Ecuaciones diferenciales no lineales. 1. Ecuaciones diferenciales no lineales y el factor integrador

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1 Ecuaciones diferenciales no lineales 1. Ecuaciones diferenciales no lineales y el factor integrador Del mismo modo y con la misma idea podemos incorporar el factor integrador µ y para etender la idea a ecuaciones que no sean necesariamente lineales. Así para una ecuación diferencial que pueda ser escrita como es decir d [f y] = d [f y] = 0 f y +? µ yq ydy + µ yp y = 0 f y dy = µ yq ydy + µ yp y = 0 Entonces tendremos que la condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial sea eacta es: f y µ yq y 2 f y 2 f y [µ yq y] [µ yp y] f y µ yp y y obviamente esta condición de integrabilidad dependerá del µ y que propongamos. Si µ y = µ entonces la condición es dµ y P y Q y+µ Q µ con lo cual si se cumple que 1 P y Q y podremos deteriminar el factor integrador. Q y = f = 1 dµ µ Una vez identificado procedemos a integrar formalmente f y f y = µ y y finalmente una vez más µp y = con lo cual S = du Q u+s y du 0 du µu P u µq u + ds f y 1 dµ µ = 1 P y Q y = µp y µp y = y R µ = e f du Q y y µ du Q u + S µ up u + ds u y f y = µ du Q u+ du µu P u +C 0 Héctor Hernández / Luis Núñez 1 Universidad de Los Andes Mérida

2 y = e seny cosy Esta ecuación no es eacta ya que: P y = e seny [e seny] +cosydy = 0 Q y = cosy. Q = 0 P = cosy. Podemos ver que el arreglo: f = 1 Q y entonces el factor integrante es P y Q y = cosy 0 = 1 cosy µ = er f = e R = e. Por lo tanto la ecuación P y = 1 e seny e [e seny] +e cosydy = 0 Q y = e cosy es eacta. Queda como ejercicio resolver esta ecuación diferencial. Si µ y = µy entonces la condición queda como Q y µy duy y P y+µy P dy 1 dµ µy = 1 P y Q = P = e cosy. Q y P y con lo cual si se cumple que 1 Q y P y P y = fy = 1 dµy µy dy R µy = e dy fy y podremos deteriminar el factor integrador. y = y Esta ecuación no es eacta ya que: y P y = y dy = 0 Q y = Q = 2 P =. Héctor Hernández / Luis Núñez 2 Universidad de Los Andes Mérida

3 Podemos ver que el arreglo: fy = 1 P y entonces el factor integrante es Q y R dy 1 µy = e y = e lny = y. P y = 2 = 1 y y Por lo tanto la ecuación y 2 + y + y 2 dy = 0 P y = y 2 Q y = y + y 2 Q = P = 2y. Ejercicios es eacta. Queda como ejercicio resolver esta ecuación diferencial. 1. Demuestre que si µ = µz donde z = y entonces el factor integrante viene dado por donde: fz = Con este resultado resuelva la ecuación: µz = er fz P y Q y yq y P y y = y3 + y 2 + y y Demuestre que si µ = µz donde z = /y entonces el factor integrante viene dado por µz = er fz donde: Resuelva la ecuación: fz = [ ] P y y 2 Q y yq y + P y y = 3y. Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidad de Los Andes Mérida

