Tutorial MT-b14. Matemática Tutorial Nivel Básico. Geometría de proporción

Transcripción

1 M ate m ática Tutorial MT-b14 Matemática 006 Tutorial Nivel ásico Geometría de proporción

2 Matemática 006 Tutorial Geometría de proporción 1. Teorema de Thales: Thales de Mileto, ( a..) fue el primer y auténtico filósofo del mundo antiguo, vivió en Mileto, sobre la costa de sia Menor hacia el año 600 a.. studió el firmamento y enseño a los marinos a navegar guiándose por las estrellas; predijo un eclipse; enseño a los egipcios a medir la altura de las pirámides utilizando la sombra que proporcionaban las mismas a determinada hora del día. Se distinguió también como geómetra y formuló el teorema que lleva su nombre. l cuál detallamos a continuación: uando dos o más rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, determinan en éstas segmentos proporcionales. e la forma: L 3 L 1 L L 4 L 1 L son paralelas L 3 L 4 son paralelas = =. Sección Áurea o divina ado un segmento de longitud se dice que un punto M lo divide en media y etrema razón si se verifica la siguiente relación: M = M M PH Preuniversitario, dición 005

3 observar que: M > M M l Trazo M se lo denomina Sección Áurea del segmento dado. l calcular el cuociente de los trazos de un segmento dividido en sección Áurea este es aproimadamente igual a: ,618 valor que es conocido como número de oro o Ø (letra griega Phi). ste importante número posee aplicaciones matemáticas, artísticas y arquitectónicas entre otras. Por ejemplo, muchas construcciones griegas y muchas obras del genio Leonardo da Vinci están construidas en base al número de oro. Matemática Teorema de las bisectrices (o teorema de polonio): Si en un triángulo consideramos el punto de intersección P de la bisectriz interior del ángulo con el lado opuesto se cumple: = P P P P isectriz de ángulo 4.Semejanza(~): son figuras que tienen igual forma. Llamamos homólogos, los vértices de ángulos iguales y diremos que lados homólogos son aquellos que tienen por etremo un par de vértices homólogos. os triángulos que tienen sus ángulos iguales, tienen sus lados homólogos proporcionales. 4.1 riterios de semejanzas de triángulos. Primer criterio: os triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos internos iguales. Segundo criterio: os triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo conforman, proporcionales. Tercer criterio: os triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales. PH Preuniversitario, dición 005 3

4 Matemática 006 Tutorial 5. ongruencia( ): omo un caso particular de semejanza de figuras tenemos el caso de congruencia. os figuras son congruentes cuando son eactamente iguales. uando hablamos de congruencia de triángulos, entendemos que sus lados son respectivamente iguales y también lo son sus ángulos. 5.1 riterios para la congruencia de triángulos. Primer criterio: os triángulos son congruentes cuando sus lados homólogos son iguales. Segundo criterio: os triángulos son congruentes cuando tienen un ángulo igual comprendido entre lados homólogos respectivamente iguales. Tercer criterio: os triángulos son congruentes si tienen un lado igual y los ángulos homólogos adyacentes a él, respectivamente iguales. 6. quivalencia: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área jercicios: 1. os triángulos son equivalentes si ) tienen sus tres ángulos internos iguales ) tienen dos de sus ángulos iguales ) poseen dos lados homólogos ) poseen igual perímetro ) poseen la misma superficie. Las siguientes figuras son entre sí: I. ongruentes II. Semejantes III. quivalentes ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo II y III ) Ninguna de las anteriores 4 h = 4 8 h = 4 PH Preuniversitario, dición 005

5 3. Si los triángulos y F son semejantes. uál es el valor de? ) 3,3 ) 5 ) 7,5 ) 15 ) º 100º 0 F 60º º Matemática uánto mide? ) 1 ) 35 ) 4 ) 84 ) Se requiere información adicional 10 60º º 40º 5. n el dibujo L 1 y L son paralelas, uánto mide? ) 16 ) 3 ) 40 ) 48 ) 69 L L 1 6. n la figura = 3, = 5, O = 4, entonces O = ) 3 0 ) 0 3 L 1 59º ) 4 O ) 0 L 59º ) Se requiere información adicional PH Preuniversitario, dición 005 5

