Métodos numéricos. Aproximación para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Bioing. Analía S. Cherniz

Transcripción

1 Métodos numéricos Aproximación para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Bioing. Analía S. Cherniz Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora 03/08/2010

2 Organización 1 Introducción Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Errores 2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor 3 Fórmulas de Integración Abiertas o Cerradas Métodos de Paso Simple Métodos de Paso Múltiple Métodos de Predictor-Corrector 4 Conclusiones 5 Bibliografía A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

4 cuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Introducción Frecuentemente sucede que no es posible hallar la solución analítica de las ecuaciones diferenciales planteadas en los modelos. En estos casos los métodos numéricos permiten resolver el modelo alcanzando una solución aproximada del mismo. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias f ( t, y, dy ) dt, d2 y dt 2,, dn y dt n = 0 Solución única: n condiciones Condiciones en t = t 0 : Problema de condiciones iniciales Condiciones en más de un valor de t: Problema de condiciones de contorno A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

5 cuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Introducción Frecuentemente sucede que no es posible hallar la solución analítica de las ecuaciones diferenciales planteadas en los modelos. En estos casos los métodos numéricos permiten resolver el modelo alcanzando una solución aproximada del mismo. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias f ( t, y, dy ) dt, d2 y dt 2,, dn y dt n = 0 Solución única: n condiciones Condiciones en t = t 0 : Problema de condiciones iniciales Condiciones en más de un valor de t: Problema de condiciones de contorno A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

6 cuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Introducción Clasicación según la cantidad de puntos evaluados Métodos de Paso Simple Métodos de Paso Múltiple Clasicación según los puntos evaluados Métodos Explícitos Métodos Implícitos A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

7 cuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Introducción Clasicación según la cantidad de puntos evaluados Métodos de Paso Simple Métodos de Paso Múltiple Clasicación según los puntos evaluados Métodos Explícitos Métodos Implícitos A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

8 cuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Introducción Ecuacion Diferencial Ordinaria donde p es una constante. t 2 d2 y dt 2 + tdy dt + (t2 p 2 )y = 0 Sistema de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y 1 = dy dt = dy 1 dt = d2 y dt 2 y 1 dy dt = 0 t 2 dy 1 dt + ty 1 + (t 2 p 2 )y = 0 A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

9 cuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Introducción Ecuacion Diferencial Ordinaria donde p es una constante. t 2 d2 y dt 2 + tdy dt + (t2 p 2 )y = 0 Sistema de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y 1 = dy dt = dy 1 dt = d2 y dt 2 y 1 dy dt = 0 t 2 dy 1 dt + ty 1 + (t 2 p 2 )y = 0 A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

10 cuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Introducción EDO 1er orden F ( t, y, dy ) = 0 dt denida en el intervalo [a, b]. Se puede escribir en forma explícita: Solución aproximada dy dt = f(t, y) Se divide el intervalo de variación de t en subintervalos o pasos Se aproxima la solución verdadera y(t) en n + 1 valores igualmente espaciados de t: t 0, t 1,, t n. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

11 cuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Introducción EDO 1er orden F ( t, y, dy ) = 0 dt denida en el intervalo [a, b]. Se puede escribir en forma explícita: Solución aproximada dy dt = f(t, y) Se divide el intervalo de variación de t en subintervalos o pasos Se aproxima la solución verdadera y(t) en n + 1 valores igualmente espaciados de t: t 0, t 1,, t n. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

12 cuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Introducción Solución aproximada Tamaño de paso: Valores de t: h = b a n t i = t 0 + ih; i = 0, 1, 2,, n La solución se da en forma tabular para n + 1 valores discretos de t. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

13 rrores Errores Error de discretización o de truncamiento Si y(t i ) es la solución verdadera en los puntos t i y y i la aproximación calculada. El error de truncamiento es: ɛ i = y i y(t i ) El error de truncamiento queda determinado únicamente por el particular procedimiento o método numérico utilizado, esto es, por la naturaleza de las aproximaciones efectuadas en el método. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

14 rrores Errores Otros errores Errores de redondeo Errores asociados a la formulación del problema A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

15 eries de Taylor Organización 1 Introducción Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Errores 2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor 3 Fórmulas de Integración Abiertas o Cerradas Métodos de Paso Simple Métodos de Paso Múltiple Métodos de Predictor-Corrector 4 Conclusiones 5 Bibliografía A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

16 eries de Taylor Series de Taylor La serie de Taylor de una función f(x) innitamente derivable (real o compleja), denida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se dene como la siguiente suma: f(x) = n=0 f (n) (a) (x a) n n! Se puede expresar la solución y(t) alrededor del punto t i como una expansión en series de Taylor: y(t i + h) = y(t i ) + hy (t i ) + h2 2 y (t i ) hn n! y(n) (t i ) + h(n+1) (n + 1)! y(n+1) (ε) A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

17 eries de Taylor Aproximación por Series de Taylor Dado que y = f(t, y), utilizando la regla de la cadena obtenemos: y = f (t, y) = f t (t, y) + f y (t, y)y = f t (t, y) + f y (t, y)f(t, y) Ecuación donde y i+1 = y i + y ih + + y(n) i n! hn y (k) (t) = d(k 1) f(t, y(t)) dt k 1 A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

