Logaritmos

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Logaritmos"

Samuel Ríos Navarrete
hace 7 años
Vistas:

1 Logaritmos Logaritmos José de Jesús Angel Angel MathCon c

2 Contenido 1. Logaritmos 1.1. Definición Ejemplos Hallar los logaritmos base de los siguientes números Ejercicios Reglas del los logaritmos Logaritmación Ejercicios Logaritmo y potenciación Cambio de base Ecuaciones Exponenciales Ejercicios Aplicaciones comunes

3 Capítulo 1 Logaritmos 1.1. Definición. Seana,x R y1 b > 0 tales que: a = b x Entonces decimos que: x = log b a 1.. Ejemplos. 1. Como 5 3 = 15, entonces log 5 15 = 3.. Como 5 = 3, entonces log 3 = Como 10 3 = 0,001, entonces log 10 0,001 = 3. ( ) Como = 1 104, entonces log 1 1/ 104 = 10. ( ) 1/ 1 5. Como = 1 1, entonces log 1/ = 1/. 6. Silog = 5, entonces 10 5 = Silog 3 81 = 4, entonces 3 4 = 81.

4 1.3. Hallar los logaritmos base de los siguientes números Silog = 4, entonces 3 4 = Silog 10 0,01 =, entonces10 = 0,01. ( ) Silog 4 = 3, entonces = Hallar los logaritmos base de los siguientes números. 1. De 3, como 5 = 3, entonces log 3 = 5.. De 1, como 1 = 1, entonces log 1 = De, como 1/ =, entonces log = 1/. 4. De 1/, como 1/ = 1/, entonces log 1/ = 1/. 5. De 3 4, como 3 4 = 3 = /3, entonces log 3 4 = / Ejercicios. Hallar los logaritmos base 10 de los siguientes números. 1. De De 0, De De Encontrar el valor de la incógnita: 5. x = log y = log 5 0,04 7. log 1/ n = 3 8. log 8 z = 9. log 3/ u =

5 1.5. Reglas del los logaritmos Reglas del los logaritmos. Logaritmo de un producto = suma de logaritmos: log b (xy) = log b x+log b y Logaritmo de un cociente = resta de logaritmos: log b ( x y ) = log b x log b y Logaritmo de una potencia = baja la potencia: log b (x y ) = ylog b x 1.6. Logaritmación. 1. y = a 3 b, log(y) = log(a 3 )+log(b ), log(y) = 3 log(a) + log(b). aplicando logaritmo. bajando potencias.

6 1.7. Ejercicios. 5. y = ab, log(y) = log(ab) 1/, log(y) = (1/) log(ab), log(y) = (1/)(log(a) + log(b)), aplicando logaritmo. bajando potencias. logaritmo del producto. 3 ac 3. x = (a+b), log(x) = log( 3 ac) log(a+b), aplicando logaritmo del cociente. log(x) = (1/3)(log(a) + log(c)) log(a + b), bajando potencias. 1 b 4. y = n ab a, ( ( log(y) = 1 )) 1 b log, baja potencia. n ab a ( log(y) = 1 ( ) ( )) 1 b log +log, logaritmo del producto. n ab a log(y) = 1 ( ( )) b log(1) log(ab)+1/log n a log(y) = 1 n (0 (log(a)+log(b))+1/(log(b) log(a))) log(y) = 1 n ( log(a) log(b)+1/log(b) 1/log(a)) log(y) = 1 n ( 3/log(a) 1/log(b)) 4a ab 5. y = 5b 3 a b, log(y) = 1 ( ( log 4a ) ( ab log 5b 3 )) a b log(y) = 1 (log(4a)+1/(log(a)+log(b)) log(5b) 1/3(log(a)+log(b))) log(y) = 1/log(4a)+1/4log(a)+1/4log(b) 1/log(5b) 1/3log(a) 1/6 log(b) log(y) = 1/log(4a) 1/1log(a) 1/1log(b) 1/log(5b) 1.7. Ejercicios. Aplicar logaritmo a las siguientes expresiones. 1. y = a 4 ab 3 b 3 bc

7 1.8. Logaritmo y potenciación y = y = 1 a b c 4. y = n m p b 5. y = m a n+1 n b p Encontrar el valor de la incógnita: 6. logx = log5 log+log3. 7. logu = 1 3 log(a+b) [loga+log(b+c)] 8. logy = 1 5 [3log(a b)+log(a+b) 4loga] 9. logy = 1 3 [loga+1/4(loga+3logc)] [logb+3log(c+a) log(b+1)] 1.8. Logaritmo y potenciación. La operación potencia es la inversa del logaritmo: Entonces: x = log b a b x = b logba = a 1.9. Cambio de base.

