Derivación Numérica. 22 Derivada del polinomio interpolador

Transcripción

1 La definición de la derivada de una función como un límite lleva implícito un método de aproximación numérica: f (x) f(x + h) f(x) h D h f(x); diremos que esta última cantidad es una derivada numérica de f con paso h. Ejemplo Si calculamos la derivada numérica de f(x) = x 2 en x = 1, h D h f Error Utilizando la fórmula de Taylor, f(x + h) = f(x) + hf (x) h2 f (c) así D h f(x) = f (x) hf (c) por lo tanto el error en la derivada numérica es del orden de h. De hecho en nuestro ejemplo f (1) = 2, por tanto el error es exactamente h. 22 Derivada del polinomio interpolador Si observamos la derivada numérica recién definida, podemos ver que es simplemente la pendiente de la secante por (x, f(x)) y (x + h, f(x + h)), es decir la derivada del polinomio interpolador de f en los nodos x, x + h. Podemos aproximar numéricamente la derivada de una función aproximando esta por medio de un polinomio interpolador y calculando la derivada de este último. 1

2 Por ejemplo, sea P 2 el polinomio que interpola a f con nodos en los puntos x 0 = x h, x 1 = x, x 2 = x + h; se obtiene P 2 (t) = (t x 1)(t x 2 ) 2 f(x 0 )+ (t x 0)(t x 2 ) h 2 f(x 1 )+ (t x 0)(t x 1 ) 2 f(x 2 ). Por tanto, P 2(t) = 2t (x 1 + x 2 ) 2 f(x 0 )+ 2t (x 0 + x 2 ) h 2 f(x 1 )+ 2t (x 0 + x 1 ) 2 f(x 2 ); en particular P 2(x 1 ) = x 2 x 1 f(x 2 0 )+ (x 1 x 0 ) + (x 1 x 2 ) f(x h 2 1 )+ x 1 x 0 f(x 2 2 ) = f(x 2) f(x 1 ). Es decir, f (x 1 ) f(x 1 + h) f(x 1 h). que representa una especie de media entre la derivada hacia adelante (h > 0) y la derivada hacia atrás (h < 0) de la anterior. Cómo estimar el error en P n(x)? Teorema 5. Sea f C n+2 ([a, b]) y sea P n (t) el polinomio interpolador de f con nodos x 0,..., x n [a, b]; t [a, b], ξ 1, ξ 2 [a, b] tales que f (t) P n(t) = L n (t) f (n+2) (ξ 1 ) (n + 2)! + L n(t) f (n+1) (ξ 2 ) (n + 1)! donde L n (t) = (t x 0 )(t x 1 ) (t x n ). Demostración. El error en P n viene dado por P n (t) f(t) = L n (t)f[x 0, x 1,..., x n, t] por tanto, E(t) = P n (t) f (t) = L n(t)f[x 0,..., x n, t] + L n (x) d dt f[x 0,..., x n, t] = L n(t)f[x 0,..., x n, t] + L n (t)f[x 0,..., x n, t, t] dado que f C (n+2), ξ 1, ξ 2 [a, b] tal que E(x) = L n(x) f (n+1) (ξ 1 ) (n + 1)! L n (x) f (n+2) (ξ 2 ) (n + 2)!. 2

3 A fin de obtener el orden más alto en la última estimación tratamos de conseguir L (x) = 0. Podemos lograrlo para n impar si distribuimos los nodos simétricamente respecto de x. Ejemplo Para n = 1, x = 1 2 (x 0 + x 1 ), x 0 = x δ, x 1 = x + δ: L(x) = (x x 0 )(x x 1 ); L (x) = (x x 1 )+(x x 0 ) = δ+δ = 0 Ejemplo Para n = 3, x 0 = x µ, x 1 = x δ, x 2 = x + δ, x 3 = x + µ: L(x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) L (x) = Así: 3 i,j,k=0;distintos (x x i )(x x j )(x x k ) = δ( δ)( µ) + µ(δ)( µ) + µδ( µ) + µδ( δ) = 0. E(x) = P n(x) F (x) = δ 2 µ 2 f (n+2) (ξ) (n + 2)!. En el caso general de n impar y nodos igualmente espaciados a distancia δ y distribuidos simétricamente respecto de x P n (x) f (x) = ( 1) n n 2 ( δ 2 )n+1 f (n+2) (ξ) (n + 2)!. De forma análoga, podemos conseguir que L(x) = 0 para n par tomando x como uno de los nodos. Resulta entonces que L (x) tiene un solo término no nulo y se obtiene un resultado análogo al anterior. 23 Coeficientes indeterminados El procedimiento descrito produce fórmulas de derivación numérica del tipo: f (k) (x) = n w i f(x i ) i=1 donde los x i son nodos predeterminados y los w i los pesos co- No son propiamente pesos ya que wi 1. De hecho w i = 0. rrespondientes. Una vez prefijados los nodos, para determinar los pesos podemos recurrir al método siguiente de coeficientes indeterminados. Ejemplo Supongamos que f (x) = Af(x h) + Bf(x) + Cf(x + h); 3

