TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II

Transcripción

1 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO.Hallalapendiente,laordenadaenelorigenylospuntosdecorteconlosejesde coordenadasdelarecta 5x 6y+=0.Represéntalagráficamente. Para calcular la pendiente, despejamos la y: 5 5 5x 6y+ = 0 6y= 5x+ y= x+ y= x Laordenadaenelorigenes n =. Puntosdecorteconlosejes: Eje Y 0, Eje X y = 0 Luego 5x 6y + = 0 5x+ = 0 x = 5 5 La pendiente es m=. 6, 0 5 EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes funciones: 5 a) y = x+ b) y = c) y = x 5 a) Hacemos una tabla de valores: x 0 5 y 0 b) y = Esunarectaparalelaaleje X quepasapor 0,. 5 c) y = x Pasaporel ( 0,0 ). Basta dar otro punto para representarla: Si x= y=5

2 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO EJERCICIO : Dadas las siguientes rectas, identifica cuáles son paralelas y represéntalas: x+ 5 a) y= b) y = c)x+5y= d)y x+=0 Calculamos la pendiente de cada una de ellas: x+ 5 5 y = y = x+ ma = y = m b = 0 x+ 5y = 5y = x y = x m c = y x+ = 0 y = x y = x m d = Sonparalelasla a) yla d) portenerlamismapendiente. Representamos ambas haciendo una tabla de valores: a ) x+ 5 y = d) y = x x EJERCICIO : Representa la siguiente recta tomando la escala adecuada en cada eje: y = + 5 Observandoquelapendientedelarectaes m =, lomásadecuadoestomarlaescalaeneleje X de 5 5en5. Hagamosunatabladevaloresparavercuálesla escalamásadecuadaeneleje Y: Eneleje Y, tomamoslaescaladeen. EJERCICIO 5: Representa las rectas siguientes: 5 7 a) y=-,5x+ b) y= c)y=- x Quérelaciónhayentrelasrectas a) y c)? a) Hacemos una tabla de valores:

3 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 5 b) Esunarectaparalelaaleje X quepasapor 0,. 7 c) y = x a) yc) sonrectasparalelas,puestoquetienenlamismapendiente, m=,5. EJERCICIO6:Hallalaecuacióndelarectaquepasaporlospuntos A(, ) y B(5,). Cuálesla ordenada en el origen? ( ) Empezamos hallando su pendiente: m= = = 5 Ecuacióndelarectaquepasapor A(, ) ycuyapendientees m= y+=.(x ) y=x Laordenadaenelorigenes n=. EJERCICIO7:Observandolasgráficas,indicacuáleslaordenadaenelorigendelassiguientes rectasyhallalaecuacióndecadaunadeellas: Paracalcularlaordenadaenelorigen,bastaconobservarelpuntodecortedecadaunadelasrectas coneleje Y: r n = r n = r n = Calculamoslapendientedecadaunadeellas: r m =0 0 ( ) ( ) ( ) r pasapor 0, y,0 m = = = 0 0 r pasapor ( 0,) y,0 m = = = 0 Laecuacióndecadarectaserá: r y= r y=x r y = x+

4 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO EJERCICIO8:Hallalaecuacióndelarectaquepasaporelpuntomediodelsegmentodeextremos A(,) y B(5,) yesparalelaalarecta 7x y+=0. Empezamoscalculandoelpuntomediodelsegmentodeextremos A(,) y B(5,): x = + = y = + = Punto medio: P, Larectatienelamismapendienteque 7x y+=0 porserparalelas: 7 7 y = 7x+ y = x+ m= Ecuacióndelarectapedida: y = + ( x ) ( Ecuación en la forma punto-pendiente) y = x + y = x EJERCICIO9:IndicacuáleslapendientedelarectaquepasaporlospuntosA(0,-)yB,0 Escribesuecuaciónyladelaparalelaaellaquepasaporelorigendecoordenadas. Pendiente: m = = Observamosquelospuntosquenosdansonlospuntosdecorteconlosejes;concretamente,de A(0, ) seobtieneque n=. Así,laecuacióndelarectaes: y = x Larectaparalelaalaanteriorquepasapor (0,0) será: y = x EJERCICIO 0: La gráfica de una función lineal determina con los ejes coordenados el triángulo rectángulo que se vé en la figura. Halla la expresión analítica de dicha función. Comocortaaleje Y en(0,),entonces, n=. Pendiente: m= Laecuacióndelarectaes: y = x+

