Los triángulos. El lado AB es opuesto al vértice C y al ángulo C.

Transcripción

1 Los triángulos

2 Los triángulos ' Se denomina con la secuencia de vértices:. es un ángulo interior, denominado sencillamente ángulo del triángulo. ' es un ángulo exterior. El lado es opuesto al vértice y al ángulo. Propiedades básicas ada lado del triángulo es menor que la suma de los otros dos lados. La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º. ada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores que no le son adyacentes, más 180º. Una altura de un triángulo es una recta perpendicular a uno de sus lados y que contiene su vértice opuesto. La mediatriz de un lado de un triángulo, como es sabido, es una recta perpendicular a este lado, que contiene su punto medio. Una bisectriz de un triángulo es, como es sabido, una recta que divide uno de los ángulos del triángulo en dos iguales. Una mediana de un triángulo es una recta que pasa por el punto medio de uno de sus lados y por el vértice opuesto. Según los ángulos Puntos y rectas importantes Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina ortocentro y se indica con la letra H. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina circuncentro y se indica con la letra O. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina incentro y se indica con la letra I. Tipos de triángulos Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina baricentro y se indica con la letra G. Según los lados Triángulo obtusángulo, que tiene un ángulo obtuso. Triángulo escaleno, que tiene los tres lados de longitud diferente. Triángulo acutángulo, que tiene los tres ángulos Triángulo isósceles, que tiene dos lados iguales agudos. Triángulo rectángulo, que tiene un ángulo recto. Triángulo equilátero, que tiene lados y ángulos iguales. Elementos Importancia El triángulo rectángulo La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto. Los otros dos lados, que forman el ángulo recto, se denominan catetos. Todo triángulo se puede descomponer de manera fácil en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras D El cuadrado de la hipotenusa (h) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a y b). h 2 = a 2 + b 2

3 Las medidas de un triángulo El perímetro El perímetro de un triángulo es la longitud total de sus lados. a b h c El área El área de un triángulo es la superficie limitada por sus lados. Elementos para calcular el área: La base del triángulo puede ser cualquiera de sus lados. La altura correspondiente a esa base es el segmento perpendicular a la base, que tiene por extremos el vértice opuesto a la base y un punto de la base. álculo del perímetro: P = a + b + c álculo del área: b h = 2 Proporción entre dos segmentos: cociente entre las longitudes de los segmentos. r r Semejanza de triángulos El teorema de Tales Proporcionalidad entre dos pares de segmentos: dos pares de segmentos son proporcionales si su proporción es la misma. r y r son dos rectas que se cortan con tres rectas paralelas. Los puntos de corte de la recta r con las paralelas se denominan, y ; los puntos de corte de la recta r y las paralelas se denominan, y. En estas condiciones el teorema de Tales afirma que: ' ' = ' ' plicación del teorema de Tales: si se corta un triángulo con una recta paralela a uno de sus lados, puede afirmarse que: = = ' ' ' ' Dos triángulos son semejantes si cumplen las propiedades de semejanza: Los pares de lados correspondientes son proporcionales. Los ángulos correspondientes son iguales. Los triángulos semejantes riterios de semejanza de triángulos Primer criterio Segundo criterio Dos triángulos son semejantes si Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. tienen tres lados proporcionales. Estos triángulos son semejantes: ya que:. = = ' ' ' ' ' '. = ', = ' y = ' Tercer criterio Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados proporcionales, y el ángulo que forman es igual.

