Apellidos: Nombre: 3. Utiliza las propiedades de los logaritmos para hallar el valor de la expresión y de la incógnita. a) [0,75 puntos] log 8

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1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS NÚMEROS Y ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: B1ºC Día: 6 - X- 16 CURSO TEMA 1 - NÚMEROS 1. [1,5 puntos] Expresa los siguientes intervalos y semirrectas en lenguaje natural, como intervalo e inecuación. a) b) c) d) e). Opera, racionaliza y simplifica (elige apartados a o b y c o d): a) [0,75 puntos] b) [0,75 puntos] c) [0,50 puntos] d) [0,50 puntos].. Utiliza las propiedades de los logaritmos para hallar el valor de la expresión y de la incógnita. a) [0,75 puntos] log 8 = x b) [0,50 puntos].10-5 = -50x. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50%. Si en el momento inicial había 100 conejos: a) [0,50 puntos] Cuántos habrá al cabo de 10 años? b) [0,50 puntos] Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 0000? c) [0,5 puntos] Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al 10%, cuánto tiempo tardaría la población inicial en triplicarse? TEMA - ECUACIONES 5. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas: a) [0,75 puntos] x = x b) [0,50 puntos] log(-5x)+ log(x-) = log(x-x )+1 6. [1,5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones: { x + 7 y = 16 x 1 7 y+ = 0 7. [1,5 puntos] Resuelve la inecuación: 5x x [1,5 puntos] Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6 por el total de las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invitan, debiendo aumentar su aportación en 0,80 cada uno. Cuántos amigos son?

2 TEMA 1 - NÚMEROS 1. Expresa los siguientes intervalos y semirrectas en lenguaje natural, como intervalo e inecuación. a) b) c) d) e) a) Números entre 1 y. Es el intervalo (1, ) = {x/ 1 < x } b) Números entre 1 y 5 ambos incluidos. Es el intervalo [1, 5] = {x/ 1 x 5} d) Números menores que -. Es la semirrecta (-, -] = {x/ x -} b) Números menores que -1 y mayores que. Es la unión de semirrectas (-, -1) [, + ) = {x/ x<-1} {x/ x } e) Números cuyo cuadrado es menor que. Es el intervalo (0, ) = {x/ x }. Opera, racionaliza y simplifica: a) b) c). d) a) Descomponemos en factores primos, sacamos fuera del radical las potencias y efectuamos factor común de los radicales semejantes. a) = = = 10 = b) Reducimos a común índice y aplicamos las propiedades de los radicales para obtener un único radical = = a6 a 9.a 8 1 = a6 a 17 1 = 1 a 11 = c) Racionalizamos multiplicando numerador y denominador por el radical necesario para eliminar el radical del denominador... = =. 6 = d) Racionalizamos multiplicando numerador y denominador por la conjugada del denominador de forma que eliminemos el radical del denominador. =.(+ ) ( )(+ ) =.+() () = =.+5 1 a. Utiliza las propiedades de los logaritmos para hallar el valor de la expresión y de la incógnita. a) log 8 = x b).10-5 = -50x a) Aplicando la definición del logaritmo y las propiedades de las potencias obtenemos: log 8 = x ( 8) x = ( x ) = x = Al tener ambas potencias la misma base han de ser iguales los exponentes: x = x = 1