5 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 5 Parábolas EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes parábolas a) y= x x b) y= x x+ c)y=x x d)y= 5x +75x e)y= x +x a) b Vértice: x = = = y = = = Elvérticees V(, ). a Puntosdecorteconlosejes: Con el eje Y x = 0 y = 0, ConelejeX y = 0 x x = 0 x x = 0 Puntosdecorteconeleje X: (,0) y (,0) ± + ± x = = Puntos próximos al vértice: Representación X - 0 Y 5/ -/ - -/ 5/ b) Puntosdecorteconlosejes: Coneleje X y= 0 x x+ = 0 x 8x+ 6= 0 Hallamos su vértice: x = = y = 6 8+ = 0 V (,0) 8± x = = = (, 0 ), que coincide, lógicamente, con el vértice. Coneje Y x=0 y= (0,) Puntos próximos al vértice: Representación X 5 6 Y / 0 / c) 5 5 Calculamos su vértice: x = y = = V, Puntosdecorteconlosejes:

6 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 6 Coneje Y x=0 y= (0, ) Coneje X y=0 x ± + ± 5 ± 5 x =0 x = = = Lospuntosdecorteconeleje X son:,0 y (,0) Puntos próximos al vértice: Representación: X - 0 / Y /8 - d) Hallamos el vértice: x = = y = + = V, 50 Puntosdecorteconlosejes: Coneje Y x=0 y=0 (0,0) x = 0 0,0 Coneje X y=0 5x + 75x = 0 5x( x ) = 0 x =,0 Tabla de valores para obtener puntos próximos al vértice: X 0 / Y / Representación: ( ) ( ) e) 0,0 Puntosdecorteconlosejes: Coneje Y x=0 y= (0, ) Coneje X elúnicopuntodecorteseráelvértice: (,0) Hallamos su vértice: x = = y = + = V( ) Puntos próximos al vértice: Representación: X - 0 Y

7 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 7 EJERCICIO : Halla las expresiones analíticas de estas parábolas: a) b) c) a)laexpresiónanalíticadeambasparábolasserádelaforma y=ax +bx+c, donde a,b,c son números reales que tenemos que calcular a partir de las gráficas. EcuacióndelaparábolaI: Puntodecorteconeleje Y: (0,6) c=6 Vértice: V(, ), queademásesunpuntodelaparábola. b = b = 6a Así: a = 9a 8a = 9a a = b = 6 = ( ) a+ ( ) b+ 6 Laecuacióndelaparábola I es: y=x +6x+6 Ecuacióndelaparábola II: Cortaaleje Y en(0, ) c= b = b = a V Vértice,0 a a a = a a = : 0= a+ b a+ b = a = b = Laexpresiónanalíticadelaparábola II es: y= x +x b)susecuacionesserándelaforma y=ax +bx+c, a,b,c, númerosreales. EcuacióndelaparábolaI: Cortaaleje Y enelpunto (0, 5), luego: c= 5 V Elvérticees,,queasímismoesunpuntodelaparábola.Luegodeaquí ecuaciones cuyas incógnitas son a y b: b = b= 6a a = 9a 8a 5 = ( ) + ( ) = a b 5 9a b 5 = 9a 5 = 8a 0 9= 8a a = b= LaecuacióndelaparábolaIes: y = x x 5 obtendremos dos