4 3. Demuestre que si µ = µz donde z = y/ entonces el factor integrante viene dado por µz = er fz donde: Resuelva la ecuación: fz = [ ] Q y 2 P y yq y + P y y = y Ecuacion de Bernoulli La ecuación de Bernoulli formulada por James Bernoulli 1 y resuelta por su hermano Johann Bernoulli se caracterizan por tener la forma: dy + yf = yn g. 1 Es fácil darse cuenta de que la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación con variables separadas cuando n = 0 y cuando n = 1 se trata de una ecuación de la forma: dy = y [g f]. la cual también es de variables separables. Entonces es la presencia del término y n lo que hace que la ecuación no sea lineal. Leibniz en 1696 indicó que el cambio de variable z = y 1n convierte la ecuación 1 en una ecuación lineal. Consideremos entonces n 1 si multiplicamos ambos lados de 1 por 1 ny n resulta: [ ] dy 1 ny n + yf = 1 ny n y n g n dy 1 ny d si se hace el cambio de variable z = y 1n se tiene + 1 nfy1n = 1 ng [ y 1n ] + 1 nfy 1n = 1 ng + 1 nf z = 1 ng. 2 La ecuación 2 es una ecuación diferencial lineal la cual ya sabemos resolver. 1 James Bernoulli fue un matemático y científico suizo formaba parte de la gran familia Bernoulli. En 1690 se convirtió en la primera persona en desarrollar la técnica para resolver ecuaciones diferenciales separables. Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidad de Los Andes Mérida

5 Sea la ecuación: y + y = y 3 con y 0. esta ecuación es de la forma 1 con n = 3. Si multiplicamos por 4y 3 se tiene: con el cambio de variable z = y 4 resulta 4y 3 y + 4y 3 y = 4y 3 y 3 4y 3 y + 4y 4 = 4 d [ y 4 ] + 4y 4 = 4 + 4z = 4 la cual es una ecuación diferencial lineal con factor integrador Por lo tanto la solución vendrá dada por y = 1 e e 22 µ = er f = er 4 = e 22 C = 1 [ e 22] + e 22 e 22 C e 22 = 1 + Ce 22. Ejercicio Resuelva la ecuación y + y = y 2 ln. 3. Ecuacion de Riccati La ecuación de Riccati 2 es conocida como una ecuación diferencial no lineal que tiene la siguiente forma: dy = A + By + Cy2 C 0. 3 Esta ecuación fue estudiada por muchos matemáticos entre ellos los propios integrantes de la familia Bernoulli. Daniel Bernoulli hijo de John y sobrino de James Bernoulli publicó su solución en 1724 luego de mantenerla oculta por mucho tiempo en modo de anagrama. Podemos seguir las recomendaciones de Euler 3 quien propuso que una sustitución del tipo: y = y z 2 El conde Jacopo Francesco Riccati fue un matemático veneciano que estudió detalladamente la hidrodinámica sobre la base de la mecánica newtoniana 3 Leonhard Paul Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea Suiza y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo Rusia. Fue un reputado matemático y físico y es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia. Héctor Hernández / Luis Núñez 5 Universidad de Los Andes Mérida

6 donde y 1 es una solución particular de 3 convierte la ecuación de Riccati en una ecuación lineal para z. dy 1 1 [ z 2 = A + B y ] [ + C y ] 2 z z z 2 dy 1 = [ A + By 1 + Cy 1 2] z 2 + [2 Cy 1 + B] z + C [ = A + By 1 + Cy 1 2 dy ] 1 z 2 + [2 Cy 1 + B] z + C }{{} =0 por lo tanto: = [2 Cy 1 + B] z C. 4 También podemos hacer la siguiente sustitución y = y 1 + u donde y 1 es una solución particular de 3. Esto es: dy 1 + du dy 1 + du du = A + B [y 1 + u] + C [ y y 1 u + u 2] = A + By 1 + Cy [B + 2Cy 1 ] u + Cu 2 = [B + 2Cy 1 ] u + Cu 2 es decir: du [B + 2Cy 1] u = Cu 2 5 que no es más que la ecuación de Bernoulli 1 con f = [B + 2Cy 1 ] g = C y n = 2. Resolver la siguiente ecuación de Riccati y = y conociendo la solución particular y 1 = 1/. En lugar de hacer todo el desarrollo anterior podemos reconocer de manera fácil que: A = 2 B = 0 C = 1. 2 Tenemos entonces dos posibilidades: la primera es utilizar la ecuación lineal 4 [ ] 2 = z 1 z = c 2. Héctor Hernández / Luis Núñez 6 Universidad de Los Andes Mérida

