AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. La Distancia en R. Denicion. 1. Dado x 2 R llamamos valor absoluto de x al numero real positivo jxj =

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1 AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. La Distancia en R. Denicion.. Dado x R llamamos valor absoluto de x al numero real positivo jxj = x; si x 0; x; si x < 0. Figura. Valor absoluto. El valor absoluto mide la distancia de un numero real x al punto 0: Tambien podemos ver el valor absoluto como una aplicacion j j : R! R cuya graca es: Figura. Funcion valor absoluto. Proposicion.. (Propiedades del valor absoluto.) Para todo par de numeros reales x; y R se verican estas tres propiedades: jxj 0; ademas jxj = 0 si y solo si x = 0: jxyj = jxjjyj jx + yj jxj + jyj (Propiedad triangular).

2 C. RUIZ Demostracion: Las dos primeras propiedades son faciles de probar y se dejan como ejercicio. Veamos la tercera. En primer lugar observemos que para todo a R se verica que a jaj: As x jxj y jyj y por tanto x + y jxj + jyj: Por otro lado x j xj = jxj y j yj = jyj De lo que se deduce que jx + yj jxj + jyj y por tanto x + ( y) = (x + y) jxj + jyj: Denicion.. (Distancia en R) Se dene la distancia entre dos numeros reales x; y R por dist(x; y) = jx yj: El concepto de distancia es esencial para poder denir y entender el concepto de lmite (y por tanto de funcion continua, derivable o integrable) que veremos mas adelante. Proposicion.. (Propiedades de la distancia.) Dados cualesquiera x; y; z R numeros reales, se verican estas tres propiedades: jx yj 0; ademas jx yj = 0 si y solo si x = y: jx yj = jy xj jx yj jx zj + jy zj (Propiedad triangular). Demostracion: Las demostraciones se basan en las propiedades del valor absoluto. Las dos primeras son muy faciles. Para convencernos de la tercera (la propiedad triangular) bastara el siguiente dibujo Figura 3. Propiedad triangular de la distancia. que dice que "para ir de x a y siempre es mas corto si no pasamos por z". Ejemplo.. Resolver la ecuacion jx 3j + jx 7j = 4:

3 APUNTES MMI 3 Demostracion: Si no estuviesen los valores absolutos, estaramos ante una ecuacion de primer grado facil de resolver. Como no es el caso, veamos que hacer. Lo primero es llevar los puntos 3; 7 y x sobre la recta real. Figura 4. Posicion relativa de puntos sobre la recta. Una observacion directa sobre el dibujo nos dice que los numeros a menores que 3 y los mayores de 7 no pueden ser solucion de la ecuacion. Tenemos que buscar entre los numeros c que esten entre 3 y 7; de modo que la suma de distancia de c a 3 y de c a 7 sea 4. En este caso es facil ver que todo x = c esta en tales condiciones. De forma general este tipo de problemas se puede hacer del siguiente modo sistematico. Del dibujo vemos que tenemos tres casos: si x < 3 y por tanto la ecuacion queda x ( x) + 7 = 4; as x = 6 y as x = 3; lo cual es incompatible con x < 3; si 3 x < 7 y por tanto la ecuacion queda x 3 + ( x) + 7 = 4; as 4 = 4 lo cual es cierto, por tanto para todo x 3; y x < 7 se verica la ecuacion; si x 7 la ecuacion queda x 3 + x 7 = 4; de lo que se deduce que x = 4 y as x = 7 es solucion. Luego las soluciones de esta ecuacion son todos los x [3; 7] Intervalos. Los intervalos son los conjuntos mas utilizados al trabajar sobre R: Denicion. 3. Dados a; b R; extremos a y b al conjunto de la recta a < b; se llama intervalo abierto de (a; b) = fr R : a < r < b g: Figura 5. Intervalo abierto.

4 4 C. RUIZ Ejemplos.. Sea x 0 R y > 0; se considera el intervalo abierto (x 0 ; x 0 +) = fr R : x 0 < r < x 0 + g = fr R : jr x 0 j < g: Este es el conjunto de todos los reales que distan de x 0 menos que : Figura 6. Intervalo de centro x 0 y radio. (7 ; 7 + ) son todos los numeros reales que distan de 7 menos que : Denicion. 4. Intervalo cerrado: [a; b] = fr R : a r b g: Semirrecta cerrada: [a; ) = fr R : a r g: Semirrecta abierta: ( ; b) = fr R : r < b g: ( ; ) = R: Ejemplo.. Hay que determinar el conjunto A = f x R : jx + 3j < 6 g: Demostracion: Para quitar el valor absoluto debemos distinguir dos casos: Luego x (es decir x 3 ), en este caso tenemos la desigualdad x + 3 < 6 y despejando x < 3 : Luego x [ 3 ; 3 ): En otro caso x < 3 ; y la desigualdad queda, x 3 < 6 y despejando la x; x > 9 : As x ( 9 ; 3 ) A = ( 9 ; 3 [[ ) 3 ; 3 ) = ( 9 ; 3 ): Ejemplo. 3. Dados a < b dos numeros reales, el numero a + b medio del segmento que une a con b: es el punto

5 APUNTES MMI 5 Demostracion: La distancia que sepera a a y b es exactmente b a: Buscamos un punto entre a y b que equidiste de ambos. As ja b a : Por otro lado, j bj = b equidista de a y b; luego es el punto medio buscado. j = a = = b b : Luego efectivamnete Referencias Departamento de Analisis Matematico, Facultad de Matematicas, Universidad Complutense, 8040 Madrid, Spain address : Cesar Ruiz@mat.ucm.es