Métodos Matemáticos 2 Métodos Numéricos y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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1 Métodos Matemáticos 2 Métodos Numéricos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias L A Núñez * Centro de Astrofísica Teórica, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, Mérida 50, Venezuela Centro Nacional de Cálculo Científico Universidad de Los Andes CeCalCULA), Corporación Parque Tecnológico de Mérida, Mérida 50, Venezuela Mérida, Octubre 2003, Versión α Índice Sistemas Dinámicos 2 2 Los Métodos su Clasificación 2 3 El Rebusque de Talor 3 4 La idea de la Integración 3 5 El Método de Euler el problema de Valores Iniciales 4 6 Los Métodos de Runge-Kutta 5 7 Métodos Multipaso 6 8 Control del Paso 0 * nunez@ulave

2 Sistemas Dinámicos Dada una ecuación diferencial de segundo orden de la forma d 2 ) xt) d xt) 2 = F, xt), t siempre se puede convertir en un sistema de dos ecuaciones lineales de primer orden, al extender el espacio de variables de la forma d xt) def ) { = pt) xt) def d2 xt) d xt) d qt) = qt) 2 = F, xt), t = pt) d pt) = F pt), qt), t) este sistema puede ser re-arreglado en forma vectorial ) qt) d ) pt) pt) = F pt), qt), t) d Qt) = F Qt),t) Así dado un conjunto de potenciales elásticos las fuerzas que de ellos derivan, kx p = k x x V x) = 2 kx2 p = 2 3 kx3 p = 3 p k x p F k x) = d V x) dx F k x) = kx kx 2 k x p x x el sistema dinámico correspondiente a la ecuación de Newton correspondiente será xt) d pt) d Qt) pt) = F Qt),t) = m [F ext xt), t) k xt) p 2 Los Métodos su Clasificación xt) xt) Dada una ecuación diferencial de primer orden, dx) dx = x) = fx), x), con k el valor de la función obtenida con el método, con k x k ), donde x k = x 0 + kh h el paso Diremos que un método es de paso único si la determinación de k+ sólo involucra un único valor de k múltiple paso si para calcularlo se utilizan varios valores k, k,, k p Por otra parte se denomina un método explícito si para determinar k+ se utilizan valores anteriores k, k,, k p implícito si se utilizan una función del mismo valor k+ Así k+ = k + 2h f x k, k ) 2

3 representa un método explícito de paso único mientras que será implícito de múltiples pasos 3 El Rebusque de Talor k+ = k + h 2 [f x k, k ) + f x k+, k+ ) Tal como hemos dicho arriba, dada una ecuación diferencial, su solución a través de un método de paso único puede ser escrita como x) = fx), x) k+ = k + ϕ x k, k, h) con h = x i+ x i ; Lo primero que se puede hacer es expandir por Talor alrededor del punto x = x k x) = x k ) + x x k ) x k ) + 2! x x k) 2 x k ) + + n! x x k) n n) x k ) + e identificamos x k ) k x) = fx), x) x k ) f k, x k ) x k ) f k, x k ) = f x + f x=xx = k x=xx = k k x k ) f k, x k ) = x f + f k = xxf + x f) k + [ x f + f) k por lo que reconstruimos la serie de Talor hasta el orden que podamos o requiramos k + f k n+ = n + h f k, x k ) + 2! h2 f k, x k ) + 3! h3 f k, x k ) + + n! hn f n ) k, x k ) + quedando acotado el error por ε red = 4 La idea de la Integración n + )! hn+ f n) ξ), xξ)) La idea de integrar una ecuación diferencial ordinaria puede ilustrarse, formalmente de la siguiente forma x) = fx), x) k+ = k + xk+ x k dξ f ξ, ξ)) 3