7 por lo tanto al volver a la variable y: y = c 2 = c 3 3 c. La segunda es resolver la ecuación de Bernoulli 5 con n = 2 du [ ] 2 u = u 2 u = c y en función de y y = c = c 3 3 c. Ejercicios Resuelva la siguiente ecuación de Riccati y = y 1 y2 y 1 = Un tipo muy especial de ecuación diferencial no lineal Vamos a estudiar la siguiente ecuación diferencial: y = y Ap y q + B r y s C p y q + D r y s donde A B C D son constantes. La ecuación diferencial puede ser escrita como: y A p y q + B r y s + C p y q + D r y s dy = 0. Y se puede demostrar que el factor integrante será de la forma µ y = a y b donde a y b son constantes a determinar. Veamos un ejemplo. y 2 2 y y 3 1 P y = y 2 2 y dy = 0 Q y = 2 y 3 1 La ecuación no es eacta. Q = 32 y 3 1 P = 82 y 3 +3 Héctor Hernández / Luis Núñez 7 Universidad de Los Andes Mérida

8 Si µ y = a y b es un factor integrante entonces: a y b 2 2 y 4 + 3y + a y b 3 y 3 dy = a y 4+b + 3 a y 1+b + 3+a y 3+b 1+a y b dy = 0 y será eacta si y P = Q esto es y P = 2 2+a 4 + by 3+b + 3 a 1 + by b = 3 + a 2+a y 3+b 1 + a a y b = Q si multiplicamos por 1/ a y b la ecuación anterior queda como: 24 + b 2 y b = 3 + a 2 y a igualando coeficientes resulta 8 + 2b = 3 + a 3 + 3b = 1 a a = 7 5 b = 9 5. Por lo tanto el factor integrador es µ y = 7/5 y 9/5. Queda como ejercicio verificar que con este factor integrador la ecuación orignal es eacta. 5. Otros métodos Muchas veces la solución de una ecuación diferencial se puede obtener utilizando más de un método. Si fallan los métodos vistos anteriormente entonces podemos utilizar un poco de ingenio matemático. Veamos los siguientes ejemplos 1. Resolvamos la ecuación y = y y2 2 la ecuación no es del tipo con coeficientes homogéneos y y 2 2 P y = y y 2 2 dy = 0 Q y = = pero podemos hacer lo siguiente: Q y dy y = 0 y dy y 2 2 = y y 2 d = + 1 d y y 2 = + 1 = 1 12y = P. Héctor Hernández / Luis Núñez 8 Universidad de Los Andes Mérida

9 integrando: d y y 2 = + 1 y arc tg = + C y = tan + c 0 2. Resolver Podemos hacer la siguiente sustitución: y = y z = 2 + y 1 dy = 2 Por lo tanto 2 = 2 + 2z 2 3 = 2z 2 3 Nos queda entonces una ecuación separable = 2 z 2 3 = 2 3z 1 3 = 2 + C z 0 z 2 3 regresando a la variable original y = 2 + C y 1 = 2 + C y 1 0 para finalizar despejamos lo que será nuestra solución y = C3. Es bueno acotar y queda como ejercicio demostrar que y = 1 2 también es una solución. 3. Resolver 2 cosyy + seny = 2 cscy y 0. Podemos verificar que los métodos anteriores no funcionan pero si multiplicamos por seny: Esta es una ecuación lineal para sen 2 y = z 2 cosysenyy + sen 2 y = 2 cscyseny d [ sen 2 y ] + sen 2 y = 2 + z = 2 donde el fácil ver que el factor integrador es µ = e. Por lo tanto z = 1 e 2 e + C e = 1 e e + C e = Ce La solución es entonces: y = arcsen [± ] Ce y 0. Héctor Hernández / Luis Núñez 9 Universidad de Los Andes Mérida