8 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 8 EcuacióndelaparábolaII: Cortaaleje Y en (0,) c= b V, = b = aa a = a = a = a+ b+ a+ b= a = b= LaecuacióndelaparábolaIIes: y = x x+ c)observamosqueambassonparábolas,luegosusecuacionesserándelaforma y=ax +bx+c,donde a,b,c sonnúmerosreales. EcuacióndelaparábolaI: c= porquepasapor (0, ). Vértice V(, 0), de donde sacamos dos ecuaciones: b = b = 8a a 6a a = 6a = a = b = = 0 6a b Laecuacióndelaparábola I es: y = x x EcuacióndelaparábolaII: c = porquepasapor 0,. b V, = b = a a = a a = b= = a+ b+ = a+ b+ 6 Laecuacióndelaparábola II es: y = x x+ EJERCICIO : Completa las expresiones de estas dos gráficas: a ) y = x + x+ b y ) = x + Parábola a) Puntodecorteconeleje Y: (0,0) c=0 V(, ) b = = a a = b = a Ecuaciónde a): y=x +x+0 Parábola b) c= laecuaciónserádelaforma y=ax +. Unpuntodelaparábolaesel (,),así: =a+ a= Laecuaciónbuscadaes: y= x +

9 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 9 EJERCICIO:Asociaacadaunadelasgráficasunadelassiguientesexpresiones: a) y=(x 5) b) y= x +8x c) y= x + d) y=x 8x+7 a) IV b) I c) II d) III EJERCICIO 5: Relaciona cada una de las siguientes expresiones con su gráfica correspondiente: a) y= x +8 b) y=x x 0 c) y= (x ) d) y=x x+ a) I b) III c) IV d) II EJERCICIO 6: Relaciona cada gráfica con una de las siguientes expresiones: a) y= x +x+ b) y=(x+) c) y=x d) y= x a) III b) I c) II d) IV

10 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 0 EJERCICIO7:Asociaacadaunadelasgráficasunadelassiguientesexpresiones: a) y= x x+ b) y= x c) y = x d)y= 7 x a) III b) II c) IV d) I EJERCICIO 8: Relaciona cada una de las siguientes expresiones con su gráfica correspondiente: a) y= x x b) y=(x ) c) y= x d)y= x x a) I b) IV c) II d) III Rectas y parábolas EJERCICIO 9: Resuelve gráfica y analíticamente los sistemas siguientes: y= x + x y= x x+ 5 y= x + 8x a) b) c) y= x x y = 0 y+ = 0 a) Resolución analítica: Despejamos y de cada ecuación e igualamos: x +x = x x ± 9+ 6 ± 5 +x =0 x = = Si x= y=+=5 Si x= y=0 Lassolucionesson: x=, y=5 ;x=, y=0 Resolución gráfica Representamoslaparábola y=x +x : b Vértice: x = = = y = = a Cortes con los ejes: Eje Y x=0 y= (0, ) V(, )

11 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO ± + ± Eje X y = 0 x + x = 0 x = = (,0) y (,0) Valoresentornoalvértice: X Y Representamoslarecta y= x: x 0 y 0 Observamosenlagráficaquelaparábolaylarectasecortanen (,5) y (,0). b) Resolución analítica: Despejamos y de cada ecuación e igualamos: y = x x+ 5 x x x+ 5= x y = x x+ 5= x x x+ 8= 0 ± 69 6 ± 7 x = = El sistema no tiene solución. 6 6 Resolución gráfica Representamoslaparábola y=x x+5: b Vértice: x = = = y = 8+ 5= V(,) a Puntosdecorteconlosejes: Coneleje Y x=0 y=5 (0,5) Coneleje X y=0 x x+5=0 ± 6 0 ± x = = Puntos próximos al vértice: X 0 Y 5 5 Laparábolanocortaaleje X. x Representamos la recta y = y = x.

12 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO x 0 y 0 Seobservaenlagráficaquelaparábolaylarectanosecortan. c) Resoluciónanalítica:Sedespeja y decadaecuaciónyseigualan: y = x + 8x y = x + 8x = x + 8x 8= 0 x + x = 0 ± 6 6 x = = = Lasolucióndelsistemaes: x=, y= Resolución gráfica Serepresentalaparábola y= x +8x : b 8 x = = = Vértice: a V(, ) y = 8+ 6 = Puntosdecorteconlosejes: Coneleje Y x=0 y= (0, ) Coneleje X y=0 x +8x =0 8± ± x = = Puntos próximos al vértice: X 0 Y Nocortaaleje X. Porotrolado,serepresentalarecta y=, constante. Hayunúnicopuntodecorteentrelarectaylaparábola,quecorrespondealpunto (, ).

