ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES

Transcripción

1 ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES Ejercicio. a) Halle los valores de m para los que la ecuación de segundo grado 8 m 7 m no tiene solución real. b) Resuelva la siguiente inecuación indicando claramente con intervalos sus soluciones: 8 m 7 m es equivalente a la ecuación a) La ecuación de segundo grado 8 m m 7 0, por lo que, según la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado, para que no tenga solución, debe ocurrir que m 8 m 7 eista, es decir, que m m Operando, la inecuación queda del siguiente modo: m 3m5 0 Factorizando el polinomio, obtenemos: m 9 m5 0 no Como m90 m 9 m 5 0 m 5, está claro que ambos factores son positivos para m 5 ambos son negativos para m 9, por lo que para que el producto sea negativo, es decir, para que ambos factores sean de distinto signo, debe ocurrir que 9m 5 (las desigualdades son estrictas puesto que no se puede dar que el producto sea igual a cero). m 9, 5. Luego para que no tenga solución la ecuación propuesta debe ocurrir que b) Para resolver esta inecuación, debemos hacer un miembro igual a cero, por lo que sumamos a los dos miembros de la desigualdad, quedándonos la siguiente inecuación: Tenemos entonces que analizar cuándo es positivo negativo cada factor del numerador del denominador: Trasladando esta información a la siguiente tabla: 6 6 6

2 6 Además, es cero sólo si 6 0, es decir, sólo si 6 esto, junto con la tabla anterior, nos da las siguientes soluciones de la inecuación:, 6, Ejercicio. Resuelva las siguientes ecuaciones indicando con claridad cuáles son sus soluciones: a) b) c) e e 73 a), por lo que, Haciendo t, obtenemos la ecuación t t. Sumando - a ambos miembros, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado: t t 0 que, completando cuadrados, se obtiene que es equivalente a la ecuación de donde se deducen las dos soluciones de la ecuación: t o 7 t. 5 t 0, 6 7 Es decir, o. Como 0, la segunda posibilidad indicada es imposible. Luego la única solución de la ecuación inicial es: log 3 b) Si sumamos a los dos miembros de la igualdad, obtenemos la siguiente ecuación equivalente: 3 0 Factorizando el primer miembro, la ecuación queda: 0 de donde, obviamente, las soluciones son 0 o o o. c) Multiplicando por e los dos miembros de la igualdad, obtenemos: 9 9 e e e e 73 e e log 73 ln ln 73 9 ln 73. de donde e e e Ejercicio 3. Resuelva los sistemas siguientes indicando sus soluciones: log 3log 5 a) 3 b) log 3

3 3 c) d) a) Despejando en la primera ecuación del sistema, obtenemos: 3 sustituendo en la segunda ecuación, tenemos: Si tenemos que 3, sustituendo en la segunda ecuación del sistema (al tener radicales debemos comprobar si la solución es válida), obtenemos que , por lo que, es una solución del sistema. Si tenemos que 3, pero sustituendo en la segunda ecuación, obtenemos que 3 3, que es una igualdad falsa, por lo que este par de valores no son una solución del sistema. Luego la solución única es,. log 3log 5 log b) Tenemos que Además log 3 Sustituendo en la anterior ecuación, obtenemos Como 3, entonces 3. Como ambos valores son positivos, entonces todos los logaritmos del sistema eisten (puesto que en tal caso, tanto, como, como, tienen valores positivos), basta sustituir para ver que, es solución del sistema. c) Debemos resolver ambas inecuaciones por separado, los valores de válidos para que se verifique el sistema serán aquellos valores comunes de entre las soluciones de una otra inecuación, es decir, deberemos tomar como conjunto de soluciones del sistema la intersección de los conjuntos de soluciones de cada inecuación. Resolvamos entonces las dos inecuaciones del sistema: Por tanto, debe ocurrir que 0,0 d), es decir, que Realizando las sustituciones t 3 s 7, obtenemos el siguiente sistema:.