4 entonces el metodo se centra en como se aproxima la función dentro de la integral Euler Se aproxima la función con en el punto anterior f x k, k ) k+ = k + h f x k, k ) Euler Mejorado o Heuns Se aproxima la función mediante un promedio en los extremos 2 [f x k, k ) + f x k+, k+ ) k+ = k + h 2 [f x k, k ) + f x k+, k+ ) k+ = k + h 2 [f x k, k ) + f x k+, k + h f x k, k )) con h = x i+ x i el paso de integración Nótese además que hemos utilizado Euler otra vez para expresar k+ = k+ k, x k ) El Método de Euler constitue una expansión por Talor hasta primer orden por lo que el error es claramente de segundo orden por cuanto si comparamos con la expansión en series de Talor correspondiente tendremos k+ = k + h d dx + h2 d 2 x=xk 2! dx 2 + x=xk ε tot h2 2! d 2 dx 2 x=xk 5 El Método de Euler el problema de Valores Iniciales Este método si bien no se utiliza en la práctica en su forma estándar para ecuaciones diferenciales ordinarias, si ilustra el proceso de discretización de una ecuación diferencial su solución mediante métodos numéricos Para resolver la ecuación de un oscilador armónico libre que parte del reposo, ie d 2 φt) 2 + ω 2 0φt) = 0 con: ω 2 0 = k m ; φ t 0) = ; dφt) = 0 t=t0 en la cual φt) representa la posición de un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante elástica k Discretizando mediante diferencia centrada d 2 φt) h = t i+ t i ; 2 h 2 [φt i+) 2φt i ) + φt i ) h 2 [φ i+ 2φ i + φ i con lo cual la ecuación del oscilador libre queda como d 2 φt) 2 + ω0φt) 2 = 0 φ i+ 2 h 2 ω0 2 ) φi + φ i = 0 esta última ecuación es la versión en diferencias finitas de la ecuación diferencial es claro que se convierte en una ecuación algebraica Finalmente, los dos valores iniciales para la iteración φ 0 φ surgen de las condiciones iniciales dφt) φ 0 φ t = t 0 ) = = 0 φ φ 0 t=t0 4

5 6 Los Métodos de Runge-Kutta Es el conjunto de métodos más populares de maor uso La idea del método de Runge-Kutta es producir resultados equivalentes a desarrollos en Talor de orden superior a Euler en métodos de un único paso por lo tanto xk+ x) = fx), x) k+ = k + dξ f ξ, ξ)) x k se aproxima la función con un promedio ponderado f ξ, ξ)) [α f k, x k ) + β f k + δ f k, x k ) h k, x k + γ h k ) con h k = x k+ x k donde α, β, γ δ son los pesos estadísticos a ser determinados Por lo tanto k+ = k + [α f k, x k ) + β f k + δ f k, x k ) h k, x k + γ h k ) h k Expandiendo por Talor de dos variables tendremos g x + λ, + µ) = g x, ) + [λ x g + µ g + 2! [ λ 2 2 xg + 2λµ x g + µ 2 2 g + k+ = k + [α + β f k h k + β [γ x f k + δ f k f k h 2 k [ + γ 2 + β 2 2 xf k + 2γδ f k x f k + δ2 2 f k 2 2 f k h 3 k + con f k = f k, x k ) como se ve claramente, queda libertad para escoger Euler Mejorado o Heuns α = β = 2 ; γ = δ = k+ = k + f k h k + 2 [ xf k + f k f k h 2 k Euler Modificado α = 0; β = ; γ = δ = 2 k+ = k + f k h k + [ 2 xf k + 2 f k f k h 2 k Runge-Kutta de cuarto orden aproxima la función f ξ, ξ)) en cuatro puntos intermedios en el intervalo x k < x < x k+ por lo cual podemos plantearnos varias formas de hacerlo k+ = k + [α κ + β κ 2 + γ κ 3 + δ κ 4 h k k+ = k + h k 6 [κ + 2κ 2 + 2κ 3 + κ 4 5

6 donde κ = f x k, k ) κ 2 = f x k + 2 h k, k + ) 2 κ κ 3 = f x k + 2 h k, k + ) 2 κ 2 κ 4 = f x k + h k, k + κ 3 ) o también donde k+ = k + h k 8 [κ + 3κ 2 + 3κ 3 + κ 4 κ = f x k, k ) κ 2 = f x k + 3 h k, k + ) 3 κ κ 3 = f x k + 3 h k, k + ) 3 κ 2 κ 4 = f x k + h k, k + κ 3 ) Más aún el método de Fehlberg de 4/5 orden se puede escribir como k+ = k + h k [C κ + C 2 κ 2 + C 3 κ 3 + C 4 κ 4 + C 5 κ 5 + C 6 κ 6 + Oh 6 ) κ = f x k, k ) κ 2 = f x k + a 2 h k, k + b 2 κ ) κ 3 = f x k + a 3 h k, k + b 3 κ + b 32 κ 2 ) κ 4 = f x k + a 4 h k, k + b 4 κ + b 42 κ 2 + b 43 κ 3 ) κ 6 = f x k + a 6 h k, k + b 6 κ + b 62 κ 2 + b 63 κ 3 + b 64 κ 4 + b 65 κ 5 ) la cual puede ser redefinida truncada para obtener 7 Métodos Multipaso ỹ k+ = k + h k [ C κ + C 2 κ 2 + C 3 κ 3 + C 4 κ 4 + C 5 κ 5 + Oh 5 ) Los métodos multipaso se basan encontrar el valor n+k como una función de k valores precedentes: n+k, n+k 2, n+k 3, n Para k =, retomamos los métodos de paso único del tipo Euler o Runge-Kutta Será explícito abierto) si el valor n+k puede ser calculado directamente o implícito abierto) si la fórmula contiene el valor n+k deseado 6