13 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO Funciones a trozos EJERCICIO 0: Representa las funciones cuyas expresiones analíticas son: x six< - x+ six< 0 a) y= x+ si- x< b) y= si0 x< c) y= - 0 six x-6 six -x+ 7 six< six - d) y= 5x- si x e) y = x+ si-< x x+ six> 6 six> x+ 5 six< - six< - f) y= x si- x< g) y= (x ) si- x< six x six a) Calculamoslatabladevaloresenlostrestrozos: X Y six si- x si< x< 6 Representamos los tres trozos en los mismos ejes: b) Calculamoslatabladevaloresenlostrestrozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y c) Calculamoslatabladevaloresenlostrestrozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y

14 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO d) Calculamoslatabladevaloresenlostrestrozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y e) Calculamoslatabladevaloresenlostrestrozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y f) Calculamoslatabladevaloresenlostrestrozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X / 0 + Y - 0 -/ 0 g) Calculamoslatabladevaloresenlostrestrozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y

15 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 5 EJERCICIO : Halla las expresiones analíticas de las funciones cuyas gráficas son las siguientes: a) b) c) d) a) Buscamoslaecuacióndecadaunodelostramosderectasqueformanlafunción: Para x<, larectaes y=. Para x 5, larectapasapor (, ) y (5,): 5 m= y = ( x 5) y= x + y= x Para x>5, larectaes y=. si x < Asípues,laexpresiónanalíticadeesafunciónes: y = x si x 5 si x > 5 b) Decadatramodelarecta,buscamoslaecuación: Para x<0, larectapasapor (,0) y (, ): m= = y = x+ Si 0 x, larectapasapor (0,) y (, ): m= y = x y = x+ Para x>, larectaes y=. x+ si x < 0 Laexpresiónanalíticadelafunciónes: y = x + si 0 x si x > c) Buscamoslaecuacióndecadaunodelostramosderectaqueformanlafunción: Para x<, larectapasaporlospuntos (,) y (,):m= y= x Para x<, larectaes y=. Para x, larectapasapor (,) y (,0): m = = ( ) y = x y = x + x si x < La expresión analítica pedida es: y = si x < x + si x d) Buscamoslaecuacióndecadaunodelostramosderectasobservandoquehaydosquesonconstantes: Si x<, larectaes y=. Si x, larectaes y=. Si x<, larectapasaporlospuntos(,) y (0,): m = = y = x y = x + si x < Laexpresiónanalíticadelafunciónes: y = x + si x < si x

16 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 6 EJERCICIO:Observalagráficadelafunción f, completalasiguientetabladevaloresyhallasu expresión analítica: Completamos la tabla observando la gráfica: 5 x 0 y 0 0 Parahallarlaexpresiónanalíticadelafunción f, buscamoslaecuacióndecadatramoderecta: 5 Si x<, larectapasapor (,) y,0 : 5 m= = y = x y x 0 + = Si x, larectapasapor (0,0) y (,):m= y=x Laexpresiónanalíticadelafunción f es: x 0 si x < y = x si x Funciones de proporcionalidad inversa EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes funciones: x+ 7 a) y= b) y= c) y= x+ x x 5 a)dominiodedefinición:r {-} Tabla de valores X Y Lasasíntotassonlarecta y=0 ylarecta x=. b) Dominiodedefinición:R {} X Y - -, ,5 - Lasasíntotassonlasrectas x= e y=.

17 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 7 c) x+ 7 y= x 5 y= + Dominio de definición: R {5} x 5 X Y Lasasíntotassonlasrectas x=5, y=. Funciones radicales EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes funciones: a)y= x b)y= x c)y= x+ a) Dominio de definición:(-,0] Hacemos una tabla de valores: X Y - - -,5-0,7 - b) Dominio de definición:, + Hacemos una tabla de valores: X / + Y 0,,,8 + c)dominiodedefinición: Tabla de valores:,+ X -/ - / + Y Funciones radicales y de proporcionalidad inversa EJERCICIO 5: Resuelve gráficamente el siguiente sistema: y = x y = x Representamos gráficamente cada una de las funciones: y = x Es una función radical.

