Complementos de Matemáticas, ITT Telemática

Transcripción

1 Introducción Métodos numéricos para EDOs Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Tema 4. Solución numérica de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá

2 Índice Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales Modelos Definiciones y Teoremas Problemas bien planteados 2 Métodos numéricos para EDOs Método de Euler Métodos de un paso Métodos de Taylor Métodos de Runge-Kutta

3 Ejemplos Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Modelo de desintegración del Carbono-14 N(t): Densidad de átomos en una muestra radiactiva en el instante t dn/dt = λn Crecimiento demográfico P(t): Población total en un instante de tiempo t dp/dt = λp (Malthus, 1798) dp/dt = (β γp)p (Verhulst 1838) Modelo depredador-presa. Lotka-Volterra 1910 x(t) e y(t) poblaciones totales de presas y depredadores en el instante t dx = Ax Bxy dt dy = Cxy Dy dt

4 Ejemplos Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Mezclas x(t): Cantidad de soluto en el instante t, F flujo de entrada/salida, C concentración de entrada y V volumen total en el recipiente. dx/dt = FC F x V Caida de cuerpos (Newton) y(t): altura de un cuerpo en el instante t m d2 y dt 2 = mg Ley de Hooke y(t): distancia de un cuerpo a su estado de equilibrio en el instante t m d2 y dt 2 = ky

5 Índice Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales Modelos Definiciones y Teoremas Problemas bien planteados 2 Métodos numéricos para EDOs Método de Euler Métodos de un paso Métodos de Taylor Métodos de Runge-Kutta

6 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Primeras definiciones Definición Una ecuación diferencial es una relación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. F(x, y, z,..., u x, u y, u z,..., u xx, u xy,...) = 0. Un conjunto de n ecuaciones diferenciales constituye un sistema de ecuaciones diferenciales Definición Se dice que una ecuación diferencial es ordinaria si en la ecuación sólo aparecen derivadas respecto de una única variable independiente. Una ecuación diferencial en derivadas parciales es una ecuación diferencial que contiene derivadas parciales respecto de varias variables independientes. Ejemplos Los ejemplos iniciales correspondían todos a ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuación en derivadas parciales: Sea w = f (x, y, z, t) una función del tiempo y de las tres coordenadas rectangulares de un ( punto en el espacio. Ecuación del calor: α 2 2 ) w x w y w z 2 = w t

7 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Primeras definiciones Definición Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada de orden máximo que interviene en la ecuación. Ejemplos dp/dt = (β γp)p es de primer orden. m d2 y = mg es de segundo orden. dt ( 2 ) α 2 2 w x + 2 w 2 y + 2 w = w es de segundo orden. 2 z 2 t dx = Ax Bxy dt es de primer orden. dy = Cxy Dy dt

8 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1 er orden. EDO Otras notaciones: y = f (x, y) o x = f (t, x). dy = f (x, y) dx Definición Se dice que la función y = ϕ(x), definida y de clase n en el intervalo I, es solución de la edo y = f (x, y) en el intervalo I si se verifica que ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) para todo x I. Interpretación geométrica y (x 0, y 0 ) Solución y = ϕ(x) tangente a y = ϕ(x) en x 0 de pendiente f (x 0, y(x 0 )) x

9 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Campos de direcciones Cuántas soluciones tiene una edo? La función ϕ(x) = 2x 2 es solución de y = 2x y. La familia de funciones ϕ C (x) = 2x 2 + Ce x también Si evaluamos f en una red rectangular de puntos en el plano y trazamos un segmento en cada punto (x, y) de la red con pendiente f (x, y) hemos construido el denominado campo de pendientes. Por cada punto pasa una única curva solución.

10 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Problemas de valores iniciales Definición Se denomina solución particular de una EDO a toda solución que no contiene parámetros arbitrarios distintos de los que puedan aparecer en la propia ecuación. Definición Se llama solución general de la ecuación al conjunto de todas las soluciones particulares. P.V.I. para y = f (x, y) Ecuación diferencial más condición inicial: dy = f (x, y) dx y(x 0) = y 0

11 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Funciones lipschitzianas Definición Sea f : D IR 2 IR. Se dice que f (x, y) es lipschitziana respecto de y en D si existe L 0 tal que f (x, y 1) f (x, y 2) L y 1 y 2 para todo (x, y 1), (x, y 2) D. La constante L se denomina constante de Lipschitz de f respecto de y en D. Definición Un conjunto D IR 2 se dice convexo si dados dos puntos cualesquiera (x 1, y 1), (x 2, y 2) D se verifica que el segmento que los une está también incluido en D, es decir, si para todo λ [0, 1] se tiene que (λ x 1 + (1 λ) x 2, λ y 1 + (1 λ) y 2) D. Proposición Sea f (x, y) definida en un conjunto convexo D IR 2. Si existe constante L > 0 tal que f (x, y) y L para todo (x, y) D entonces f es lipschitziana respecto de y en D con constante de Lipschitz L.