4 Pitágoras y Tales Estos dos grandes pensadores griegos dieron sus nombres a dos de los principales resultados que permiten estudiar propiedades muy interesantes de los triángulos: el teorema de Pitágoras y el teorema de Tales. Tales vivió en Mileto a finales del siglo VII, aunque era de padres fenicios. Fue, quizá, el primer matemático, filósofo y científico griego. Parece que tuvo, también, intervenciones políticas (por ejemplo, propuso crear una sola sala de consejos) y técnicos (hizo cavar una zanja para que el río fuera vadeable por ambos lados); se dice que visitó Egipto, pero puede que esto fuera un rumor (era una costumbre relacionar a los sabios con Egipto, uno de los primeros centros de sabiduría de la antigüedad); Platón dice que Tales cayó a un pozo distraído cuando estaba mirando las estrellas, y ristóteles asegura que Tales ganó dinero con un negocio de compraventa de herramientas, pero esas dos anécdotas probablemente son una pura sátira ficticia. Tales predijo un eclipse y utilizó métodos para averiguar la altura de las pirámides; aunque alguien le atribuye un libro de astrología, actualmente se cree que este libro no fue escrito por Tales, sino por Foco de Samos. Tales está considerado uno de los siete sabios de la antigüedad griega. Sello griego de 1994 que representa la supuesta efigie de Tales. Pitágoras (aproximadamente, a..) vivió poco después que Tales; ambos son considerados los iniciadores de la matemática griega. Fundó la escuela pitagórica en el sur de la actual Italia, organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las matemáticas y a la música. Se dice que hubo una rebelión contra ellos y se quemó su sede. lgunos cuentan que el propio Pitágoras murió en el incendio; otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre. En todo caso, estos breves apuntes biográficos no son más que historias que repite la tradición, sin que puedan ser verificadas por documentos originales. demás de formular el teorema que lleva su nombre, se le atribuyó una tabla de multiplicar y el estudio de la relación entre la música y las matemáticas. Detalle del cuadro de Raffaello Sanzio ( ) Scuola di tene ( ), donde puede observarse a Pitágoras. Stanza della Segnatura, Palacio Pontificio (Vaticano).

5 Qué es un triángulo? Un triángulo es una figura cerrada formada por tres segmentos, denominados lados, que se unen en sus extremos. Todo triángulo tiene tres ángulos. Los lados y ángulos pueden ser continuos, si hay contacto entre ellos, u opuestos, si no hay contacto entre ellos. La longitud de cualquier lado es siempre menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados, y la suma de los ángulos de un triángulo es siempre igual a 180º o π rad. En el plano pueden dibujarse figuras delimitadas por segmentos unidos entre sí, llamados figuras poligonales o, simplemente, poligonales. ada uno de los segmentos de una poligonal se denomina lado, mientras que cada punto de unión entre dos segmentos de la poligonal se denomina vértice. Una poligonal cerrada, de manera que cada vértice una exactamente dos segmentos, se denomina polígono. Un triángulo es un polígono de tres lados (aunque su nombre nos indica que tiene tres ángulos, algo que es equivalente). Habitualmente, un triángulo (y, en general, todo polígono) se denomina con los vértices que lo componen. Por ejemplo, el triángulo de la imagen se denomina. Dos lados cualesquiera de un triángulo forman dos ángulos: el ángulo interior y el ángulo exterior. El primero es siempre convexo (por ' ejemplo, Ĉ ), mientras que el segundo es siempre cóncavo (por ejemplo, ' ). La suma de estos dos ángulos es siempre de 360º. En todo caso, cuando se habla de los ángulos de un triángulo, siempre se hace referencia a los ángulos interiores. Un ángulo y un lado que no forma parte del ángulo son opuestos. De la misma manera, un vértice y un lado que no lo contenga, también son opuestos. Por ejemplo, el ángulo Ĉ y el lado son opuestos. Las propiedades básicas de un triángulo son: La longitud de cualquier lado es siempre menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. La suma de los ángulos de un triángulo es siempre igual a 180º o π rad. ada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores que no le son adyacentes, más 180º. uáles son las rectas y los puntos notables de un triángulo y cómo se hallan? Las rectas principales de un triángulo son: altura o recta perpendicular a uno de sus lados y que contiene su vértice opuesto; mediatriz o recta perpendicular a este lado que contiene su punto medio; bisectriz o recta que divide uno de los ángulos del triángulo en dos iguales: mediana o recta que pasa por el punto medio de uno de sus lados y por el vértice opuesto. Los puntos de intersección de los grupos de tres rectas anteriores se denominan, respectivamente, ortocentro, circuncentro, incentro y baricentro. Existen ciertas rectas importantes que pueden representarse a partir de los elementos de un triángulo: 1