18 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 8 Dominio de definición: [, + ) Tabla de valores: X 6 + Y y = Es una función de proporcionalidad inversa. x Dominio de definición: {} Tabla de valores: X Y Lasasíntotassonlasrectas x=, y=0. Enlagráficaseobservaqueelsistematieneunasolución: x= y= EJERCICIO 6 a) Delasiguientehipérbola,dicuálessudominio,cuálessonsusasíntotasyrepreséntala:y= + x b)hallaelvalordekparaqueeldominiodelafuncióny= x k + sea[,+ ). Haz la representación gráfica. a Dominio de definición: 0 ) {} Tabladevaloresenpuntospróximos a x=0: X Y - -, ,5 - Luegolasasíntotassonlasrectas x=0, y=. b) Paraqueeldominiodedefiniciónseanlosvaloresde x, senecesitatomar k= (así, x 0). Hacemos una tabla de valores X Y +

19 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 9 Exponenciales y logarítmicas EJERCICIO 7: Representa las siguientes funciones haciendo en cada caso una tabla de valores: a) y= 0,5x b) y= log 6 x x 0,5 x a) y = equivale a y = X Y 0 / / + b) Seobservaenlagráficaqueesunafuncióncreciente,cosaqueyasabíamospuestoque a = = >. X x 0 + /6 / y EJERCICIO 8 a) Ponenformaexponencial 0,5x yrepresentalafunción y= 0,5x. b) Compruebasipertenecenalagráficade y=log 5 x lospuntos (,), (5,),,,(,-)y 5 (5,) x x ( ) ( ) 0,5x 0,5 x a) = = = = x Representarlafunción y= 0,5x equivalearepresentarlafunción y= x. Hacemos una tabla de valores: X Y 0 / / +

20 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 0 b) Eldominiodedefiniciónde y =log 5 x es (0, + ), luegoelpunto (,) nopertenecealdominiopor ser x = <0. Elrestodepuntostienenabscisapositiva,luegopuedenpertenecer alagráficadela función: ( 5,) = log = Pertenecen a la gráfica., = log5 5 = (, ) = log5 5 = = Nopertenecealagráfica , = 5 5 = 5 Pertenece a la gráfica. ( ) log 5 5 Lospuntosquepertenecenalagráficason:( 5,, ), y ( 5,) EJERCICIO 9 a) Hallaelvalorde k y a paraquelagráficade y=ka x paseporlospuntos (,6) y,. Indica razonadamente si la función obtenida será creciente o decreciente, sin representarla. b) Representalafunción y=+log 7 x. x a) y = ka pasaporlospuntos (,6) y, : = 6 ka ka = a = a = a = 6= k k = 6a k = 6 k = = ka ka 6 8 a x La función es y =, función decreciente por ser a = <. b) X x 0 /9 / y EJERCICIO0:Escribeeldominiodelafunción y= x yrepreséntalagráficamente.escribela expresiónanalíticayrepresentalafuncióninversade y= x. y= x esunafunciónexponencial sudominiosontodoslosnúmerosreales. Hagamos una tabla de valores para representarla: X Y 0 /6 ¼ 6 +

