CERTAMEN N o 1 MAT

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1 CERTAMEN N o 1 MAT P R E G U N T A S 1. Considere el siguiente razonamiento: Si estudio entonces apruebo los cursos. Además, si no termino mi carrera entonces no apruebo los cursos. A partir, unicamente de lo anterior, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? (A) Si termino mi carrera entonces estudio. (B) Si apruebo los cursos entonces estudio. (C) Si estudio entonces termino mi carrera. (D) Si no estudio entonces no apruebo los cursos. (E) Todas las anteriores son falsas. Si definimos p: estudio, q: apruebo los cursos y r: termino mi carrera, entonces el enunciado corresponde a (p = q) (r = q). Equivalentemente (p = q) (q = r). Es claro que a es r = q, b es q = p, c es p = r (la cual es cierta por transitividad) y d equivale a b. La respuesta es C. 2. El conjunto solución S de la inecuación x 2 4x 4 < 8, es: (A) S = ( 2, 6) (B) S = R {2} (C) S = (, 2) (6, ) (D) S = ( 2, 2) (2, 6) La inecuación es equivalente a resolver: 8 < x 2 4x 4 x 2 4x 4 < 8 x 2 4x + 4 > 0 x 2 4x < 0 (x 2) 2 > 0 (x 2) 2 < 16 x 2 > 0 x 2 < 4 x 2 4 < x 2 < 4 x R {2} 2 < x < 6 luego el conjunto solución S = ( 2, 2) (2, 6), con ello, la alternativa correcta es la D. 1

2 3. El conjunto solución de la ecuación trigonométrica sen(x)(sen(x) + 1) = 2, es: (A) S = {π + 2πk /k Z} (B) S = {π/2 + πk /k Z} (C) S = {2π + πk /k Z} (D) S = {π/2 + 2πk /k Z}. La ecuación equivale a sin 2 (x)+sin(x) 2 = (sin(x)+2)(sin(x) 1) = 0. Luego sin(x) = 1, es decir la solución son todos los números reales de la forma π/2 + 2πk con k entero. La respuesta es D. 4. Con respecto a la función f(x) = sen 2 (3x) cos 2 (3x). (I) La función es par. (II) La sinusoide y = f(x) tiene amplitud 1. (III) La imagen de π/6 es 1. Cuál(es) es(son) verdadera(s)? (A) Sólo I (B) So`lo I y II (C) Sólo I y III (D) Sólo II y III (E) Todas I, II y III. Tenemos que f(x) = sin 2 (3x) cos 2 (3x) = cos(6x) y luego I, II y III son verdaderas. La respuesta es E. 5. El conjunto solución de la siguiente inecuación x 7 < 5 < 5x 25, es: (A) (2, 4) (B) (2, 4) (6, ) (C) (4, 6) (D) (2, 4] [6, ) (E) (6, ) 2

3 La inecuación es equivalente a resolver: x 7 < 5 1 < x 5 5 < x 7 < 5 (x 5 > 1 x 5 < 1) 2 < x < (x > 6 x < 4) El conjunto solución es (2, 4) (6, ), luego, la respuesta es B. 6. Resuelva el sistema: e indique su solución (A) x = 2, y = 1. (B) x = 10, y = 100. (C) x = 1, y = 10. (D) x = 10, y = 1. (E) x = 100, y = 10. log(x) + log(y 3 ) ) = 5 log = 3 ( x 2 y El sistema entregado puede escribirse como: log(x) + 3 log(y) = 5 2 log(x) log(y) = 3 definiendo: a = log(x) y b = log(y) se debe resolver el sistema: a + 3b = 5 2a b = 3 a + 3b = 5 6a 3b = 9 a = 2 b = 1 En consecuencia: La respuesta es por tanto E. a = 2 log(x) = 2 x = 10 2 x = 100 b = 1 log(y) = 1 y = 10 1 y = Considernando la función f (x) = 8 sen ( 3x + π ) ( cos 3x + π ) determine cual de las siguientes afirmaciones es verdadera. (A) f no es una función sinusoidal (B) f es una función sinusoidal de amplitud 8 (C) f es una función sinusoidal de periodo π 3. (D) f es una función sinusoidal cuyo ángulo de fase es π 3