12 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones para PVI Teorema (Existencia y unicidad) Sea f (x, y) una función continua en una banda D = {(x, y) : a x b, < y < }. Si f es lipschitziana respecto de y en D entonces el problema de valor inicial dy = f (x, y) x [a, b] dx y(a) = y 0 tiene una solución única ϕ(x) definida para todo x [a, b].

13 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Algunas EDOs resolubles mediante cuadraturas Ecuaciones separables. Un ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es separable si se puede escribir como y = f (x)g(y). Solución general: dy g(y) = f (x)dx + C. Ecuaciones lineales. Un ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es lineal si se puede escribir como y + P(x)y = Q(x). Solución general: ( ) y(x) = e p(x) e p(x) Q(x)dx + C. donde p(x) es una primitiva de P(x).

14 Índice Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales Modelos Definiciones y Teoremas Problemas bien planteados 2 Métodos numéricos para EDOs Método de Euler Métodos de un paso Métodos de Taylor Métodos de Runge-Kutta

15 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Problema bien planteado Cómo saber cuando un problema verifica que pequeños cambios en el enunciado conllevan también pequeños cambios en la solución? Definición Diremos que el P.V.I. está bien planteado si: dy = f (x, y) x [a, b] dx y(a) = y 0 1 Existe una solución única ϕ(x) para el problema. 2 Existen constantes positivas k y ε con la propiedad de que para todo ε, δ 0 y δ(x) tales que δ 0 < ε < ε y δ(x) continua con δ(x) < ε < ε en [a, b], entonces el problema perturbado dz = f (x, z) + δ(x) para x [a, b], z(a) = y0 + δ0 dx tiene una única solución z(x) que verifica z(x) y(x) < kε, para todo x [a, b].

16 Introducción Métodos numéricos para EDOs Modelos Definiciones Prob. bien plant. Condición de bien planteado Teorema Sea f (x, y) una función continua en una banda D = {(x, y) : a x b, < y < }. Si f es lipschitziana respecto de y en D entonces el problema de valor inicial dy = f (x, y) x [a, b] dx y(a) = y 0 está bien planteado.

17 Índice Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales Modelos Definiciones y Teoremas Problemas bien planteados 2 Métodos numéricos para EDOs Método de Euler Métodos de un paso Métodos de Taylor Métodos de Runge-Kutta

18 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Planteamiento General Dado el problema de valor inicial: { y = f (x, y), a x b Hacemos: y(a) = y 0 Se divide [a, b] en N > 0 subintervalos de la misma longitud. Longitud de paso: h = b a N. Nodos: x i = a + i h, i = 0, 1,..., N. Calculamos los valores y i como aproximación de los valores exactos y(x i ), i = 0, 1,..., N.

19 Método de Euler Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta { y = f (x, y), a x b y(a) = y 0 Aproximación y(x i+1 ) y(x i ) h = y(x i + h) y(x i ) h y (x i ) = f (x i, y(x i )) Método de Euler: x i = a + ih, i = 0, 1,..., N y 0 y i+1 = y i + hf (x i, y i ) (Ecuación en diferencias)

20 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Método de Euler: Ejemplo y = 2xy 2, y(0) = 1, x [0, 2] La solución exacta del problema es y(x) = 1/(x 2 + 1). La ecuación recurrente del método de Euler con h = 0,1 es: y i+1 = y i + 0,1( 2x iy 2 i ) con y 0 = 1 i x i y i y(x i ) y(x i ) y i

21 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Error local de truncamiento El error local de truncamiento o error de discretización mide el error que se comete utilizando la solución exacta del p.v.i. como solución de la ecuación en diferencias: Definición y(x i+1) y(x i) + h f (x i, y(x i)) Para cada i = 1, 2,..., N, definimos los errores locales de truncamiento del método de Euler como y(xi) y(xi 1) ρ i(h) = f (x i 1, y(x i 1)) h Si ρ(h) = sup i ρ i(h) tiende a 0 cuando h tiende a 0 se dice que el método es consistente. Suponiendo y (x) continua en [a, b] y llamando M = sup x [a,b] y (x) se tiene ρ(h) 1 2 Mh. En este caso el método de Euler es consistente. Para ello basta con que f (x, y) tenga derivadas parciales continuas.