21 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO Laexpresiónanalíticadelafuncióninversade y= x es y=log x, cuyatabladevaloresserá: X 0 /6 ¼ 6 + Y EJERCICIO a) Construyelagráficade y=0,7 x y,apartirdeella,representalafunción y=0,7 x +. b) Indicacuáleseldominiodelafunción y=logx yescribetrespuntosquepertenezcanala gráfica. a) y=0,7 x : funciónexponencialdebase a=0,7<, luegodecreceensudominio,quees. Hagamos una tabla de valores: X Y +,0, 0,7 0,9 0 Lafunción y=0,7 x + seobtienedesplazandodosunidadeshaciaarribalagráficaanterior,oloquees igual, sumando unidades a los valores obtenidos anteriormente para y. b) y=log 0 x dominiodedefinición: (0,+ ) 0, = log 0 ( ) ( ) 00, = log00 0 = 00, = log0 0 = EJERCICIO : Calcula, usando la definición de logaritmo, y sin calculadora: 5 a) log 8 b) log 0,00 c) log d) log 5 e) log5 5 f) log g) log7 9 h) log 5 i) log 5 0, 008 j) log k) log 0, 5 l) log 56 5 m) log 0, 0 n) log 6 ñ) log 0 5 ) 5 5 a log 8= log = log = log { = b) log0,00= log0 = log0= 5 5 c) log = log log = log = log = { 6 { d) a) log5 = log log = log = log = { { e) b) log5 5 = log55 = log = { 55 f) log 5 5=log 5 5 =log 5 5=

22 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO g) a) log = log = log = log = { 77 8 i) c) log50,008 = log5 = log5 = log55 = log { 55= j) a) log = log = log = log = log = { k) b) log0,5 = log = log = log = m) a) log 0,0= log = log0 = log0= 00 h) b) log = log 9 5 = 9 log = { 9 l)c) log 56=log 8 =8log =8 5 n) b) log6 = log6 = log66 = log = { 66 ñ) c) log = 5 log = 5 log = 0 6 { 5 EJERCICIO : Resuelve estas ecuaciones: x a) 5 + = 5 b) log (5x ) = c) 6 x + 5 e) 5 x 6 = x 0,5 d) log5 (x x) = 0 9 = 7 f) log (x ) = g) x- =9 x+6 h)log (x -5x+8)= x 8x i) = j)log(x )=- a) Expresamos como potencia de 5 el segundo miembro e igualamos los exponentes: x + x + = = 5 x + = x = x = x =± b) Aplicamos la definición de logaritmo: log (5x )= 5x = 5x =7 5x=0 x=6 Comprobacióndelasoluciónlog (5 6 )=log 7=log = log = Soluciónválida c) Expresamos el segundo miembro como potencia de. A continuación, igualamos exponentes: = x 6 x x x x 6 x 6 x 6 x x 6 x+ ( ) = = = = x 6= x+ x = 8 x = d) log 5 (x x)=0, aplicandoladefinicióndelogaritmo,equivalea x x=5 0 x x= x ± + 8 ± x =0 x = = = Comprobación de las soluciones Si x= log 5 ( )=log 5 =0 x= essolución. Si x = log5 + = log5 + = log5= 0 x = también es solución. e) Expresamos el primer miembro como potencia de 7 e igualamos exponentes: x x x = 7 7 = 7 7 = 7 = x + x = x = x =± 5 5 f) Aplicando la definición de logaritmo, se obtiene: 5 log( x ) = x = x = x = + x =

23 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 5 Comprobación de la solución: log = log = log = log = válida La solución es: x = 5 g) Expresamos como potencia de el segundo miembro e igualamos exponentes: x ( ) + x x+ 5 x 5 x x+ 0 = 9 = = x = x+ 0 x= h) log (x 5x+8)= x 5x+8= (hemosaplicadoladefinicióndelogaritmo) x 5x+8= x 5± 5 6 5± 9 5± 5x+=0 x = = = Comprobación de las soluciones Si x= log (6 0+8)=log =log =log = x= essolución. Si x= log ( 5+8)=log =log =log = x= essolución. x i) ) x x a = equivalea x = 0 Igualandoexponentes: x x=0 x(x )=0 Luego x=0 y x= sonlassoluciones. j) log(x )= equivalea x =0 (hemosaplicadoladefinicióndelogaritmo) x = x = + x = x = log = log = log0 = log0= Comprobación de la solución 0 0 La solución x = es válida. 0 Problemas EJERCICIO:Colocamosenelbanco5000 al5%deinterésanual. a) Escribe la función que expresa el capital acumulado en función del tiempo, t, que permanezca el dinero en el banco. b) Cuánto tardará el dinero en duplicarse? a) C = capital acumulado 5%deinterésanualsignificaqueelcapitalquehayaprincipiosdeañosemultiplicapor,05alfinal.La t expresiónquedaelcapitalacumuladoalcabode t añoses: C = 5000,05 t 0 b) Nos piden calcular t para que el capital se duplique: 5000,05 t =50000,05 t = t 5años Tardará en duplicarse, aproximadamente, 5 años. EJERCICIO5:Secercaunafincarectangulardeárea A conmdealambrada,sinquesobreni falte nada. a) Expresaeláreadelafincaenfuncióndeunodesuslados b) Representa gráficamente la expresión anterior. c) Cuál es el dominio de definición? d) Paraquévalordelosladosobtenemoslafincadeáreamáxima? Lasdimensionesdelafincason x, x. a) A=áreadelafinca Laexpresiónanalíticabuscadaes A(x)=x( x) A(x)= x +x, queesunafunción cuadrática. b) Será una parábola abierta hacia abajo: Vértice: x = y = + = = 0,5 V(0,5; 0,5)