4 Aplicando algunas identidades trigonométricas obtenemos f (x) = ( 8 sin 3x + π ) ( cos 3x + π ) = ( ( 4 sin 2 3x + π )) = ( 4 sin 6x + π ) 6 luego f es una función sinusoidal de amplitud A = 4, periodo p = 2π 6 θ = π 36. Por lo tanto la alternativa correcta es C. = π 3, ángulo de fase 8. Sea a < 0. El conjunto solución de la inecuación ax 3 a 2 x 2 < 0 es: (A) (a, 0) (0, + ) (B) (0, + ) (C) (a, + ) (D) (, a) (E) (, a) Factorizando, tenemos: a(x a)x 2 < 0 (x a)x 2 > 0, como x = 0 no es solución, tenemos x a > 0, es decir, x > a, de donde, el conjunto solución es (a, 0) (0, + ), luego, la respuesta es A. 9. Considere la función biyectiva f : R (, 2), dada por f(x) = 2 e 1 x, entonces la función inversa de f viene dada por: (A) f 1 (x) = 1 ln(x 2) (B) f 1 (x) = 1 + ln(2 x) (C) f 1 (x) = 1 ln(2 x) (D) f 1 (x) = 1 + ln(x 2) (f f 1 )(x) = x, x (, 2), luego tenemos: por tanto, la respuesta es C. f(f 1 (x)) = x 2 e 1 f 1 (x) = x 2 x = e 1 f 1 (x) ln(2 x) = 1 f 1 (x) f 1 (x) = 1 ln(2 x) 4

5 10. Dadas las funciones: y f(x) = { x 2 + 1, x 1 x, x < 1 g(x) = ln [(2x 1)(9 x)] Si A = f([0, 5]) y B = dom(g), entonces, el conjunto A B corresponde a: (A) [0, 1] (2, 10] (B) ( 1 2, 1) [2, 9) (C) (1, 2] [5, 9] (D) [ 1 2, 5] [2, 26]. f([0, 5]) = f([0, 1) [1, 5]) = f([0, 1)) f([1, 5]) = [0, 1) [2, 26] dom(g) = {x R / (2x 1)(9 x) > 0} = ( 1 2, 9) luego, A B = ( 1 2, 1) [2, 9), siendo por ello la respuesta B. 11. Teniendo en cuenta que el ángulo ÂBC es obtuso, en el triángulo de la figura adjunta,la longitud del segmento de AB es (A) 2 (B) (C) 3 (D) 3 ± 1 (E) 3 1. Sea AB = x, usando el teorema del coseno: 2 2 = x x cos(45 ), se obtiene x 2 2 3x + 2 = 0 cuyas raíces son: x = y 3 1, al ser ÂBC obtuso, el lado mayor del triángulo es 6, sólo queda la opción de x = 3 1, ya que 6 < 3 + 1, de donde la alternativa correcta es E. 5

6 . Cuál(es) de las funciones siguientes es(son) igual(es) a su propia inversa? (I) f(x) = 1 x (II) f(x) = x x 1 (III) f(x) = 2x x + 2 (A) Sólo I (B) Sólo II (C) Sólo III (D) Sólo I y II (E) Todas I, II y III (I) f(f 1 (x)) = x 1 f 1 (x) = x f 1 (x) = 1 x (II) f(f 1 (x)) = x (III) f(f 1 (x)) = x Luego, la respuesta es D. f 1 (x) f 1 (x) 1 = x f 1 (x) = 2f 1 (x) f 1 (x) + 2 = x f 1 (x) = x x 1 2x 2 x 13. Considere la función f definida en todo R mediante: f(x) = 3 1+x 3 1 x, determine la(s) preimagen(es) de 8 (A) -1 (B) 1 (C) -1 y 1 (D) 2 Para hallar las preimágenes basta resolver la ecuación exponencial 3 1+x 3 1 x = x 3 3 x = 8 Si u = 3 x, se tiene: 3u 3 u = 8, cuyas soluciones son: u = 3 y u = 1 3, de donde x = 1, la alternativa correcta es B. 6