6 Matemática 006 Tutorial 7. Si y son paralelos, entonces = ) 130 ) 114 ) 105 ) 76 ) º º 40º 9 8. Si es rectángulo de área 80 cm y G también es un rectángulo, FG = ) 1 cm ) cm ) 3 cm ) 4 cm ) 5 cm 0 cm F G 5 cm 9. ncontrar la sección áurea de un trazo de 144 cm (considere Phi = ,618) ) cm ) 88,99 cm ) 95 cm ) 99,88 cm ) 144 cm 6 PH Preuniversitario, dición 005

7 10. alcular el área de la figura, sabiendo que F, F, F y F son triángulos congruentes entre sí, en donde = 5cm y F = 13 cm ) 1 cm ) 30 cm ) 60 cm ) 10 cm ) 40 cm 5 cm α α α F 13 cm Matemática Si la razón de los trazos y está en sección áurea y 8 > X, entonces X mide: (considere Phi = ,618) ) 1,618 cm ) 3,1415 cm X ) 4 ( 5-1) cm ) -4 cm ) 16 cm 8 cm 1. uánto mide? ) 10 cm ) 8 cm ) 5 cm ) 1 cm ) Se requiere información adicional 5 cm 57º 57º 3 PH Preuniversitario, dición 005 7

8 Matemática 006 Tutorial 13. n cuál(es) de las siguiente(s) figura(s) puede(n) encontrarse el valor de? I. II. III M N 6 5 MN es mediana del triángulo ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y III ) I, II y III 14. uanto mide la diagonal de un cuadrado equivalente a la suma de dos circunferencias de radio 3 cm cada una (considere π = 3) ) 7 cm ) 54 cm ) 108 cm ) 6 3 cm ) 54 cm 15. l triángulo es congruente con el triángulo F y semejante con FG, uánto mide el trazo G? ) 4,5 ) 6 ) 6,5 ) 8 ) 9 6 cm 10 cm α α F α G 8 PH Preuniversitario, dición 005

9 Respuestas Preg. lternativa Matemática 006 PH Preuniversitario, dición 005 9

10 Matemática 006 Solucionario Solucionario 1. lternativa correcta letra ) os triángulos son equivalentes si: ) Falso, en este caso son semejantes, pero pueden tener distinta área ) Falso, no se menciona si son ángulos internos o eternos, además si fuesen internos, en ese caso serian semejantes, pero pueden tener distinta área ) Falso, por lo señalado en y ) Falso, dos triángulos pueden tener eactamente el mismo perímetro y poseer distintas áreas ) Verdadera, dos triángulos son equivalentes si poseen la misma superficie o área. lternativa correcta letra ) Faltan elementos para determinar semejanza o congruencia sin embargo el primer triángulo posee área 8 cm y el segundo triángulo también posee área 8 cm, por lo tanto son triángulos equivalentes, sin embargo no poseen eactamente la misma forma, con lo cuál descartamos que sean semejantes o congruentes. Por lo tanto sólo el ítem III es verdadero. 3. lternativa correcta letra ) esarrollando los ángulos internos de los triángulos 100º 60º º 60º 0º 100º 0 F 10 demás como dos triángulos que tienen sus ángulos iguales, tienen sus lados homólogos proporcionales. Podemos concluir que: = F (Reemplazado los valores) 15 5 = 10 (espejando ) = PH Preuniversitario, dición 005

11 4. lternativa correcta letra ) l desarrollar los ángulos internos: 10 40º 40º 60º º 100º 40º Matemática 006 on lo cuál el trazo es bisectriz y podemos utilizar teorema de polonio, con lo cuál = (Reemplazando) = 1 Trazo = 4 (espejando) 5. lternativa correcta letra ) ado que L 1 y L son paralelas, podemos utilizar teorema de Thales, de donde se desprende que: 7 1 = 3 = (Reemplazando) (espejando) Trazo = lternativa correcta letra ) Ya que los ángulos sobre las rectas poseen la misma medida, por correspondencia deducimos que L 1 y L son paralelas, con lo cuál podemos utilizar teorema de Thales, dado lo cual: O = O (Reemplazando) PH Preuniversitario, dición

12 Matemática 006 Solucionario 3 4 = 5 O Trazo O = lternativa correcta letra ) ompletando los ángulos internos (espejando) 0 40º 40º 60º º 100º 40º 9 on lo cuál el trazo es bisectriz y podemos utilizar teorema de polonio, en donde: = 0 40 = 18 Trazo = 36 (Reemplazando) (espejando) Luego el trazo es igual a + = = 76, además como y son paralelos podemos utilizar teorema de Thales de donde: = 7 (espejando) trazo = lternativa correcta letra ) Si es rectángulo de área 80 cm entonces su ancho es 4 cm ya que 4 por 0 son 80, además como y G son rectángulos, los trazos y G son paralelas y por 1 PH Preuniversitario, dición 005