22 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Convergencia del método de Euler Definición El error global de truncamiento en el nodo x i es e i = y(x i) y i. Si sup i e i tiende a 0 cuando h tiende a 0 se dice que el método es convergente. Teorema Sea D = [a, b] R y f (x, y) continua y lipschitziana respecto de y en D con constante L. Sea y(t) la solución única del p.v.i. y = f (x, y), a x b, y(a) = y 0. Sean y 0, y 1,..., y N las correspondientes aproximaciones generadas por el método de Euler para algún entero N, con h = N/(b a). Entonces para cada i = 1, 2,..., N se tiene e i ρ(h) ( ) e L(xi a) 1. L Si L = 0 se verifica e i ρ(h)(x i a). Y si existe M = sup x [a,b] y (x) se tiene e i hm ( ) e L(xi a) 1 2L En las condiciones del teorema si el método es consistente entonces también es convergente.

23 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Método de Euler: Ejemplo y = y x 2 + 1, y(0) = 0,5, x [0, 2] La solución exacta del problema es y(x) = (x + 1) ex. La ecuación recurrente del método de Euler con h = 0,1 es: y i+1 = y i + 0,1(y i x 2 i + 1) con y 0 = 0,5 i x i y i y(x i ) y(x i ) y i Error estimado

24 Índice Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales Modelos Definiciones y Teoremas Problemas bien planteados 2 Métodos numéricos para EDOs Método de Euler Métodos de un paso Métodos de Taylor Métodos de Runge-Kutta

25 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Métodos de un paso { y = f (x, y), a x b y(a) = y 0 Expresión general x i = a + ih con h = (b a)/n, i = 0, 1,..., N: y 0 y i+1 = y i + hφ(x i, y i, h) (i = 0, 1,..., N 1) Definición (Error local de truncamiento) Dados los nodos x i = a + i h, i = 0, 1,..., N, definimos los errores locales de truncamiento del método como ρ i(h) = y(xi) y(xi 1) h donde y(x) es la solución teórica del problema. φ(x i 1, y(x i 1), h)

26 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Métodos de un paso para y = f (x, y), a x b, y(a) = y 0 Definición (Orden de convergencia del método y i+1 = y i + hφ(x i, y i, h)) Diremos que el método tiene orden p si y(x + h) y(x) hφ(x, y(x), h) = O(h p+1 ) (ρ(h) = O(h p )) donde y(x) es la solución teórica del problema. Definición (Consistencia) Diremos que el método es consistente si tiene al menos orden de convergencia 1. Teorema (Convergencia) Supongamos que 1 φ(x, y, h) es continua en D = {(x, y, h); x [a, b], < y < +, h [0, h 0], h 0 > 0} 2 Existe una constante L φ tal que para cualesquiera (x, y, h), (x, y, h) D se verifica φ(x, y, h) φ(x, y, h) L φ y y. Entonces el método es convergente si y sólo si es consistente. Además si ρ i(h) = O(h p ), es decir, si el método tiene orden p, entonces e i = y(x i) y i = O(h p ), para i = 1, 2,..., N.

27 Índice Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales Modelos Definiciones y Teoremas Problemas bien planteados 2 Métodos numéricos para EDOs Método de Euler Métodos de un paso Métodos de Taylor Métodos de Runge-Kutta

28 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Métodos de Taylor de orden superior Método de Taylor de orden n con y 0 y i+1 = y i + ht (n) (x i, y i, h) T (n) (x, y, h) = f (x, y) + h 2 f (x, y) + + hn 1 f (n 1) (x, y) n! donde f (k) (x, y) representa la derivada k-ésima con respecto a x de la función f (x, y(x)). Si y(x) C n+1 [a, b] entonces para i = 1, 2,..., N: ρ i (h) = O(h n )