7 Otra vez la idea está en aproximar el argumento de la integración formal x) = fx), x) i+ = i + xi+ x i k dξ f ξ, ξ)) nótese en este caso que el punto i + recibe la contribución de k puntos anteriores El integrando f ξ, ξ)) lo aproximaremos con un polinomio de interpolación de Newton de orden n Tal que f ξ, ξ)) f ξ) = p n ξ) + R n ξ) con p n ξ) el polinomio de interpolación R n ξ) el residuo Donde i p n x) = f [x n + x x n ) f [x n, x n + x x n ) x x n ) f [x n, x n, x n x x n ) x x n ) x x n 2 ) x x ) f [x n, x n, x n 2, x n 3, x 0 R n x) = x x n ) x x n ) x x n 2 ) x x 0 ) f n+) ζ) n + )! con x 0 < ζ < x n haciendo p n x) f x n + αh) con α cero o negativo de tal modo que en términos del operador diferencias atrasada fx) = fx) fx h) siendo h el incremento α α + ) f x n + αh) = f n + α f n + 2 α α + ) α + 2) f n + 3 f n + 2! 3! α α + ) α + 2) α + r ) + r f n r! donde hemos denotado f n f x n, x n )), m f n m f x=xn, α = x x i ) /h Por lo tanto xi+ i+ = i + = i + h i+ = i + h x i k k dξ f ξ, ξ)) dα f x n + αh) [αf i + α2 2 f i + α 2 +α 2 α α2 2 + α α 3 + ) 2 f i α + α ! ) 4 f i + 4! ) α + f i 3! por razones de conveniencia que son evidentes al hacer el desarrollo, se toman las fórmulas para k = r k + 7

8 k impar obtendremos k = 0 r = 3 k = r = k = 3 r = 3 k = 5 r = 5 i+ = i + h [ f i + 2 f i f i f i R = h5 f 4) ζ) i+ = i + h [2f i + 0 f i R = 3 h3 f 2) ζ) i+ = i + h [ 4f i 4 f i f i f i R = 4 45 h5 f 4) ζ) i+ = i + h [ 6f i 2 f i f i 9 3 f i f i R = 4 40 h7 f 6) ζ) al expresar las diferencias atrasadas las fórmulas explícitas abierta) quedan expresadas como k = 0 r = 3 i+ = i + h 24 [55f i 59f i + 37f i 2 9f i 3 R O h 5) k = r = i+ = i + 2hf i R O h 3) k = 3 r = 3 i+ = i + 4h 3 [2f i f i + 2f i 2 R O h 5) k = 5 r = 5 i+ = i + 3h 0 [f i 4f i + 26f i 2 4f i 3 + f i 4 R O h 7) Siguiendo el mis procedimiento se pueden escribir las fórmulas implícitas cerradas) para las mismas curiosas situaciones Para este caso la conveniencia se obtienes para k impar r = k + 2 k = 0 i+ = i + h [ f i+ 2 f i+ 2 2 f i f i+ r = 3 k = r = 3 k = 3 r = 5 R = h5 f 4) ζ) i+ = i + h [ 2f i+ 2 f i 3 2 f i+ 0 3 f i+ R = 90 h5 f 4) ζ) i+ = i 3 + h [ 4f i+ 8 f i f i f i f i+ R = h5 f 4) ζ) desarrollando las diferencias atrasadas, tendremos k = 0 r = 3 i+ = i + h 24 [9f i+ + 9f i 5f i + 9f i 2 R O h 5) k = r = 3 i+ = i + h 3 [f i+ + f i + f i R O h 5) k = 3 r = 5 i+ = i 3 + 2h 45 [7f i+ + 32f i + 2f i + 32f i 2 + 7f i 3 R O h 7) 8

9 Se debe puntualizar lo siguiente respecto a las fórmulas explícitas e implícitas de los métodos multipaso antes mencionados Los métodos multipasos, normalmente, requieren menos evaluaciones de las funciones que los métodos monopaso para un mismo nivel de precisión Los métodos multipaso requieren de un método monopaso que le permita determinar los n+k, n+k 2, n puntos iniciales Las fórmulas explícitas son, normalmente, menos precisas que las implícitas La razón se fundamenta en que, mientras las explícitas extrapolan la solución al punto i+, las implícitas la interpolan, por cuanto la toman en cuenta en el momento de calcularla Las fórmulas explícitas e implícitas deben ser consideradas como complementarias, por cuanto las explícitas pueden predecir el valor de i+ necesario para la f i+ = fx i+, i+ ) del cálculo de i+ en la fórmula implícita Existen varias combinaciones predictor-corrector, entre ellas mencionamos: Milne de cuarto orden Predictor Corrector i+ = i 3 + 4h 3 [2f i f i + 2f i 2 i+ = i + h 3 [f i+ 4f i + f i Milne de sexto orden Predictor Corrector i+ = i 5 + 3h 0 [f i 4f i + 26f i 2 4f i 3 + f i 4 Adams Modificado o Adams Moulton i+ = i 3 + 2h 45 [7f i+ + 32f i + 2f i + 32f i 2 + 7f i 3 Predictor Corrector i+ = i + h 24 [55f i 59f i + 37f i 2 9f i 3 i+ = i + h 24 [9f i+ + 9f i 5f i + f i 2 El método de extrapolación multipaso más exitoso conjuntamente con los métodos de paso único del tipo Runge-Kutta) es el de extrapolación racional de Bulirsch-Stoer en el cual se define un paso superior de H una serie de subpaso h η = H/η con el aumento del número de subpasos, en algún momento siguiendo algún criterio de convergencia se hace una extrapolación racional) que representa el límite η 9