13 correspondencia los ángulos y GF son iguales con lo cual los triángulos y GF son semejantes, gráficamente tenemos que: 0 cm 4 cm 4 cm 0 cm 5 cm F 5 cm G Matemática 006 omo los triángulos y GF son semejantes, tenemos que: 0 4 = 5 FG = G FG Trazo FG = 1 cm (Reemplazando) (espejando) 9. lternativa correcta letra ) l valor de es equivalente al número de oro, o sea, a aproimadamente. Utilizando la ecuación X = a, en donde: X = Segmento ntero a = Segmento Áureo =1,618 on X = = a 144 (espejando a) = a (Reemplazando 144 1,618 = a (ividiendo) 88,99 = a por 1,618) PH Preuniversitario, dición

14 Matemática 006 Solucionario 10. lternativa correcta letra ) Ya que F es congruente con F los trazos F y F miden lo mismo, con lo cuál aplicando Pitágoras, nos percatamos que el triángulo F corresponde al trío pitagórico 5, 1, 13,su área corresponde entonces a 30 cm, luego como los 4 triángulos son congruentes el área de la figura corresponde a 4 30 = 10 cm 11. lternativa correcta letra ) ado que 8 > X entonces 8 es el segmento Áureo y por lo tanto 8 = Ø y dado que Phi (Ø) equivale a, entonces 8 =, de donde despejando obtenemos: X = 16 (Finalmente racionalizando) X = 4( 5-1) 1. lternativa correcta letra ) Ya que los ángulos sobre los trazos y poseen la misma medida, por correspondencia deducimos que L 1 y L son paralelas, con lo cuál podemos utilizar teorema de Thales, dado lo cual: 5 = = = trazo = 10 (Multiplicando cruzado) (espejando) (ividiendo por, ambos lados de la ecuación) 13. lternativa correcta letra ) n cuál(es) de las siguiente(s) figura(s) puede(n) encontrarse el valor de? I II. M 4 6 N III. 1 5 MN es mediana del triángulo 14 PH Preuniversitario, dición 005

15 n I no tenemos información para asegurar que las rectas sean o no paralelas, por lo cual no podemos utilizar Thales y no podemos encontrar el valor de. n II como toda mediana es paralela a su lado opuesto, podemos utilizar teorema de Thales y por lo tanto descubrir el valor de. n III podría pensarse que se trata del trío pitagórico 5, 1, 13,pero el triángulo en cuestión no es rectángulo, y para utilizar trigonometría necesitamos poseer por los menos un ángulo, por lo tanto no podemos conocer el valor de. Matemática 006 ado esto solo podemos conocer el valor de en II. 14. lternativa correcta letra ) uanto mide la diagonal de un cuadrado equivalente a la suma de dos circunferencias de radio 3 cm cada una (considere π = 3) Ya que dos figuras son equivalentes cuando sus respectivas áreas son iguales y dado que el área de una circunferencia es el radio al cuadrado por π (3 en este caso), tenemos que el área de una circunferencia de radio 3 es igual a: 3 3 = 7 cm, por lo tanto el área de dos circunferencias de radio 3 será de 7 = 54 cm,luego estamos buscando la diagonal de un cuadrado de superficie 54 cm. Para esto debemos sacar la raíz cuadrada al área y así encontrar su lado, siendo el lado del cuadrado = 54 cm, finalmente calculamos la diagonal del cuadrado, multiplicando el lado por raíz cuadrada de. iagonal = 54 = 108 (escomponiendo) 36 3 = 6 3 cm 15. lternativa correcta letra ) Si desarrollamos Pitágoras, descubrimos que corresponde al trío pitagórico 6, 8, 10, además Si es congruente con el triángulo F, entonces F también corresponde al trío pitagórico 6, 8, 10 F α 10 6 α 8 G demás como el triángulo es semejante con FG, se asume que F es también semejante con FG,entonces sus lados son proporcionales y podemos decir que: PH Preuniversitario, dición

16 Matemática 006 Solucionario F 8 6 = 6 G = F G Trazo G = 36 8 Trazo G = 4,5 (Reemplazando los trazos conocidos) (espejando (ividiendo) 16 PH Preuniversitario, dición 005