29 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Ejemplo Método de Taylor de orden 3 para y = 2xy 2, y(0) = 1 en [0, 2]; ρ i(h) = O(h 3 ) y 0 = 1 y i+1 = y i + ht (3) (x i, y i, h) con T (3) (x, y, h) = 2xy 2 + h(4x 2 y 3 y 2 ) + h 2 (4xy 3 8x 3 y 4 ) i x i y i y(x i ) y(x i ) y i ,1 0,99 0, ,90099E ,2 0, , , ,3 0, , , ,4 0, , , ,5 0, ,8 0, ,6 0, , ,64027E ,7 0, , ,40275E ,8 0, , ,35814E ,9 0, , ,58428E , ,5 5,56612E ,1 0, , ,68982E ,2 0, , ,30101E ,3 0, , ,65703E ,4 0, , ,9272E ,5 0, , ,21138E ,6 0, , ,56131E ,7 0, , ,99826E ,8 0, , ,52582E ,9 0, , ,13825E , ,2 8,25632E-06

30 Índice Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales Modelos Definiciones y Teoremas Problemas bien planteados 2 Métodos numéricos para EDOs Método de Euler Métodos de un paso Métodos de Taylor Métodos de Runge-Kutta

31 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Métodos de Runge-Kutta Buscan errores locales de truncamiento de órdenes mayores que 1 sin la necesidad de calcular las derivadas de f (x, y) como en los métodos de Taylor. Teorema (Taylor en dos variables) Sea f (x, y) C (n+1) (D), con D = {(x, y) a x b, c y d}, y (x 0, y 0 ) D. Para todo (x, y) D existe ξ entre x y x 0 y η entre y e y 0 tal que f (x, y) = P n(x, y) + R n(x, y) donde el polinomio de Taylor de grado n de la función f (x, y) con centro en (x 0, y 0 ) es [ ] P n(x, y) = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) [ ] f 2 x 2 (x 0, y 0 )(x x 0 ) f x y (x 0, y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) + 2 f y 2 (x 0, y 0 )(y y 0 ) 2 n ( ) n n f n! j x n j y j (x 0, y 0 )(x x 0 ) n j (y y 0 ) j j=0 y el resto de Taylor asociado a P n(x, y) R n(x, y) = 1 (n + 1)! n+1 j=0 ( ) n + 1 n+1 f j x n+1 j y j (ξ, η)(x x 0) n+1 j (y y 0 ) j

32 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Métodos de Runge-Kutta de orden 2 Fórmula de Taylor de grado 1 f (x, y) = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) f 2 x 2 (ξ, η)(x x 0) f x y (ξ, η)(x x 0)(y y 0 ) f y 2 (ξ, η)(y y 0) 2 f (x+ h, y+ h f f (x, y)) = f (x, y)+ (x, y) h + f (x, y) h f (x, y)+r1(x+ h, y+ h f (x, y)) 2 2 x 2 y f (x + h, y + h f (x, y)) = 2 2 T(2) (x, y) + O(h 2 ) Método del Punto Medio, ρ i(h) = O(h 2 ) x i = a + ih con h = (b a)/n, i = 0, 1,..., N 1: y 0 y i+1 = y i + h f ( x i + h 2, y i + h ) 2 f (x i, y i )

33 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Métodos Runge-Kutta de dos etapas. Forma general x i = a + ih con h = (b a)/n, i = 0, 1,..., N 1 k 1 = h f (x i, y i) k 2 = h f (x i + c 2 h, y i + b 21 k 1) Notación de Butcher y 0 y i+1 = y i + (a 1 k 1 + a 2 k 2) c 2 b 21 a 1 a 2 Orden de los métodos de Runge de dos etapas Si a 1 = 1 a 2 y c 2 = 1 2a 2 = b 21 entonces ρ i(h) = O(h 2 )

34 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Métodos Runge-Kutta de dos etapas: Ejemplos Método del Punto Medio y i+1 = y i + h f (x i + h2, yi + h2 ) f (xi, yi) Método de Euler Modificado (o de Heun) k 1 = h f (x i, y i) k 2 = h f (x i + h, y i + k 1) y i+1 = y i k k2 y i+1 = y i hf (xi, yi) hf (xi+1, yi + hf (xi, yi)) y i+1 = y i hf (xi, yi) hf (xi h, yi hf (xi, yi))