3 a) Aplicando la definición del logaritmo relativas a los cocientes, potencias y raíces y tomando log a como factor común obtenemos x = 000 = log 0 log x.log = log (0) x = log =,77 b) Tomamos logaritmos en ambos términos, obteniendo: log(.10-5 ) = log( -50x ) Aplicando las propiedades de las potencias y productos de logaritmos: log() + log(10-5 ) = -50x.log() log() - 5 = -50x.log() Despejando x en la expresión y efectuando las operaciones necesarias: x = log() 5 50.log() = 0,. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50%. Si en el momento inicial había 100: a) Cuántos habrá al cabo de 10 años? b) Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 0000? c) Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al 10%, cuánto tiempo tardaría la población inicial en triplicarse? a) Como la población de conejos sigue la fórmula P(t) = P0.1,5 t al cabo de 10 años: P(10) = 100.1,5 10 = 5766,5 Habrá 5766 conejos b) Para calcular el tiempo que debe transcurrir aplicamos la fórmula anterior y despejamos: = 100.1,5 t 00 = 1,5 t Tomamos logaritmos en ambos términos y despejamos t en la expresión obtenida: log(00) = t.log(1,5) t = log(00) = 1,06 años log(1,5) c) Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al 10% la fórmula que da el crecimiento de la población sería P(t) = P0.1,1 t. Si la población se triplica queda la expresión: 00 = 100.1,1 t = 1,1 t Tomando logaritmos y despejando hallamos cuánto tiempo tardaría la población inicial en triplicarse: t = log(00) = 11,5 años log(1,5) TEMA - ECUACIONES 5. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas: a) x = x b) log(-5x)+ log(x-) = log(x-x )+1 a) Se despeja el radical dejándolo en el primer miembro: x 1 = x 1 Se elevan ambos miembros al cubo para eliminar radicales: ( x 1 ) = (x 1) x -1 = (x-1) Lo pasamos todo al primer miembro y aplicamos la igual notable de diferencia de cuadrados para sacar factor común (x-1): x -1 - (x-1) = 0 (x-1)(x+1) - (x-1) = 0 (x-1)[(x+1)-(x-1) ] = 0 Desarrollamos y simplificamos la expresión del corchete: (x-1)[x+1-(x -x+1)] = 0 (x-1).(-x +x) = 0 Sacando nuevamente factor común queda la expresión: -x.(x-1).(x-) = 0

4 Luego las soluciones son: x1 = 0, x = 1, x =. Todas son soluciones válidas, ya que es una raíz de índice impar. b) Tomando 1 = log 10 y aplicando que el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos: log[(-5x).(x-)] = log[10.(x-x )] Eliminado logaritmos en ambas expresiones y efectuando los productos indicados: (-5x).(x-) = 10.(x-x ) 8x-8-10x +10x = 0x-10x Pasando todos los sumando al primer miembro de la igualdad y efectuando las operaciones: -x -8 = 0 x = - Solución falsa ya que no existe log(-10). La ecuación no tiene solución. 6. Resuelve el sistema de ecuaciones : { x + 7 y = 16 x 1 7 y+ = 0 Aplicando las propiedades de las potencias queda el sistema: x + 7 y = 16 { x 9.7y = 0 Restando de la 1ª ecuación la ª multiplicada por y despejando en la expresión obtenida e Igualando exponentes ya que ambas potencias tiene la misma base: 18.7 y = y = = 7 y = 1 Despejando x en la 1ª ecuación y aplicando las propiedades de las potencias: x +7 = 16 x = 9 x = x = Quda x =, y = 1 que es una solución válida. 7. Resuelve la inecuación: 5x x+1 0 Resolvemos la inecuación averiguando cuando es negativo el cociente dado: { 5x 0 x o {5x 0 x Para resolverlos debemos hallar las soluciones de cada inecuación por separado. La solución de cada sistema es la intersección de las soluciones. { 5x 0 x (, 5 ] [ 1, ) Es decir el intervalo [ 1, 5 ] { 5x 0 x [ 5, ) (, 1 ] Es decir el intervalo [ 1, 5 ]. Por lo tanto la solución completa es la unión de las soluciones de los dos sistemas, salvo x = - 1, valor que anula el denominador: [ 1, ] [ 1, ] { 1 } 5 5 Luego la solución es el intervalo semiabierto: ( 1, ] 5

5 8. Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6 por el total de las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invitan, debiendo aumentar su aportación en 0,80 cada uno. Cuántos amigos son? Sea x el número de amigos, por lo tanto cada uno debe pagar 6 x (x ). ( 6 x + 0,8) = 6 euros. Como sólo pagan x-: Efectuando el producto indicado y despejando en la expresión obtenida: 6 + 0,8x 1 x 1,6 = 6 6x + 0,80x 1 1,6x = 6x 0,80x 1,6x 1 = 0 x x 15 = 0 Se resuelve la ecuación anterior: x = ± +60 = ±8 = { 5 Las soluciones son: x1 = - (que no sirve) y x = 5. El número de amigos es 5. 5