6 Una altura de un triángulo es una recta perpendicular a uno de sus lados y que contiene su vértice opuesto. Por ejemplo, r es una altura del triángulo, ya que es perpendicular a y pasa por. La mediatriz de un lado de un triángulo, como es sabido, es una recta perpendicular a este lado, que contiene su punto medio. Por ejemplo, s es la mediatriz de, ya que es perpendicular a este segmento y pasa por su punto medio, M. Una bisectriz de un triángulo es, como es sabido, una recta que divide uno de los ángulos del triángulo en dos iguales. Por ejemplo, t es una bisectriz de, ya que es la bisectriz del ángulo ˆ. Una mediana de un triángulo es una recta que pasa por el punto medio de uno de sus lados y por el vértice opuesto. Por ejemplo, u es una mediana del triángulo, ya que pasa por y por el punto medio de, M. s r M t M Una altura, una mediatriz, una bisectriz y una mediana de un triángulo u Estas rectas cumplen estas propiedades: Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina ortocentro y se indica con la letra H. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina circuncentro y se indica con la letra O. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina incentro y se indica con la letra I. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina baricentro y se indica con la letra G. Ortocentro, circuncentro, incentro y baricentro de un triángulo 2

7 uáles son los principales tipos de triángulos? Los triángulos pueden clasificarse según sean sus ángulos; en este caso, se distinguen los triángulos obtusángulos, acutángulos y rectángulos. También pueden clasificarse según sean sus lados; en este caso, se distinguen los triángulos escalenos, isósceles y equiláteros. Los triángulos pueden clasificarse a partir de sus ángulos o de sus lados. La clasificación a partir de sus ángulos es la siguiente: Triángulo obtusángulo: aquel que tiene un ángulo obtuso. Los otros dos son ángulos agudos. Triángulo acutángulo: aquel que tiene los tres ángulos agudos. Triángulo rectángulo: aquel que tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos son complementarios. obtusángulo acutángulo rectángulo Según sean sus lados, los triángulos puede clasificarse en: Triángulo escaleno, que tiene los tres lados de longitud diferente. De la misma manera, sus tres ángulos son diferentes. Triángulo isósceles, que tiene dos lados iguales. Por lo mismo, tiene dos ángulos iguales. Triángulo equilátero, que tiene lados y ángulos iguales. En este caso, cada uno de los ángulos mide 60º. escaleno isósceles equilátero 3

8 ómo se calcula el perímetro y el área de un triángulo? El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados, y el área de un triángulo es la medida de su extensión. Para el cálculo del área de un triángulo debe multiplicarse su base por su altura y dividirse entre 2. 1 m 2 1 m 1 m El perímetro de un triángulo (y, en general, de cualquier polígono) es la suma de las longitudes de sus lados. El área de un triángulo (o de cualquier polígono) es la medida de su extensión. La unidad del SI para medir el área es el metro cuadrado y su símbolo es m 2. Esta unidad se define a partir del metro: la extensión que ocupa un metro cuadrado es igual a la de un cuadrado que tiene 1 m de lado. El sistema de unidades de área deriva del m 2, de manera que para obtener una cualquiera, se multiplica la anterior (en el cuadro, la unidad inferior) por 10 2 : Unidades Símbolo Equivale a Equivale a kilómetro cuadrado km m m 2 hectómetro cuadrado hm m m 2 decámetro cuadrado dam m m 2 metro cuadrado m 2 1 m m 2 decímetro cuadrado dm 2 0,01 m m 2 centímetro cuadrado cm 2 0,0001 m m 2 milímetro cuadrado mm 2 0, m m 2 La tabla podría extenderse hacia arriba con unidades mayores, y hacia abajo con unidades menores. Habitualmente, se utilizará la letra P para referirse al perímetro de una figura. sí, por ejemplo, si un triángulo tiene lados 7 cm, 8 cm y 9 cm, su perímetro será igual a: P = = 24 cm En general, el perímetro de un triángulo de lados a, b y c es igual a P = a + b + c Normalmente, el área de una figura se indica con la letra. Para calcular el área de cualquier triángulo debemos recurrir al cálculo del área de un triángulo rectángulo. Si se observa esta figura, se puede comprobar que el rectángulo está formado por dos triángulos rectángulos: a b El área del rectángulo es igual a ab, luego el área de cada triángulo rectángulo es igual a la mitad, es decir, el área de un triángulo es igual a: = ab/2 siendo a y b los lados que forman el ángulo recto del triángulo rectángulo. Este hecho nos permite calcular el área de cualquier triángulo, ya que siempre puede descomponerse en dos triángulos rectángulos a partir de una de sus alturas, tal como muestra la imagen: h a c 4

9 Una vez determinada la recta altura, a partir de ella, se va a calcular el área del triángulo: La base del triángulo es el lado sobre el que la recta altura cae en perpendicular. En el ejemplo, la base es la suma de a + c. Respecto a la base anterior, la altura es el segmento perpendicular que tiene un extremo en el vértice opuesto a la base, y el otro sobre esta base. En este caso, la altura es h. El área del triángulo será igual al área de los dos triángulos rectángulos marcados, es decir, ah/2 + ch/2 = (a + c)h/2 En definitiva, el área de un triángulo cualquiera puede hallarse multiplicando su base por su altura y dividiendo el resultado entre 2. En qué consiste el teorema de Pitágoras y cómo se aplica? El teorema de Pitágoras es un resultado que se aplica sobre cualquier triángulo rectángulo. Si se define la hipotenusa como el lado opuesto al ángulo recto del triángulo rectángulo, y los catetos como los otros dos lados, el teorema de Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. El triángulo rectángulo es el más importante y, seguramente, la figura plana más utilizada y estudiada a lo largo de la historia. Por todo ello, merece una atención especial. Los lados de un triángulo rectángulo reciben un nombre especial: La hipotenusa de un triángulo es el lado opuesto al ángulo recto. Los otros dos lados, que forman el ángulo recto, se denominan catetos. cateto hipotenusa cateto El teorema de Pitágoras establece una relación entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir, si c es la longitud de la hipotenusa, a y b son las longitudes de sus catetos, entonces: c 2 = a 2 + b 2 omo se ha dicho, esta fórmula se cumple para todo triángulo rectángulo y, además, a su vez, cualquier triángulo que la cumpla es un triángulo rectángulo. Por ejemplo, si un triángulo rectángulo tiene catetos que miden 3 y 4 cm, respectivamente, entonces su hipotenusa debe medir, necesariamente, 5 cm, ya que: 5 2 = Para la demostración del teorema de Pitágoras, se construye el triángulo de lados a, b y c, siendo c la hipotenusa. Se construye, posteriormente, el cuadrado de lados a + b, tal como muestra esta imagen: 5

10 El área del cuadrado mayor es igual a (a + b) 2, y es la misma que la suma del área de los 4 triángulos rectángulos (4 ab/2) más el área del cuadrado interior (c 2 ). Por lo tanto, (a + b) 2 = c 2 + 2ab ya sabemos que (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, por lo tanto, a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab en definitiva, si se resta 2bc a ambos lados: a 2 + b 2 = c 2 Es decir, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. El teorema de Pitágoras permite, pues, hallar uno de los lados de un triángulo rectángulo, siempre que se conozcan los otros dos lados. Por ejemplo, si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm, y uno de sus catetos mide 5 cm, entonces sólo falta encontrar el otro cateto sabiendo que: 13 2 = b 2 Por lo tanto, b 2 = = 121 b = 12 uándo dos triángulos son semejantes? Dos triángulos son semejantes cuando tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales. Esta definición se basa en el teorema de Tales, que estudia la relación métrica entre los puntos de intersección de tres rectas paralelas con otras dos rectas que se intersecan. En el lenguaje usual, suele decirse que dos objetos son semejantes si tienen un parecido en su forma. Este concepto es muy útil en geometría porque permite relacionar objetos diferentes. La proporción entre dos segmentos es el cociente de sus longitudes. sí, si la proporción entre y '' es 3, significa que /'' = 3 dicho de otra manera, el segmento es el triple que el segmento ''. Dos pares de segmentos se dice que son proporcionales si su proporción es idéntica. Por ejemplo, si la proporción entre y '' es igual a 3, y la proporción entre D y 'D' es igual, también, a 3, entonces la pareja, '' es proporcional a la pareja D, 'D'. D D Si dos reglas que se cortan, r y r', se intersecan con 3 rectas paralelas, tal como se muestra en la figura: r r el teorema de Tales afirma que en estas condiciones: = = ' ' ' ' ' ' 6

11 es decir, dos parejas de segmentos correspondientes cualesquiera determinados sobre r y r', son proporcionales. Este teorema tiene muchas aplicaciones en el estudio de triángulos. Una de las más importantes es ésta: si un triángulo rectángulo se corta con una paralela a uno de sus lados, como se muestra en esta ilustración: entonces, no es difícil demostrar con ayuda del teorema de Tales que = = ' ' ' ' En otras palabras, que si se corta un triángulo con una recta paralela a uno de sus lados, el triángulo original, y el creado a partir de esta intersección tienen sus lados proporcionales. demás, observamos de manera inmediata que sus ángulos son iguales. Dos triángulos que cumplan ambas condiciones, es decir: tienen todos los pares de lados proporcionales. tienen ángulos iguales se denominan triángulos semejantes. La proporción entre los lados se denomina razón de la semejanza. sí pues, para obtener un triángulo semejante a otro, sólo debemos desplazar el original, volverlo, "encogerlo" o "expandirlo". uáles son los criterios de semejanza de triángulos? Existen tres criterios de semejanza: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales; el segundo: dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales; y el tercero: dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados proporcionales, y el ángulo que forman es igual. En el caso de los triángulos rectángulos, los criterios se simplifican: el primero, dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen uno de los ángulos no rectos iguales; el segundo, dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos proporcionales, o bien, un cateto y la hipotenusa proporcionales. onocemos las condiciones que deben cumplir dos triángulos para ser semejantes. hora bien, no es necesario demostrar las dos condiciones anteriores para confirmar que dos triángulos son semejantes, basta con que se cumpla uno de estos criterios, menos exigentes: Primer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. Esto es así porque, en primer lugar, el tercer ángulo también debe ser igual. demás, si dos triángulos y tienen los ángulos iguales, siempre podrán situarse de esta manera: 7

12 Y en esta situación, ambos triángulos han de tener también los lados proporcionales. Segundo criterio: dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. De manera semejante al criterio anterior, si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales, entonces es fácil demostrar que tienen los ángulos iguales. Tercer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados proporcionales y el ángulo que forman es igual. Por ejemplo, el triángulo es semejante al triángulo ''' si = ' ' ' y, además, =. ' ' ' ' sí pues, si se cumple cualquiera de estos tres criterios, puede asegurarse que los triángulos son semejantes. En el caso del triángulo rectángulo, aún pueden simplificarse más, ya que conocemos uno de sus ángulos: riterio 1: dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen uno de los ángulos no rectos iguales. riterio 2: dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos proporcionales, o bien, un cateto y la hipotenusa proporcionales. ómo comprobar si dos triángulos son semejantes? Para aplicar correctamente los criterios de semejanza, en primer lugar, debe analizarse la información que se posee de los triángulos. continuación debe completarse, si esto es posible (por ejemplo, hallando el ángulo que falta si sólo se tienen dos ángulos de un triángulo). Finalmente, debe aplicarse aquel criterio de semejanza que utilice los datos que se tienen, probando varias combinaciones de los datos si fuese necesario. Dados dos triángulos cualesquiera, para comprobar si son semejantes, debe intentar aplicarse alguno de los criterios anteriores, según sea la información de la que se disponga. Por ejemplo, dados estos triángulos: Podemos encontrarnos con las siguientes situaciones: Se conocen dos ángulos de cada triángulo: = 100º, = 29º, ' = 100º, ' = 51º, estos triángulos son semejantes? Dado que la información de la que se tiene es únicamente sobre ángulos, debe intentar aplicarse el criterio 1; para ello se debe calcular el otro ángulo de cada triángulo. En el triángulo, el ángulo = = 51º, por lo tanto, ambos triángulos comparten dos ángulos, uno de 100º, y otro de 51º (es evidente que, aunque no se haya calculado, el último ángulo de 29º también lo comparten). sí pues, podemos afirmar que estos dos triángulos son semejantes. 8

13 Se conocen los siguientes lados: = 3 cm, = 4 cm, = 5 cm, = 8 cm, = 6 cm y = 10 cm. Son semejantes estos triángulos? Ya que sólo se conocen los lados, debe intentar aplicarse el criterio 2. Puede comprobarse cómo: = = = Por lo tanto, puede afirmarse que estos dos triángulos son semejantes, y su razón de semejanza es 2. Debe observarse que no es imprescindible que coincidan los nombres de los lados que deben ser semejantes. Por lo tanto, deben probarse las distintas combinaciones de lados hasta obtener que se cumple la relación entre los lados (siempre que se cumpla). sí, en este caso, debería expresarse de este modo: ' ' ' ' ' ' = = Se conocen los siguientes datos: = 3 cm, = 5 cm, = 6 cm y = 10 cm, además, = 29º, ' = 29º. Son semejantes estos triángulos? En este caso, puede aplicarse el criterio 3, ya que se tienen dos pares de lados y dos ángulos. Es evidente que los lados son proporcionales y el ángulo contiguo a estos lados es igual en ambos triángulos. Por lo tanto, los triángulos deben ser semejantes. 9

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