18 eries de Taylor Aproximación por Series de Taylor Dado que y = f(t, y), utilizando la regla de la cadena obtenemos: y = f (t, y) = f t (t, y) + f y (t, y)y = f t (t, y) + f y (t, y)f(t, y) Ecuación donde y i+1 = y i + y ih + + y(n) i n! hn y (k) (t) = d(k 1) f(t, y(t)) dt k 1 A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

19 eries de Taylor Aproximación por Series de Taylor Ejemplo dy dt ky = 0 y(t 0 ) = y 0 donde k es una constante. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

20 eries de Taylor Aproximación por Series de Taylor Características No se utiliza si f no es sencilla de derivar. La expansión en series de Taylor es válida si t i+1 t i. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

21 étodos de Paso Simple Organización 1 Introducción Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Errores 2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor 3 Fórmulas de Integración Abiertas o Cerradas Métodos de Paso Simple Métodos de Paso Múltiple Métodos de Predictor-Corrector 4 Conclusiones 5 Bibliografía A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

22 étodos de Paso Simple Métodos de Paso Simple Método de Euler Método de Runge-Kutta Son métodos explícitos que permiten obtner y i+1 teniendo solamente la ecuación diferencial y la información en el punto t i. Sólo requieren de la condición inicial para arrancarlos. Permiten el avance paso a paso en el tiempo sin necesidad de recurrir a procedimientos iterativos. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

23 étodos de Paso Simple Método de Euler Ecuación Interpretación geométrica y i+1 = y i + hf(t i, y i ) A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

24 étodos de Paso Simple Método de Euler Características principales Método de 1er orden, con error global de aproximación O(h). Si el paso de integración que se utiliza no es lo sucientemente pequeño, el método podría tornarse inestable. Se utiliza comúnmente como método iniciador. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

25 étodos de Paso Simple Método de Runge-Kutta Ecuación ( ) K1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 y i+1 = y i + 6 K 1 = hf(t i, y i ) K 2 = hf(t i + h 2, y i + K 1 2 ) K 3 = hf(t i + h 2, y i + K 2 2 ) K 4 = hf(t i + h, y i + K 3 ) A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

26 étodos de Paso Simple Método de Runge-Kutta Características No es neceario evaluar derivadas. La desventaja es que es necesario evaluar la función f en varios puntos. Es un método de 4to órden, con un error de aproximación O(h 4 ). A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

27 étodos de Paso Múltiple Organización 1 Introducción Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Errores 2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor 3 Fórmulas de Integración Abiertas o Cerradas Métodos de Paso Simple Métodos de Paso Múltiple Métodos de Predictor-Corrector 4 Conclusiones 5 Bibliografía A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

28 étodos de Paso Múltiple Métodos de Paso Múltiple Características Además de y i y/o f i, requieren evaluar y o f en otros valores de t, fuera del intervalo de integración considerado, [t i, t i+1 ]. La desventaja es que requieren más información de la que normalmente se dispone para arrancar el procedimiento. Debe utilizarse algún otro método para arrancar A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

29 étodos de Paso Múltiple Métodos de Paso Múltiple Midpoint y i+1 = y i 1 + 2hf(t i, y i ) La primera aproximación se realiza por Euler. El orden del método es O(h 2 ). A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

30 étodos de Predictor-Corrector Organización 1 Introducción Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) Errores 2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor 3 Fórmulas de Integración Abiertas o Cerradas Métodos de Paso Simple Métodos de Paso Múltiple Métodos de Predictor-Corrector 4 Conclusiones 5 Bibliografía A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

31 étodos de Predictor-Corrector Métodos de Predictor-Corrector Método de Milne Método de Adams Moulton A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

32 étodos de Predictor-Corrector Método de Milne p i+1 = y i 3 + 4h 3 (2f(t i, y i ) f(t i 1, y i 1 ) + 2f(t i 2, y i 2 )) c i+1 = y i 1 + h 3 (f(t i+1, p i+1 ) + 4f(t i, y i ) + f(t i 1, y i 1 )) y i+1 = c i+1 A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

33 étodos de Predictor-Corrector Método de Adams Moulton p i+1 = y i + h 24 (55f(t i, y i ) 59f(t i 1, y i 1 ) + 37f(t i 2, y i 2 ) 9f(t i 3, y i 3 )) c i+1 = y i + h 24 (9f(t i+1, p i+1 ) + 19f(t i, y i ) f(t i 1, y i 1 ) + f(t i 2, y i 2 )) y i+1 = c i+1 A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

35 onclusiones Conclusiones Los métodos numéricos: permiten resolver el modelo alcanzando una solución aproximada del mismo. tienen errores asociados a su órden y al paso utilizado. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

37 ibliografía Bibliografía Nicolás J. Scenna y Alejandro S. M. Santa Cruz. Capítulo XIII. Métodos Numéricos Aproximación para la Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. ISBN: José Díaz Medina. Capítulo 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Departament de Física Atómica, Molecular i Nuclear Facultat de Física, Universitat de Valéncia. Francisco M. Gonzalez-Longatt. Comparación de Métodos Numéricos para la Solución Ecuación Diferencial de 1er Orden. A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33

38 ibliografía Métodos numéricos: Aproximación para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/ / 33