35 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Comparación de los métodos de Euler, Punto Medio y Euler Modificado y = y x 2 + 1, y(0) = 0,5, x [0, 2]. Solución:y(x) = (x + 1) ex. h = 0,1 Método de Euler: y i+1 = y i + 0,1(y i x 2 i + 1). Método del Punto Medio: y i+1 = y i + 0,1(y i + 0,05(y i x 2 i + 1) (x i + 0,05) 2 + 1). Método de Euler Modificado: y i+1 = y i + 0,05(y i x 2 i + 1) + 0,05(y i + 0,1(y i x 2 i + 1) (x i + 0,1) 2 + 1). x i y(x i ) Euler Error Euler Punto Medio Err. P. Med. Euler Modif. Err. E. Mod , , ,

36 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Métodos de Runge-Kutta de orden mayor Métodos explícitos k 1 = h f (x i, y i) k 2 = h f (x i + c 2 h, y i + b 21 k 1) k n = h f (x i + c n h, y i + b n1 k b n,n 1 k n 1) y i+1 = y i + (a 1 k 1 + a 2 k a n k n) Notación de Butcher c 2 b 21 c 3 b 31 b c n b n1 b n2 b n,n 1 a 1 a 2 a n 1 a n

37 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Método de Runge-Kutta de 4 etapas k 1 = h f (x i, y i) k 2 = h f (x i h, yi k1) k 3 = h f (x i h, yi k2) k 4 = h f (x i+1, y i + k 3) y i+1 = y i + 1 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) 6 Orden del método de Runge de 4 etapas Si y(t) C 5 [a, b] entonces ρ i(h) = O(h 4 )

38 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Ejemplo del Método de Runge-Kutta de 4 etapas y = y x 2 + 1, y(0) = 0,5, x [0, 2]. Solución:y(x) = (x + 1) ex. h = 0,1 x i y(x i ) k1 k2 k3 k4 y i Error 0 0,5 0,5 0 0,1 0, ,15 0, , , , ,65962E-07 0,2 0, , , , , , ,44923E-07 0,3 1, , , , , , ,37779E-07 0,4 1, , , , , , ,45476E-07 0,5 1, , , , , , ,69002E-07 0,6 1, , , , , , ,20939E-06 0,7 1, , , , , , ,46771E-06 0,8 2, , , , , , ,74508E-06 0,9 2, , , , , , ,04264E , , , , , , ,36159E-06 1,1 2, , , , , , ,70311E-06 1,2 3, , , , , , ,06844E-06 1,3 3, , , , , , ,45881E-06 1,4 3, , , , , , ,87544E-06 1,5 4, , , , , , ,31953E-06 1,6 4, , , , , , ,79226E-06 1,7 4, , , , , , ,29473E-06 1,8 4, , , , , , ,82798E-06 1,9 5, , , , , , ,39291E , , , , , , ,99031E-06

39 Introducción Métodos numéricos para EDOs Euler M. un paso Taylor Runge-Kutta Comparación métodos de Runge-Kutta de 4 etapas, Euler y Punto Medio y = y x 2 + 1, y(0) = 0,5, x [0, 2]. Solución:y(x) = (x + 1) ex Como en cada paso el método de Runge-Kutta de 4 etapas necesita hacer 4 evaluaciones de f (x, y), el de Euler 1 y el del Punto Medio 2 vamos a tomar valores de h distintos de manera que en los tres casos el número de evaluaciones sea el mismo. h Máx. Error h Máx. Error h Máx. Error 0,1 6,99031E-06 0, , x i y(x i ) R-K 4 Error Euler Error Pto. Medio Error 0 0,5 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,1 0, , ,65962E-07 0, , , ,87988E-05 0,2 0, , ,44923E-07 0, , , ,68439E-05 0,3 1, , ,37779E-07 1, , , ,27595E-05 0,4 1, , ,45476E-07 1, , , ,49994E-05 0,5 1, , ,69002E-07 1, , , ,18263E-05 0,6 1, , ,20939E-06 1, , , ,12887E-05 0,7 1, , ,46771E-06 1, , , ,80476E-06 0,8 2, , ,74508E-06 2, , , ,09144E-05 0,9 2, , ,04264E-06 2, , , , , , ,36159E-06 2, , , , ,1 2, , ,70311E-06 2, , , , ,2 3, , ,06844E-06 3, , , , ,3 3, , ,45881E-06 3, , , , ,4 3, , ,87544E-06 3, , , , ,5 4, , ,31953E-06 3, , , , ,6 4, , ,79226E-06 4, , , , ,7 4, , ,29473E-06 4, , , , ,8 4, , ,82798E-06 4, , , , ,9 5, , ,39291E-06 5, , , , , , ,99031E-06 5, , , ,