4 dado que el polinomio de Taylor de f nos da: f(x ± h) = f(x) ± f (x)h f (x)h 2 ± 1 6 f (x)h f ıv (ξ ± )h 4 Despejando f (x) obtenemos (23.1) f (x) = (A + B + C)f(x) + h( A + C)f (x) h2 (A + C)f (x) h3 ( A + C)f (x) h4 (Af ıv (ξ ) + Cf ıv (ξ + )). Si identificamos coeficientes obtenemos el sistema A + B + C = 0 A + C = 1 h A + C = 0, cuya solución es A = C = 1, B = 0; por tanto f (x) f(x + h) f(x h) = D h f(x); f (x) D h f(x) = h3 48 [f ıv (ξ ) + f ıv (ξ + )] Ejemplo Queremos deducir una derivada segunda de la forma D 2 hf(x) = Af(x ) + Bf(x h) + Cf(x + h) + Df(x + ). Para ello, junto con (23.1) utilizamos f(t±) = f(t)±f (t)+ 2 f (t)± 4 3 h3 f (t)+ 2 3 h4 (f ıv (ζ 1 )+f ıv (ζ 2 )) De ellas resulta que (23.2) f (t) = (A+B+C+D)f(t)+h( 2A B+C+2D)f (t)+ h2 2 (4A+B+C+4D)f (t) + h3 6 ( 8A B+C+8D)f (t)+ h4 24 (16Af ıv (ζ )+Bf ıv (ξ )+Cf ıv (ξ + )+16Df ıv (ζ + )) lo que da el sistema lineal A + B + C + D = 0 2A B + C + 2D = 0 4A + B + C + 4D = 1 h 2 8A B + C + 8D = 0 4

5 que resuelto proporciona D 2 hf(x) = con error f(x ) f(x h) f(x + h) + f(x + ) 3h 2 h2 72 [16f ıv (ζ ) f ıv (ξ ) f ıv (ξ + ) + 16f ıv (ζ + )]. 24 Estabilidad Numérica Si observamos todas las reglas de derivación numérica que hemos deducido, veremos que consisten en un cociente de dos números que cuando h (distancia entre nodos) tiende a cero es de la forma 0. De ello resulta que cuando h es muy pequeño vamos a tener una 0 pérdida de significación en el numerador amplificada por la división por h k. Esto hace que, dada una cierta precisión en los cálculos, habrá un h óptimo que nos dará la precisión máxima en el cálculo de la derivada numérica. Supongamos que ε es la precisión relativa de nuestros cálculos (digamos ε 10 16, como ocurre con Matlab). Vamos a estudiar qué sucede con la derivada numérica D h f(x) = f(x + h) f(x h). En su cálculo con la máquina tenemos D h f(x) = f(x + h) f(x h), donde f(x h) = (1 + ε 2 )f(x h); f(x + h) = (1 + ε1 )f(x + h); ( ε i ε, i = 1, 2), por tanto D h f(x) f (x) = ε 1f(x + h) ε 2 f(x h) dado que D h f(x) f (x) 1 6 h2 sup f resulta D h f(x) f (x) sup f ε h + sup f es decir E(h) = D h f(x) f (x) C 1 ε h + C 2 + D h f(x) f (x); para buscar el E mínimo hacemos E (h) = 0, es decir 2C 2 h C 1 εh 2 = 0, que tiene solución h = 3 C 1 Como esperamos 2C 2 ε. que tanto C 1 como C 2 tengan un valor moderado, h C 3 ε (si trabajamos con Matlab, h 10 5 ). 5

6 Ejemplo Calculemos la derivada de la función f(x) = x 4 en el punto x = 2, cuyo valor sabemos que es 32, por medio de la derivada numérica D h f(x) = f(x + h) f(x h) para valores de h = 10 k, k = 1,..., 20. Según el apartado anterior debemos esperar que el mejor resultado se produzca para k 5. Matlab nos da los siguientes resultados, en los cuales hemos incluido la tabla de errores: h Df error e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Podemos observar que el menor error se produce para k = 6 (h = 10 6 ), para el que este error es , es decir, del orden de C C 2(10 6 ) 2 C