7 14. Sea y = f(x) la función con dominio [0, 2] y recorrido [0, 1] cuya gráfica se muestra en la figura adjunta, determine el dominio y recorrido de la función g(x) = 2 f(3 x). (A) dom(g) = [1, 3] y rec(f) = [1, 2] (B) dom(g) = [1, 3] y rec(f) = [ 1, 0] (C) dom(g) = [3, 5] y rec(f) = [1, 2] (D) dom(g) = [0, 2] y rec(f) = [0, 1] Desde f(x) g 1 (x) = f(x + 3) se produce un traslado a la izquierda en 3 unidades, el dom(g 1 ) = [ 3, 1] y el rec(g 1 ) = [0, 1] Desde g 1 (x) g 2 (x) = g 1 ( x) = f(3 x) se produce una reflexión con respecto al eje y, entonces dom(g 2 ) = [1, 3] y rec(g 2 ) = [0, 1] Desde g 2 (x) g 3 (x) = g 2 (x) = f(3 x) se produce una reflexión con respecto al eje x, entonces dom(g 3 ) = [1, 3] y rec(g 3 ) = [ 1, 0] Desde g 3 (x) g(x) = 2 + g 3 (x) = 2 f(3 x) se produce un desplazamiento vertical dos unidades para arriba, entonces dom(g) = [1, 3] y rec(g) = [1, 2] luego, la alternativa correcta es A. 15. Definamos f(x) = x 2 + 6x Entonces f : A B es una función biyectiva si A y B son: (A) A = [ 4, 2], B = [1, 2]. (B) A = (, 3], B = [1, ). (C) A = [ 3, ), B = R. (D) A = [ 3, 0], B = [1, ).. Representaremos en el plano la parábola y = x 2 + 6x + 10 y = (x + 3) y 1 = (x + 3) 2 de donde se sigue que la alternativa correcta es B. 7

8 16. Sea g una función real con dominio dado por dom(g) = [1, ), y sea f(x) = 1 x 2. Entonces el dominio de la función g f es: (A) [ 1, 1] (B) (0, 1] (C) [ 1, 0) (0, 1] (D) (1, ). siendo luego, la alternativa correcta C. dom(g f) = {x dom(f)/f(x) dom(g)} = {x 0/ 1 [1, + )} x 2 = {x 0/ 1 1} x 2 = {x 0/x 2 1 0} = {x 0/ 1 x 1} = [ 1, 0) (0, 1] 17. Sean a, b, c R y f(x) = ax 2 + 3bx c (x R) una función. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?. (I) Si b = 0, entonces f(x) es una función par, para todos a, c R. (II) Si a = 3, b = 1 3 y c = 4, entonces f(x) es decreciente en el intervalo [ 1, 0]. (III) Si a = 1, b = 0, entonces f(x) es una función creciente en [5, 10]. (A) Sólo I (B) Sólo II (C) Sólo III (D) Sólo I y III (E) Todas I, II y III La afirmación I. es verdadera. De hecho, si b = 0, entonces f(x) = ax 2 c. Así, dado x R, tenemos que f( x) = a( x) 2 c = ax 2 c = f(x), de donde f es par. La afirmación II. es falsa. En efecto, para dichos valores de a, b y c, se tiene f(x) = 3x 2 + x 4. Ahora bien, el vértice de esta parábola es V = ( 1 6, 49 ), y como el coeficiente de x 2 es positivo, es claro que para puntos cercanos a 1 6 esta función pasa de ser decreciente a creciente. En particular, f no es ni creciente ni decreciente en [ 1, 0]. