VALOR ABSOLUTO Y ENTORNOS

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Lorenzo Díaz Ríos
hace 7 años
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1 VALOR ABSOLUTO Y ENTORNOS Valor absoluto Se define el valor absoluto de un número real como el número dado, si éste es positivo, o su opuesto en caso de ser estrictamente negativo. Es decir: si si Ejemplos: =. Aplicando la definicin a sería =. Como es mayor o igual que cero, la definicin nos dice que = =. =. De igual forma, =. Al ser, se tiene que = =. 9 = 9, porque = 9 <, por lo que, según la definicin se tendrá: = 9 = ( 9) = 9. Propiedades ) ) = = ) = ) = y = y = y ) = y = y = y (debe ser y ) 6) d(, y) = y = y lo que quiere decir que la distancia que separa a de y es igual que la diferencia de ambos números, tomada en valor absoluto. ) y = y 8), siempre que y y y 9) y (siendo y ) y y Las dos desigualdades y, y, se verifican simultáneamente. La propiedad es cierta, también, si las desigualdades son estrictas (< en lugar de ). ) y (siendo y ) y y Análoga, si las desigualdades son estrictas. ) = y = y ) = ) ) Desigualdad triangular: + y + y ) y y 6) y y. Análoga si las desigualdades son estrictas. Entornos Se define el entorno de centro a y radio r >, y se utiliza la notacin: E(a, r), como el conjunto de todos los números que están a una distancia de a inferior a r. Es decir: a r r a r a + r E(a, r) = { R / d(, a) < r } d(a, ) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

9 = 9, porque = 9 <, por lo que, según la definicin se tendrá: = 9 = ( 9) = 9.

2 Según el gráfico, puede estar en cualquier lugar del intervalo coloreado. Por tanto, dicha zona es el entorno de centro a y radio r. Por las propiedades 6 de valor absoluto se tiene que: d(, a) < r a < r. Por tanto, una definicin equivalente de entorno es: E(a, r) = { R / a < r } Pero la propiedad 9 de valor absoluto nos lleva a que: a < r r < a < r Si sumamos a en las tres posiciones de estas desigualdades, la epresin resulta ser equivalente a: a r < < a + r Por tanto, una tercera definicin equivalente es: E(a, r) = { R / a r < < a + r } = (a r, a + r) Es decir, hemos encontrado que el entorno de centro a y radio r es lo mismo que el intervalo abierto (a r, a + r). Se define el entorno reducido de centro a y radio r como E(a, r) ecluido el centro a. La notacin que se emplea es E*(a, r). Es decir: E*(a, r) = E(a, r) {a} Podríamos epresarlo como unin de dos intervalos abiertos: E*(a, r) = (a r, a) (a, a + r) Problemas ) Resolver: = Por la propiedad, esto sucede si, y slo si: Tiene, por tanto, dos soluciones posibles: /. ) Resolver: = + 6 Por la propiedad, esto equivale a: 6 ( 6) Dos soluciones: / /. ) Resolver: = Por la propiedad, la ecuacin equivale a: = = = Dos soluciones:. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

Por tanto, una definicin equivalente de entorno es: E(a, r) = { R / a < r } Pero la propiedad 9 de valor absoluto nos lleva a que: a < r r < a < r Si sumamos a en las tres posiciones de estas

3 IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de ) Resolver: + = Aplicando la propiedad, es equivalente a: Imposible ) ( / Luego tiene una única solucin: = /, porque la segunda igualdad no es cierta para ningún valor de. ) Resolver: = Aplicamos reiteradamente la propiedad : = 6 8 Hay cuatro soluciones posibles:,,,. 6) Resolver: = (dificultad alta) Procedemos de forma análoga al problema anterior: = Resolvemos cada una de estas ecuaciones por separado. Cuando nos surge una ecuacin donde la incgnita aparece dentro y fuera del valor absoluto, hay que comprobar la validez de las soluciones en la ecuacin original. = + / ) ( = / ) ( Al comprobar la validez de las distintas soluciones, obtenemos que = no nos sirve. Por tanto, las soluciones son:, / /. ) Epresar en forma de intervalo E(, ) E(, ) = (, + ) = (, ) 8) Epresar en forma de intervalo o uniones de intervalos: E*(.,.) E*(.,.) = (..,.) (.,. +.) = (.,.) (.,.)

) Resolver: = Aplicamos reiteradamente la propiedad : = 6 8 Hay cuatro soluciones posibles:,,,.

4 9) Epresar en forma de entorno el intervalo abierto (.,.) El centro será el punto medio entre los etremos del intervalo, que obtenemos sumando ambos números y dividiendo entre :...9 El radio será la distancia desde el centro que hemos obtenido a alguno de los dos etremos. Por la propiedad 6 de valor absoluto, valdrá: d(.9,.) =.9. =.9 Luego: (.,.) = E(.9,.9) ) Epresar en forma de intervalo y de entorno el conjunto { R / + < } Por la propiedad 6: + = d(, ) Por tanto, y recurriendo a la definicin de entorno: { R / + < } = { R / d(, ) < } = = E(, ) = (, + ) = (, ) ) Resolver la inecuacin < Por la propiedad 9 de valor absoluto, esto sucede si, y slo si: < < y < < 9 9 Luego las soluciones son todos y cada uno de los puntos del intervalo abierto (, 9) ) Resolver la inecuacin: Según la propiedad de valor absoluto, esto sucederá cuando, y solamente cuando: 8 Lo que sucede cuando (, ] [, +) ) Resolver la inecuacin: > 6 (dificultad alta) Aplicamos, nuevamente, la propiedad, obteniendo: 6 / (6 ) 6 Pero en este tipo de inecuaciones hay una posibilidad adicional: Si 6 <, con toda seguridad el valor absoluto de va a ser mayor que él, puesto que el valor absoluto siempre produce resultados mayores o iguales que. Y eso sucede cuando: 6 < 6 < < / Las tres condiciones obtenidas son: < / < < /. Al dibujarlas, vemos que suceden a la vez se < /. Pero a nosotros nos interesa que se / / IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

5 cumpla alguna de las tres (están relacionadas mediante ""). Y eso sucede si <. Ésta es, pues, la solucin final: < (, ). ) Resolver la inecuacin: + + < (dificultad alta) Empleamos la propiedad 6 de valores absolutos. El segundo miembro no es un valor absoluto. Pero = : puede aplicarse. Al desarrollar, también usaremos las propiedades y : ( + + ) < ( + ) < ( + ) + < < + < + < + + < + / Por la propiedad 9, esto equivale a: / / y / /, que secumple Nos hemos quedado con la inecuacin + / <. Como la ecuacin + / = tiene como soluciones / y /, la parábola y = + / corta al eje OX en dichos valores. Teniendo en cuenta su forma convea (ver gráfico), la solucin de esta inecuacin y, por tanto, la de la inecuacin inicial, son los valores de que hacen que y = + / <. Y estos son los que hacen que la curva quede bajo el eje OX, pues para ellos será y negativo: ( /, /) ) Resolver la inecuacin: + (dificultad alta) La resolucin es similar a la del ejercicio anterior, empleando la propiedad 6 para deshacerse de los valores absolutos: + ( ) ( + ) Para buscar los valores de que hacen positivo o nulo el resultado de , llamamos y = y representamos gráficamente la parábola correspondiente. Teniendo slo en cuenta que la parábola es convea (pues el coeficiente de es positivo: ) y que corta al eje OX en: la gráfica es la adjunta. Por tanto, los valores buscados, que hacen que y quede por encima del eje OX o tocando a dicho eje (para que y ) son: (, 8] [ /, +) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

Al desarrollar, también usaremos las propiedades y : ( + + ) < ( + ) + + + < + + + ( + ) + < + + + + < + < + < + + < + / Por la propiedad 9, esto equivale a: / / y / /, que secumple Nos hemos quedado

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