AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. POLINOMIOS DE TAYLOR. DEFINICI ON. Vamos a considerar una funcion polinomica. P (0) = a 0. P 00 (0) = 2a 2.

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1 AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. POLINOMIOS DE TAYLOR. DEFINICI ON. Vamos a considerar una funcion polinomica Observemos que P (x) = a n x n + a n 1x n a 1 x + a 0 P (0) = a 0 P 0 (0) = a 1 P 00 (0) = a. P k) (0) = a k. P n) (0) = n!a n Ahora despejando los coecientes del polinomio, este lo podemos escribir como P k) (0) P (x) = x k Si tenemos un polinomio P de grado n cuyas potencias estan dadas sobre (x a); es decir P (x) = a n (x a) n + a n 1(x a) n a (x a) + a 1 (x a) + a 0 ; de forma analoga a lo de arriba, podemos escribir P k) (a) P (x) = (x a) k Observacion. 1. Existe una relacion entre los coecientes de un polinomio y las derivadas sucesivas del mismo. >Algo parecido ocurre con otras funciones? De entrada damos la siguiente denicion. Denicion. 1. Sea f R! R una funcion al menos n-veces derivable en un punto a Domf Se llama polinomio de Taylor de la funcion f de 1

2 C. RUIZ grado n y centrado en el punto a al polinomio f k) (a) P n;a (x) = (x a) k Ahora nos podemos preguntar que relacion hay entre una funcion f y sus polinomios de Taylor (que varan segun el grado n). Para n = 1; el polinomio de Taylor de grado 1 es P 1;a (x) = f (a) + f 0 (a)(x a); verica que P 1;a(a) = f (a) P 0 1;a (a) = f 0 (a) Figura 1. Polinomio de Taylor de grado uno. n = ; el polinomio de Taylor de grado es P ;a (x) = f (a)+f 0 (a)(x a)+ f 00 (a) (x a) ; verica que P ;a (a) = f (a) P 0 (a) ;a = f 0 (a) P 00 ;a = f 00 (a) Figura. Polinomio de Taylor de grado dos. El polinomio de grado uno P 1;a (x) = f (a) + f 0 (a)(x a) no es mas que la recta tangente a la graca de f por el punto (a; f (a)) Como vimos, esta era una aproximacion de la funcion cerca del punto a Domf El polinomio de grado dos P ;a (x) = f (a) + f 0 (a)(x a) + f 00 (a) (x a) ; una parabola, parece una mejor aproximacion de f cerca de a; ya que en este caso coinciden en el punto a hasta la segunda derivada. En general tenemos el siguiente resultado.

3 Teorema. 1. Sea una funcion f (a (a ; a + ) Entonces APUNTES MMI 3 f (x) P n;a (x) = 0 x!a (x a) n ; a + )! R derivable n-veces en Demostracion Si al ite anterior le aplicamos n-veces la Regla de L'H^opital llegamos a que f n) (x) Pn;a(x) n) = 0 x!a n! Observacion.. Se puede probar que si P (x) es un polinomio de grado n de modo que para todo k n se verica que f (x) P (x) = 0; x!a (x a) k entonces necesriamente P (x) = P n;a (x) El resultado anterior nos permite hacer una prueba sobre maximos y mnimos relativos que dejamos pendiente desde el Tema de Derivadas. Corollary 0.1. Sea a (a ; a + ) Domf de modo que existen f 0 y f 00 en (a ; a + ) y f 0 (a) = 0 a Si f 00 (a) > 0; entonces a es un mnimo local de f b Si f 00 (a) < 0; entonces a es un maximo local de f Demostracion b) Ejercicio. a) Sabemos por el Teorema anterior que f (x) P ;a (x) x!a (x a) = 0 Ahora f (x) P ;a (x) (x a) = f (x) f (a) f 00 (a) (x a) f (x) f (a) (x a) = (x a) Luego se tiene que f (x) f (a) x!a (x a) = f 00 (a) > 0 f 00 (a)! x!a= 0 Como (x a) es positivo, necesariamente f (x) f (a) > 0 en un entorno de a Luego por denicion de mnimo local, a lo es Vamos a poner algunos ejemplos de calculo de polinomios de Taylor. Ejemplo. 1. Vamos a calcular los polinomios de Taylor de las siguientes funciones centrados en los puntos a que se indican.

4 4 C. RUIZ 1. f (x) = e x ; en a = 0. f (x) = e x ; en a = 1 3. f (x) = cos x; en a = 0 4. f (x) = sen x; en a = 0 5. f (x) = ln x; en a = 1 Demostracion 1. Para todo k se tiene que (e x ) k) j x=0 = e0 = 1; as x k P n;0(x) =. Como en el caso anterior, (e x ) k) j x=1 = e1 = e; as e(x 1) k P n;1(x) = 3. Si f (x) = cos x; se tiene que f 0 (x) = sen x; f 00 (x) = cos x; f 000 (x) = sen x; y f 4 (x) = cos x; volvemos al principio. As f (0) = 1; f 0 (0) = 0; f 00 (0) = 1 y f 000 (0) = 0 y se vuelve a repetir esta secuencia. Por lo tanto (ejercicio) ( 1) k x k P n;0(x) = (k)! 4. De forma muy parecida al caso del coseno, se ve el caso f (x) = sen x; (ejercicio). ( 1) k x k+1 P n+1;0(x) = (k + 1)! 5. Para f (x) = ln x; tenemos que f 0 (x) = 1 x ; f 00 (x) = 1 x ; f 000 (x) = x3 ; f 4 (x) = 6 x4 ;...etc Viendo estas derivadas si suponemos que f k) (x) = ( 1) k 1 (k 1)! x k ; derivando tenemos que f k+1 1 (x) = kxk ( 1) k 1 (k 1)! = ( 1) k x k x k+1 Luego por induccion hemos probado que f k) (x) = ( 1 1)k (k 1)! y por tanto f k) (1) = ( 1) k 1 (k 1)! x k Ahora el polinomio de Taylor buscado es ( 1) k 1 P n;1(x) = (x 1) k k k=1

5 APUNTES MMI 5 >Para que nos pueden servir estos polinomios de Taylor? Los polinomios son faciles de evaluar, solo aparecen sumas y productos. Hay funciones mas difciles de evaluar, pero se puede aproximar por su polinomio de Taylor. Ejemplo.. Queremos evaluar f (x) = p 1 + x cerca de cero. Demostracion Para x = 0; 1 tenemos f (0; 1) = p 1; 1 >Quien se acuerda de como se hace una raz cuadrada? Podemos hacer otra cosa. p f (x) = 1 + x y por tanto f (0) = 1 f 0 (x) = 1 p y por tanto f 0 (0) = 1 1+x f 00 1 (x) = p 1 y por tanto f 00 (0) = 1 4(1+x) 1+x 4 El polinomio de Taylor de orden dos es por tanto P ;0(x) = x 1 8 x Ahora el polinomio de Taylor aproxima la funcion As x ; 1 8 x ' p 1 + x si x ' 0 (1; 1) 8 ' p 1; 1 Quizas en este caso es mejor recordar la regla del calculo para races cuadradas. >Y si queremos calcular sen 1 o ln? Referencias Departamento de Analisis Matematico, Facultad de Matematicas, Universidad Complutense, 8040 Madrid, Spain address Cesar Ruiz@mat.ucm.es