10 El método de Bulirsch-Stoer tiene una estrategia diferente al los anteriores posee, como motor de aproximación el método del punto medio modificado o salto de rana leap frog) Este esquema se utiliza con frecuencia en discretizaciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se basa en aproximar la derivada por el valor el promedio en los dos extremos: por lo tanto x) = fx), x) x n ) = fx n ), x n ) = x n) n ) 2h z 0 x) z = z 0 + hfx, z 0 ) z n+ = z n 2hfx + nh, z n ) para finalmente calcular Nótese que si reacomodamos x + H) n 2 [z n + z n + hf x + H, z n ) x + H) 4 n n/2 3 obtendremos un método de cuarto orden que requiere menos evaluaciones de fx n ), x n ) por paso h 8 Control del Paso En General para métodos de 4 to orden Tal como se mencionó en el caso de la integración numérica, el primer criterio que surge es dividir el paso h en la midad, calcular todo de nuevo comparar los resultados a ver si está dentro del los límites de tolerancia que nos hemos impuesto h h/2 h ) h, h/2 < εmáx ε máx h, h/2 ) h0 h t ) 5 h 0 = h t ε máx h, h/2 ) donde hemos denotado h 0 como el paso ideal Esta relación es general para cualquier método de 4 orden de paso único, multipaso, implícito o explícito Más aún, la práctica ha indicado que Mh t h 0 = Mh t ε máx h,h) ε máx h,h) ) 0,20 Mh t 0 h ) 0,25 Mh t 0 h 0 ) /5 ) 0,20 0 ) 0,25 0 <

11 donde 0 < M < un factor de seguridad Para métodos Runge-Kutta es importante mencionar que se utilizan maoritariamente métodos hasta cuarto orden porque de maor orden M, por ejemplo) involucran más de M evaluaciones menos M 2) de la derivada Por ello para este tipo de métodos se descubrió que considerando el mismo número de puntos para la evaluación intermedia se pueden generar métodos de distinto orden, para colomo de suerte el menor orden de esta situacion se expresa para métodos de 4 5 orden En particular Runge-Kutta de 5 orden se puede escribir como: k+ = k + h k [C κ + C 2 κ 2 + C 3 κ 3 + C 4 κ 4 + C 5 κ 5 + C 6 κ 6 + Oh 6 ) κ = f x k, k ) κ 2 = f x k + a 2 h k, k + b 2 κ ) κ 3 = f x k + a 3 h k, k + b 3 κ + b 32 κ 2 ) κ 4 = f x k + a 4 h k, k + b 4 κ + b 42 κ 2 + b 43 κ 3 ) κ 6 = f x k + a 6 h k, k + b 6 κ + b 62 κ 2 + b 63 κ 3 + b 64 κ 4 + b 65 κ 5 ) con los mismos puntos las mismas evaluaciones!) se puede reescribir para 4 orden como: por lo tanto el error se puede estimar ỹ k+ = k + h k [ C κ + C 2 κ 2 + C 3 κ 3 + C 4 κ 4 + C 5 κ 5 + Oh 5 ) k+, ỹ k+ ) = el control del paso se utiliza exactamente igual h 0 = h t 6 i= εmáx h, ỹ h ) C i C i ) k i Para métodos multipasos predictor corrector la situación puede tener un refinamiento adicional antes de proceder a modificar el paso h El esquema sería para un método predictor corrector del tipo Adams Modificado o Adams Moulton, donde el ) 0,20 Predictor Corrector i+ = i + h 24 [55f i 59f i + 37f i 2 9f i 3 i+ = i + h 24 [9f i+ + 9f i 5f i + f i 2 se realiza una serie de iteraciones dentro de la fórmula de corrector, ie i+ = i + h [ ) 9f x i+, i+ + 9f x i, i ) 5f x i, i ) + f x i 2, i 2 ) 24 0