8 1.10. Ecuaciones Exponenciales. 7 Fórmula para el cambio de base: log b a = log ca log c b Ecuaciones Exponenciales. 1. x = x, 1/x = x, la raíz como exponente. 1 x = x, se aplica log. 1 = x, se despeja x. x = ±1. ( ) x x =, 7 ( ) 3x ( ) x =, se descomponen las potencias ( ) 6x ( ) 3x =, 3 3 se aplican reglas de potencia. 6x = 3x+9, se aplican logatirmo base 1/3. x = 3, se despeja x x = 9, x 3 x+1 3 x +18 = 9 3 x, se multiplica por 3 x. 3 3 x 9 3 x +18 = 0, se aplican reglas de exponentes. y = 3 x, se hace un cambio de variable. 3y 9y +18 = 0, se obtiene una cuadrática. y = 3,y = 9 Siy = 3, 3 = 3x. Entonces x = log 3 3. Siy = 9,9 = 3 x, 3 = 3 x. Entonces x =. se resuelve la cuadrática.

9 1.11. Ejercicios Ejercicios. Resolver las siguientes ecuaciones. 1. x x 7x+1 = 1. x 16 = 4 x x = 1 ( ) 0,8x 5 4. = x+3 = 3 x x = 7 7. lnx = 1+ln(x+1) 8. log(x 3 ) = (logx) 3 Despejar a x: 9. y = 10x +10 x. 10. y = 10x 10 x 11. y = 10x 10 x 10 x +10 x 1. y = ex e x 1.1. Aplicaciones comunes. 1. Decaimiento exponencial: algunos materiales radiactivos se desintegran respecto a la siguiente fórmula. N(t) = N 0 e λt

10 1.1. Aplicaciones comunes. 9 Donde P 0 es la cantidad inicial (en t = 0), λ es la constante de desintegración radiactiva, t es el tiempo. Así también τ = 1/λ, es el promedio de vida de un material radiactivo.. Crecimiento de población: el crecimiento de ciertas poblaciones se comportan por medio de una fórmula exponencial. P(t) = P 0 e kt DondeP 0 es la la población inicial (ent = 0),k es el promedio de crecimiento anual,tes el tiempo. 3. Intéres compuesto: el crecimiento de capital inicial C 0 que se invierte a una tasai, ennperíodos esta dado por; C = C 0 (1+i) n 4. Depreciación: para calcular el tiemponpara que un objeto de valor C llegue a tener un valor V, donde el objeto tiene una esperanza de vidan, se obtiene con la fórmula: logv logc n = ( log 1 ) N 5. Comparación de terremotos: La magnitud R en la escala de Richter de un terremoto se obtiene con la fórmula: ( a R = log +B T) Donde a es la magnitud del movimiento vertical, T es el periódo de la onda sísmica yb es el debilitamiento de la onda sísmica con el aumento de la distancia con respecto al centro del terremoto. Si un terremoto tiene R = 7,9 y otro 5,9, se puede mostrar que el primero es 100 veces más fuerte que el segundo. 6. Ley de enfriamiento de Newton: un objeto que esta caliente se enfriará debido al medio ambiente, la temparatura T del objeto en el tiempotse obtiene mediante la fórmula: T = T m +(T 0 T m )e kt DondeT m es la temperatura del medio,t 0 es la temparatura inicial del objeto,k constante de enfriamiento.

Documentos relacionados

Apuntes. Resumen de definiciones. José de Jesús Angel Angel

Apuntes. Resumen de definiciones. José de Jesús Angel Angel Apuntes Resumen de definiciones www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-015 Contenido 1. Expresiones Algebraícas 3 1.1. Conjuntos de Números.................................