Clase 6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Transcripción

1 Clase 6 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2014

2 Función exponencial Recuerde que el gráfico de f(x) = a x, con a > 0 está dado por f(x) = a x con a > 1 f(x) = a x, con 0 < a < y = a x y = a x Observación La función exponencial es una función inyectiva, esto es, a x = a y x = y

3 Problema 1: Resuelva la ecuación 3 x2 5 = 81.

4 Problema 1: Resuelva la ecuación 3 x2 5 = 81. Solución: 3 x2 5 = 81 3 x2 5 = 3 4 x 2 5 = 4 x 2 = 9 x = ±3, por tanto, la solución es x = ±3.

5 Problema 2: Resuelva la ecuación 3x b 2x+3 = 1, indicando las restricciones de b.

6 Problema 2: Resuelva la ecuación 3x b 2x+3 = 1, indicando las restricciones de b. Solución: 3x b 2x+3 = 1 3x b 2x+3 = b 0, con b 0 b 2x+3 3x = b 0 2x+3 = 0. 3x Si x 0, entonces 2x+3 = 0, o bien, x = 3/2.

7 Problema 3: Resuelva la ecuación 2 x 5 x+1 = 0,5 10 8

8 Problema 3: Resuelva la ecuación Solución: por tanto, x = 7. 2 x 5 x+1 = 0, x 5 x 5 = x = x = 10 7 x = 7,

9 Problema 4: Resuelva la ecuación usando la variable auxiliar u = 3 x. 3 x +3 x+1 +3 x+2 = 39

10 Problema 4: Resuelva la ecuación usando la variable auxiliar u = 3 x. Solución: Por propiedades de potencias, Sea u = 3 x, entonces, 3 x +3 x+1 +3 x+2 = 39 3 x +3 3 x x = 39. u+3u+9u = 39 13u = 39 u = 3, volviendo a la variable original, tenemos 3 x = 3, de donde x = 1.

11 Problema 5: Resuelva la ecuación ( 1 9) 7x x x+1 = 1

12 Problema 5: Resuelva la ecuación ( 1 9) 7x x x+1 = 1 Solución: ( 3 2 ) 7x x+21 = ( 3 3) 2x x x+21 = 3 6x+3 4x+23 = 6x+3 2x = 20 x = 10.

13 Problema 5: Resuelva la ecuación ( 1 9) 7x x x+1 = 1 Solución: ( 3 2 ) 7x x+21 = ( 3 3) 2x x x+21 = 3 6x+3 4x+23 = 6x+3 2x = 20 x = 10. Observación Qué sucede si se utiliza 3 0 = 1 inicialmente?.

14 Problema 6: Resuelva la ecuación 10 x 5 x+6 = 2

15 Problema 6: Resuelva la ecuación Solución: 10 x 5 x+6 = 2 2 x 5 x 5 x+6 = 2 5 2x+6 = 2 1 x, aplicando logaritmo en base 10 a la igualdad, tenemos: (2x+6)log5 = (1 x)log2 2xlog5+6log5 = log2 xlog2 x(2log5+log2) = log2 6log5 x = log2 6log5 2log5+log2

16 Gráfico de la función logaritmo Recuerde que el gráfico de f(x) = logx está dado por: y = log(x)

17 Gráfico de la función logaritmo Recuerde que el gráfico de f(x) = logx está dado por: y = log(x) Observación La función logaritmo en base a es una función inyectiva, esto es, log a (x) = log a (y) x = y

18 Problema 1: Resuelva la ecuación ( ) x 3 log = 1 x 1

19 Problema 1: Resuelva la ecuación ( ) x 3 log = 1 x 1 Solución: Para x (,1) (3, ) ( ) x 3 log = 1log10 x 1 x 3 x 1 = (x 3) = x 1 10x 30 = x 1 9x = 29 x = 29 9

20 Problema 1: Resuelva la ecuación ( ) x 3 log = 1 x 1 Solución: Para x (,1) (3, ) ( ) x 3 log = 1log10 x 1 x 3 x 1 = (x 3) = x 1 10x 30 = x 1 9x = 29 x = 29 9 Observación Compruebe que x = 29 9 es la solución de la ecuación original.

21 Problema 2: Resuelva la ecuación log(x 2 1) log(x+1) = 2

22 Problema 2: Resuelva la ecuación Solución: Para x > 1, de aquí, x = 1 o x = 101. log(x 2 1) log(x+1) = 2 log ( ) x 2 1 = 2log10 x+1 x 2 1 x+1 = 102 x 2 1 = 100x+100 x 2 100x 101 = 0 (x 101)(x+1) = 0,

23 Sobre del ejercicio anterior Observación Al reemplazar los valores obtenidos de x, tenemos que x = 101 es una solución, mientras que x = 1 no lo es.

24 Problema 3: Resolver la ecuación log(x+4) = log12 logx

25 Problema 3: Resolver la ecuación log(x+4) = log12 logx Solución: Para x > 0, log(x+4) = log x+4 = 12 x x 2 +4x 12 = 0 (x+6)(x 2) = 0, ( ) 12 x de aquí, x = 6 o x = 2. Compruebe si estos valores son efectivamente soluciones del problema original.

26 Problema 4: Resolver la ecuación 2log a x+2 3loga 3 x+log a x = 1, suponiendo que x es mayor que cero e indicando las restricciones de a para que x sea una solución válida.

27 Problema 4: Resolver la ecuación 2log a x+2 3loga 3 x+log a x = 1, suponiendo que x es mayor que cero e indicando las restricciones de a para que x sea una solución válida. Solución: log a ( x+2 ) 2 loga ( 3 x) 3 +log a x = 1 log a (x+2) = log a a x+2 = a Para que x sea solución, a debe ser mayor que dos. x = a 2.