4 CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN Departamento de Matemáticas I.E.S. Salduba t s t3s336 7t3s336 7t3s336 t63s3060 7ts0 s756 t7s De la segunda ecuación obtenemos s 9, sustituendo en la primera ecuación, obtenemos que 7t t 89 t 7. Por tanto: 3 t 7 log s 9 log7 9 Es decir, la solución del sistema es 3,. Ejercicio. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: z 0 z a) 3 z 0 b) 5 3z 3z 0 z a) Vamos a resolverlo matricialmente, indicando las transformaciones en sistemas equivalentes entre las matrices que vamos obteniendo: EE EEE E3E3E E3E3E Finalmente nos quedan dos ecuaciones con tres incógnitas, por lo que el sistema es compatible indeterminado, con grado de libertad igual a. Si le damos esa libertad a la incógnita z, es decir, si hacemos z para cualquier, obtenemos: , de donde las infinitas soluciones del sistema son: 7 5,, z / b) Este sistema lo vamos a resolver del mismo modo que el anterior: E3E EE5E 0 0 Finca El Arquillo, s/n 9670 San Pedro de Alcántara

5 0 3 E3 E3 E3E3E 0 0 Al quedarnos un sistema triangular con tres ecuaciones tres incógnitas, el sistema es compatible determinado. De la tercera ecuación, se obtiene que z z. Sustituendo en la segunda ecuación, obtenemos: Finalmente, sustituendo en la primera ecuación, hallamos el valor de : Por tanto la solución única del sistema es,, z. Ejercicio 5. Un técnico informático espera obtener 360 euros por la reparación de varios equipos. El técnico se de cuenta de que cuatro ordenadores no tienen posible reparación, para obtener el mismo beneficio, aumenta en.50 euros el precio que va a cobrar por un equipo reparado. Cuántos ordenadores tenía al principio? A qué precio cobrará finalmente cada reparación? Si llamamos e al número de equipos que tenía al principio p al precio que inicialmente iba a cobrar por la reparación de cada uno de ellos, sabemos que: e p 360 Posteriormente, decide reparar e equipos a un precio cada uno de ellos de p.5, obteniendo el mismo beneficio total, es decir: e p Por tanto a tenemos un sistema de dos ecuaciones en el que intervienen las dos incógnitas: ep360 ep.5360 Resolvamos entonces el sistema: ep360 ep 360 ep.5360 ep p.5e Sustituendo ep por 360 en la segunda ecuación despejando p, obtenemos:.5e p.5e8 360 p.5e8 p Sustituendo ahora en la primera ecuación, obtenemos:.5e 8 e 360.5e 8e 0 0 9e 36e e e 30 0 Resolviendo esta ecuación de segundo grado, obtenemos: e 6 o e 0

6 Como la primera solución no es válida para la definición de e (que debe ser un número natural), entonces e 0 es la única solución posible para nuestro problema Entonces p 8 p.5.5. Luego inicialmente había que reparar 0 ordenadores, de los que puede reparar sólo 6, a un precio estos últimos de.50 euros. Ejercicio 6. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 7 36 cm, respectivamente. Con centro en los vértices del triángulo, se trazan tres circunferencias de forma que son tangentes eteriores dos a dos, tal como aparece en la figura. Calcule los radios de las tres circunferencias. De los datos del problema se puede deducir sin dificultad la hipotenusa del triángulo, haciendo uso del Teorema de Pitágoras: h h 5. Si llamamos r al radio de la circunferencia cuo centro está en el vértice opuesto a la hipotenusa, r al radio de la circunferencia con centro en el otro etremo del cateto menor,, finalmente, r 3 al radio de la circunferencia con centro en el otro etremo del cateto maor, sabemos que cada lado es la suma de dos radios, tal como los hemos nombrado, tenemos entonces lo siguiente: rr 7 r 7 r rr r r3 36 r r3 5 r r3 5 (habiendo despejado r en la primera ecuación sustituendo en la segunda). Sumando las dos últimas ecuaciones, obtenemos: 7 r 8r 5 r Sustituendo en la tercera ecuación este valor de r 3, hallamos r : r 7 5 r 8 Finalmente, sustituendo en la primera ecuación, obtenemos que r Por tanto, los radios de las circunferencias son, respectivamente, de 9 m, 8 m 7 m.