Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II

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1 Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Jueves de noviembre de 07 hora NOMBRE APELLIDOS CALIFICACIÓN. Resuelva las siguientes cuestiones,! 9! (a) Simplifique al máximo la expresión!! (b) Simplifica al máximo la expresión ( 9 ) ( ).. Un enorme coro se dispone a dar un concierto. Sus integrantes se colocan en filas, según una progresión aritmética. Así, en la cuarta fila hay 0 cantantes, y en la octava hay cantantes. (a) Halle la diferencia común de esta progresión aritmética. (b) Si en el coro hay 0 filas, halle el número total de cantantes que hay en el coro. (0 7 puntos). Determina el resultado de los siguientes logaritmos sin hacer uso de la calculadora: ( puntos) a) ln c) log 9 e. Dada la ecuación log x log x log, (a) Expresa la ecuación con un solo logaritmo tanto a la izquierda y como a la derecha del igual. (b) Utilizando el apartado anterior, calcule los posibles valores de x que verifican la ecuación. (0 7 puntos). Calcula y simplifica al máximo en notación radical hasta dejar el resultado en un solo radical con base natural, ( punto) 8 9 CONTINÚA POR DETRÁS

2 . Calcula correctamente la incógnita en los siguientes casos, ( puntos) a) log x 8 b) log 8(x ) c) ln x 7. Toma logaritmos decimales y desarrolla correctamente y al máximo mediante las propiedades de los logaritmos, las siguientes expresiones, (0 7 puntos puntos) a) A x y 0 b) B 00 x 00 + x 0x 8. Si ln p y ln q, calcule sin calculadora, mediante las propiedades de los logaritmos, (a) ln p q (b) ln e pq (0 7 puntos)

3 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº DE º MATEMÁTICAS N.M.. Resuelva las siguientes cuestiones, (a) Simplifique al máximo la expresión! 9!!! (b) Simplifica al máximo la expresión ( 9 ) ( ). (a) Simplifique al máximo la expresión! 9!!!! 9!!!! 9 8 7!!! (b) Simplifica al máximo la expresión ( 9 ) ( ). ( 9 ) ( ) 9!!!!!! 9!!!! 9 8 7!! Un enorme coro se dispone a dar un concierto. Sus integrantes se colocan en filas, según una progresión aritmética. Así, en la cuarta fila hay 0 cantantes, y en la octava hay cantantes. (a) Halle la diferencia común de esta progresión aritmética. (b) Si en el coro hay 0 filas, halle el número total de cantantes que hay en el coro. (a) Halle la diferencia común de esta progresión aritmética. Si restamos los términos octavo y cuarto de la progresión obtenemos el cuádruplo de la diferencia, a m a n (m n) d a 8 a (8 ) d 0 d d d d Por lo tanto,la diferencia es d. (b) Si en el coro hay 0 filas, halle el número total de cantantes que hay en el coro. (0 7 puntos) Se trata de sumar los primeros diez términos de la progresión aritmética. S n (a + a n ) n S 0 (a + a 0 ) 0

4 Para ello calculamos primero el primer y el décimo término de la progresión. Para a tendremos que, a m a n (m n) d a a ( ) 0 a 9 Para a 0 tendremos que, 0 9 a a a m a n (m n) d a 0 a 8 (0 8) a 0 a 0 + a 0 8 Por lo tanto, la suma de los diez primeros términos de la progresión aritmética es. S 0 (a + a 0 ) 0 ( + 8) Así,el número total de personas del coro es.. Determina el resultado de los siguientes logaritmos sin hacer uso de la calculadora: ( puntos) a) ln c) log 9 e a) ln c e c e e e e c ln e b) log 9 c 9 c 0 0 ( ) c 0 c 0 c 0 c 0 log 9 0. Dada la ecuación log x log x log, (a) Expresa la ecuación con un solo logaritmo tanto a la izquierda y como a la derecha del igual. (b) Utilizando el apartado anterior, calcula los posibles valores de x que verifican la ecuación. (0 7 puntos) Solución (a) Expresa la ecuación con un solo logaritmo tanto a la izquierda y como a la derecha del igual. log x logx log log x logx log log x log ( x 9 )

5 (b) Utilizando el apartado anterior, calcula los posibles valores de x que verifican la ecuación. (0 7 puntos) Puesto que, según el apartado (a) tenemos que, log x logx log log x log ( x 9 ) Quitando logaritmos, log x log ( x 9 ) x x 9 9x x 9x x 0 Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta, 9x x 0 x (9x ) 0 { x 0 9x 0 9x x 9 Por lo tanto,la única solución válida es x /9 ya que el logaritmo de cero no existe.. Calcula y simplifica al máximo en notación radical hasta dejar el resultado en un solo radical con base natural, ( punto) 8 9 En el numerador de la fracción extraemos factores del primer término y simplificamos índice-exponente en el segundo mientras que en el denominador, introducimos el dentro de la raíz cuarta. 8 9 Ponemos índice común y transformamos los exponentes, Calcula correctamente la incógnita en los siguientes casos, ( puntos) a) log x 8 b) log 8(x ) c) ln x

6 a) log x 8 x 8 x b) log 8 (x ) 8 x ( ) x x x x c) ln x e x (e ) x e x 7.Toma logaritmos decimales y desarrolla correctamente y al máximo mediante las propiedades de los logaritmos, las siguientes expresiones, ( puntos) a) A x y 0 b) B 00 x 00 + x 0x a) A x y 0 Tomamos logaritmos decimales y aplicamos las propiedades de los logaritmos, loga log x y 0 log ( x y 0 ) log y (x 0 ) (log(x y ) log0) (logx + logy ) ( logx + logy ) b) B 00 x 00 + x 0x Tomamos logaritmos decimales y aplicamos las propiedades de los logaritmos, 00 x logb log 00 + x 0x log(00 x ) log(00 + x 0x) log(0 x ) log(0 + x 0x) log(0 + x) (0 x) log(0 x) log(0 + x) + log(0 x) log (0 x) log(0 + x) log(0 x)

7 8. Si ln p y ln q, calcule mediante las propiedades de los logaritmos, (a) ln p q (b) ln e pq (0 7 puntos) (a) ln p q ln p q ln p ln q ln p ln q ln p ln q ( ) (b) ln e pq (0 7 puntos) ln e e ln ( pq pq ) e ln ( pq ) [ln e ln(pq)] [ (ln p + ln q)] [ ( + ( )] [ ( )] [ + )] [ 0 )] 0 0 7