24 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO Puntosdecorteconlosejes: x = 0 Eje X y = 0 x + x = 0 x( x+ ) = 0 (0,0) y (,0) x = Eje Y x=0 y=0 (0,0) Tabla de valores: X 5 0 0,5 5 0 Y , c) Porser x unalongitudy A(x) unárea,lagráficacorrespondesoloalprimercuadrante.dominiode definición: (0, ) d) Eláreaesmáximaenelvértice,ymide0,5m.Seobtienetomandocomolados x=0,5m y 0,5=0,5m esdecir,eláreaesmáximasilafincaescuadrada. EJERCICIO6:Expresaelladodeuncuadradoenfuncióndesuárea. Quétipodefunción obtienes? Cuál es su dominio? Represéntala gráficamente. A área del cuadrado A= l l = A l lado del cuadrado La función obtenida es una función radical. Dominiodedefinición=(0,+ ) Para representarla gráficamente, hacemos una tabla de valores: X Y 0 + EJERCICIO 7: Una central nuclear tiene kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndosealamitadcada5años. a) Qué cantidad de esa sustancia tendremos al cabo de 0 años? b) Cuál es la función que da la cantidad de sustancia radiactiva según los años transcurridos, suponiendo que el ritmo de desintegración se mantiene? a) Alcabode5añoshabrá0,5kgdesustanciaradiactiva,luegoalcabode0añoshabrá0,5kg =50g de sustancia radiactiva. b) Llamamos C = cantidad de sustancia radiactiva(kg) t=tiempo(años) = = 0,5 5 Lafunciónquedescribeelproblemaes: C() t C() t EJERCICIO8:Maríasequierecomprarunaparcelarectangularquetengacomoárea00m. a) Escribelafunciónquedaelanchodelafincaenfuncióndellargo. b) Haz la gráfica correspondiente. a) Llamamos x largodelafinca y anchodelafinca t t 5

25 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 5 Eláreadelafincaserá x y =00 y = 00 x b) Puestoque x e y sonlongitudes,ambashandeserpositivas,luegoeldominiodedefiniciónserá(0, + ) Hacemos una tabla de valores para representarla: X Y Recopilación EJERCICIO 9: a) Representaestafunción:x+5y =0 b) Asocia a cada una de las gráficas, una de las siguientes expresiones. y= x. y=(x ). y= x +. y=x +x a) x+5y =0 Hacemos una tabla de valores: b) II IV III I EJERCICIO 0: a) Calculalaecuacióndelarectaquepasaporlospuntos A(,) y B(5, ), yhazsugráfica. b) Halla la ecuación de la siguiente parábola: a) Calculamos el valor de la pendiente: m= = = 5 6 6

