fuese idénticamente igual a, entonces habría que poner g.x/ b.x/ a n.x/ g.x/ en la última ecuación de (4.3). En otras palabras, habría que normalizar la E. en lugar de Ejemplo 4.7. Resolver la E y.3/ C 4y 0 cot x. H Primero observamos que esta ecuación diferencial no puede ser resuelta por medio del método de coeficientes indeterminados debido a la presencia de la función cotangente. La E está normalizada, ya que el coeficiente de la mayor derivada de la ecuación es igual a. Para la solución, determinamos en primer lugar la ecuación característica correspondiente a la E asociada r 3 C 4r r.r C 4/ 0 Las raíces de esta ecuación algebraica son r 0I r ;3 i. Por lo tanto, el conjunto fundamental de soluciones está integrado por las funciones ; cos x & 3 sen x

4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias El wronskiano W W. ; ; 3 / es cos x sen x W W. ; ; 3 / 0 sen x cos x 0 4 cos x 4 sen x 8 sen x C 8 cos x 8Œsen x C cos x 8 e acuerdo a lo discutido en el procedimiento general, requerimos hallar W ; W y W 3. Tenemos 0 cos x sen x W 0 sen x cos x cot x 4 cos x 4 sen x cot xœ cos x C sen x cot xi 0 sen x W 0 0 cos x cot xœ cos x cot x cos xi 0 cot x 4 sen x y también cos x 0 W 3 0 sen x 0 sen x cot x cos x 0 4 cos x cot x e esta manera, obtenemos para u ; u ; u 3 las siguientes expresiones Para u, W cot x u W dx dx ( ) ln.sen x/ ln.sen x/ Para u, W u W dx cot x cos x dx cos x 8 4 sen x dx sen x dx 4 sen x [ ] csc x dx sen x dx [ 4 4 ln.csc x cot x/ C ] cos x 8 ln.csc x cot x/ cos x 8 Finalmente para u 3, u 3 W3 W dx cos x dx 8 4 ( ) sen x sen x 8 Estamos ahora listos para obtener la solución general la cual, como sabemos, resultará sumando la solución complementaria y la solución particular que calculamos con el método de variación de parámetros. e esta manera la solución general de la E es y Œc C c C c 3 3 C Œu C u C u 3 3 c C c cos x C c 3 sen xc C 8 ln.sen x/ 8 ln.csc x cot x/ cos x 8 cos x 8 sen x 8 c C c cos x C c 3 sen x C 8 ln.sen x/ 8 ln.csc x cot x/ cos x

5 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4 5 La ecuación diferencial de Cauchy-Euler El ejemplo anterior muestra cómo generar una solución particular y la consecuente solución general de la E por el método de variación de parámetros si tan sólo se conoce un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada. Hay que decir que tuvimos a nuestro favor que la ecuación homogénea es de coeficientes constantes, característica que facilitó la determinación del conjunto fundamental. Si los coeficientes no son constantes, la tarea puede resultar más compleja con excepción de algunos casos particulares, como el que discutimos a continuación. La E de Cauchy-Euler de orden n tiene la siguiente forma general a n x n d n y dx n C a n x n d n y dx n C C a x dx C a 0y g.x/; donde a 0 ; a ; ; a n son constantes. La E de Cauchy-Euler de orden 3 tiene la siguiente forma a 3 x 3 d 3 y dx 3 C a x d y dx C a x dx C a 0y g.x/ (4.5) Este tipo de E se puede reducir a una E de coeficientes constantes, si se realiza el siguiente cambio de variable x e t erivamos usando la regla de la Cadena Es decir, y 0 dx dx d.et / e t e t Al calcular la segunda derivada Es decir, y 00 d y dx 0 dx 0 dx y 0 dx e t (4.6) ( d e t ) d.et / e t d y y 00 d ( y d dx e t y e t e t ( d e t y ) ) (4.7) Para la tercera derivada encontramos que y 000 d 3 00 y dx3 dx e t ( d 3 y 3 00 dx d y ) e t [ ( d d e t y d.et / e t ( d y )] ) ( d e 3t 3 y 3 3 d ) y C

6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Es decir, y 000 d 3 ( y d dx e 3t 3 y d ) y C (4.8) Al usar (4.6), (4.7) y (4.8) en (4.5), y tomando en consideración que x e t, obtenemos una E con coeficientes constantes y variable independiente t. Ejemplo 4.7. Resolver la E x 3 y.3/ C 3x y 00 3xy 0 x ln x. H Si usamos (4.6), (4.7) y (4.8) en la E, obtenemos [ ( d e 3t e 3t 3 y 3 d )] [ ( y d 3 C C 3e t e t y Que se simplifica como o bien como d 3 y 3 3 d y C C y 3d d 3 y tet )] 3 tet ; [ 3e t e t ] e t ln e t Ésta es una E con coeficientes constantes; para resolverla aplicamos el procedimiento conocido. En este caso, la ecuación característica asociada a la E homogénea es cuyas raíces son r 0, r & r 3 está integrado por las funciones r 3 4r r.r 4/ r.r /.r C / 0;. educimos entonces que un conjunto fundamental de soluciones ; e t & 3 e t El wronskiano correspondiente para este caso es e t e t W W. ; ; 3 / 0 e t e t 0 4e t 4e t 8 C 8 6 Y las funciones W, W y W 3 son 0 e t e t W 0 e t e t te 4e t 4e t tet Œ 4te t 0 e t W 0 0 e t 0 te t 4e t te t e t 0 W 3 0 e t 0 0 4e t te t te3t Por último, integramos por partes para determinar las funciones incógnitas u ; u & u 3 W u W 4te t 6 te t 4 4 et.t / W te t u W 6 te t 8 8 e t.t C / W3 te 3t u 3 W 6 te 3t 8 7 e3t.3t /

7 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4 7 En conclusión, la solución de la E está dada por y Œc C c C c 3 3 C Œu C u C u 3 3 Œc C c e t C c 3 e t 4 et.t / 8 e t.t C /e t C 7 e3t.3t /e t [ Œc C c e t C c 3 e t C e t 4 t C 4 8 t 8 C ] 4 t 7 Œc C c e t C c 3 e t C 9 et. 3t/ Sin embargo, en la ecuación inicial, no es t la variable independiente, sino x. e x e t, hallamos que t ln x. Si lo utilizamos en el resultado anterior, encontramos y c C c x C c 3 x C 9 x. 3 ln x/ Ejemplo Resolver el siguiente PVI x y.3/ xy 00 C y 0 ln x x ; con y./ 0; y 0./ & y 00./ H Primero multiplicamos la ecuación por x a fin de llevarla a una ecuación del tipo Cauchy-Euler x 3 y.3/ x y 00 C xy 0 ln x Si hacemos ahora el cambio de variable x e t e incorporamos los resultados (4.6), (4.7) y (4.8) e 3t [ e 3t ( d 3 y 3 Al simplificar, hallamos o bien 3 d )] y C d 3 y 3 3 d y C d 3 y 3 e t [ e t ( d y d y C C t; 4 d y C 4 t )] [ C e t e t ] t Ésta es una E con coeficientes constantes. La ecuación característica correspondiente a la E homogénea asociada es r 3 4r C 4r r.r 4r C 4/ r.r / 0 Por lo tanto las raíces de la ecuación son r 0 y r r 3. En consecuencia, las funciones que integran el conjunto fundamental de soluciones de la E homogénea asociada son ; e t & 3 te t Con ellas podemos calcular el wronskiano W W. ; ; 3 / e t te t W W. ; ; 3 / 0 e t.t C /e t 0 4e t.4t C 4/e t.8t C 8/e4t.8t C 4/e 4t 4e 4t

8 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias e manera similar 0 e t te t W 0 e t.t C /e t t 4e t.4t C 4/e t tœ.t C /e4t te 4t te 4t ; 0 te t W 0 0.t C /e t 0 t.4t C 4/e t t.t C /et. t t/e t ; e t 0 W 3 0 e t 0 0 4e t t Así, por el método de variación de parámetros, las funciones incógnitas u ; u ; u 3 u u W te 4t W 4e ( t ) 4t 4 8 t W. t W t/e t.t C t/e t 4e 4t 4 Si en la última integral aplicamos integración por partes, obtenemos Otra integración por partes nos da como resultado u 3 u 6 e t.3 C 6t C 4t / W3 te t W 4e 4t te t 8 e t.t C / e x e t, obtenemos y ln x. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es y Œc C c e t C c 3 te t C 8 t C 6 e t.3 C 6t C 4t /e t 8 e t.t C /te t Œc C c e t C c 3 te t C 8 t C 3 6 C 3 8 t C 4 t 4 t 8 t Œc C c e t C c 3 te t C 8 t C 4 t e x e t, obtenemos t ln x, por lo tanto, la solución general de la E en la variable original x es Ahora bien, de las condiciones iniciales y c C c x C c 3 x ln x C 8 ln x C ln x 4 y./ 0 ) c C c 0 Para aplicar la segunda condición requerimos la primera derivada; ésta es Por lo tanto, y 0./ produce y 0 c x C c 3 Œx C x ln x C ln x 4 x C 4x c C c 3 C 4 o bien c C c 3 3 4

9 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4 9 Finalmente, para usar la tercera condición, requerimos la segunda derivada; al calcularla encontramos y 00 c C c 3 Œ3 C ln x C 4 ( ) ln x x 4x e donde, por la condición y 00./, hallamos Resolviendo el sistema, obtenemos c C 3c 3 C 4 4 c C c 0I c C c I c C 3c 3 o bien c C 3c 3 Encontramos que c 3 6 ; c 3 6 & c 3 7. Al utilizar estos valores en la solución general, hallamos 8 la siguiente solución particular y 3 6 C 3 6 x 7 8 x ln x C 8 ln x C 4 ln x 6 Œ 3 C 3x 4x ln x C ln x C 4 ln x Ejercicios 4.7. Variación de parámetros para E de orden n. Soluciones en la página Utilice el método de variación de parámetros o el correspondiente a la E de Cauchy-Euler para determinar la solución de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.. y.3/ y 00 x C 6x.. y.4/ C y 00 x C x. 3. y.3/ C 3y 00 C 3y 0 C y e x. 4. y.3/ y 00 y 0 C y x3 C x 4x 6 x y 000 y 00 C. 6. y.4/ C 6y cos 4x. 7. y.3/ 4y 00 C 4y 0 e x C 4x. 8. y.4/ y 00 C y 00 cos 3x. 9. y.3/ 6y 00 C y 0 6y e x. 0. y.3/ 4.x C y/ x 3.. x 3 y.3/ x y 00 C xy 0 y x 3.. x 3 y.3/ C 5x y 00 C xy 0 y x x 3 y.3/ 4x y 00 C 8xy 0 8y 4 ln x. 4. x 3 y.3/ C x y 00 6xy 0 C 6y 30x.

10 0 Ecuaciones diferenciales ordinarias 5. xy.3/ C xy 00 xy 0 xy, si el conjunto fundamental de soluciones está integrado por e x ; e x ; 3 e x. 6. x y.3/ y 0 5 ln x, si el conjunto fundamental de soluciones está integrado por ; ln x & 3 x y.3/ y 0 x; con y.0/ 0; y 0.0/ ; y 00.0/. 8. y.4/ y 8e x ; con y.0/ ; y 0.0/ 0; y 00.0/ ; y 000.0/ y.3/ C 3y 00 C 3y 0 C y e x ; con y.0/ ; y 0.0/ 0; y 00.0/ y.4/ y cos x; con y.0/ ; y 0.0/ ; y 00.0/ y 000.0/ 0.

11 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4 Ejercicios 4.7. Variación de parámetros para E de orden n. Página 9. y c C c x C c 3 e x x 4 5x 3 5x.. y c C c x C c 3 cos x C c 4 sen x C x4 C x3 6 x. 3. y c e x C c xe x C c 3 x e x C 6 x3 e x. 4. y c e x C c e x C c 3 e x C x. 5. y c e x C c x C c 3 4 x. 6. y c C c x C c 3 cos 4x C c 4 sen 4x x sen 4x. 7. y c e x C c xe x C c 3 C 3x e x C x 3 C 6x C 9x. 8. y c e x C c xe x C c 3 e x C c 4 xe x C cos 3x. 9. y c e x C c e x C c 3 e 3x C xex. p p! 0. y c x 4 C x 3 3 c cos ln x C c 3 sen ln x. y c x C c x ln x C c 3 x C x3 4.. y c x C c x C c 3 x C x y c x C c x C c 3 x 4 ln x y c x C c x 3 C c 3 x 5x ln x. 5. y c e x C c e x C c 3 e x C ex Z e x 6 x dx e x Z e x x 6. y c C c ln x C c 3 x x ln x C 4 x. 7. y ex e x C x senh x C x. 8. y e x 3e x C cos x C sen x C xe x. 9. y e x. C x x C x 3 /. 0. y 8 ex C 5 8 e x C 4 cos x sen x x sen x. 4 x. e x Z dx C 3 e x x dx.