26 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO y = x+ y = x La representación gráfica de la recta y = x+ es: 6 6 La ecuación será de la forma: ( ) b) Porserunaparábola,suecuaciónserádelaforma:y=ax +bx+c Porserelpuntodecorteconeleje Y el (0, 0) c= 0 Paracalcular a y b, observamosquelaparábolapasaporlospuntos (,0) y ( 5,0): 0= a+ b 0 a+ b= 5 0= 5a 5b 0 5a b = 7a = 7 a = Luego b=5 = b= Portanto,laecuacióndelaparábolaes: y=x +x 0 EJERCICIO : a) Halla la ecuación de la recta representada: b) Representaestaparábola: y=x 8x 9 a) Porserunarecta,suecuaciónserádelaforma:y=mx+n Comopasapor (0,) n= Además, (,) esunpuntodelagráfica = m+ m = La ecuación buscada es: y= x+ b) Calculamoselvérticequetienelaparábola y=x 8x+9: b 8 x = = = y = 6 9= 5 V(, 5) a Puntosdecorteconlosejes: Eje Y x=0 y= 9 (0, 9) 9 8± ± 0 Eje X y = 0 x 8x 9= 0 x = = Laparábolacortaaleje X en (9,0) y (,0). Tabladevaloresentornoalvértice: X 5 6 Y

27 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 7 EJERCICIO : a) Calculalaecuacióndelarectaquepasapor(,)ycuyapendienteesm=/.Represéntala gráficamente. b) Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones:. y=x + x. y=. y=5x +x. y= (x+) a) Ecuaciónpunto-pendiente: y = ( x ) y = + x y = x+ b) II III IV I EJERCICIO : a) Halla la ecuación de la recta dada por la siguiente gráfica: b) Representalaparábolasiguiente:y=x 8x+ a) Laecuacióndelarectaserádelaforma:y=mx+n Porserelpuntodecorteconeleje Y 0, n = Además,larectapasapor (,0),luego: 0= m+ m= Por tanto, la ecuación es: y = x+ b) y=x 8x+ b 8 Vértice x = = = y = 6 + = V, a Puntosdecorteconlosejes: Eje Y x=0 y= (0,) ( ) 8± 6 8 8± 6 Eje X y = 0 x 8 x + = 0 x = = = 6 8± = Lospuntosdecorteconeleje X son(6,0) y (,0).

28 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 8 Tabladevaloresentornoalvértice: X 5 7 Y EJERCICIO : Asocia cada gráfico con una de estas expresiones: x a)y= + b) y=log (x+) c)y= x+ d)y= x + a) II b) IV c) III d) I EJERCICIO 5: Asigna a cada gráfica, la expresión que le corresponde: a) y=, x b) y=+logx c)y= d)y=-+ x+ x+ 5 a) III b) IV c) II d) I EJERCICIO 6: Relaciona cada gráfica con su expresión correspondiente: x a)y= 5 x+ b)y=- c) y= log (x ) d)y= 9 x+ a) I b) III c) IV d) II

29 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 9 EJERCICIO 7 : Asocia cada gráfica con una de estas expresiones: a) y= +log 5 x b) y=,7 x c)y= x+ 7 d)y= + x a) IV b) III c) I d) II EJERCICIO 8: Asocia cada gráfica con la expresión que le corresponda: a) y= 0,8 x b)y=- x 5 c)y= d) y= log 6 (x+) x a) III b) I c) II d) IV EJERCICIO 9: Asocia a cada gráfica la expresión que le corresponde: a)y=+ x b)y=-+ c)y= x+ x d) y=log x a) I b) IV c) III d) II EJERCICIO 50: Asocia a cada gráfica una de estas expresiones: a)y=- x+ b)y= + x c),7 x d) y=log 5 x a) III b) IV c) I d) II

30 Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 0 EJERCICIO 5: Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones: a) y=log 7 x b)y= x+ c) y= x d)y= x a) III b) I c) IV d) II EJERCICIO 5: Asocia a cada gráfica una de estas expresiones: a) y=+ x b) y=5 x c) y=log (x+) d)y= x a) II b) III c) Id) IV EJERCICIO 5: Relaciona cada gráfica con la expresión analítica correspondiente: a) y=,5 x b)y= + x+ c) y=+log x d)y= 0,x a) II b) I c) III d) IV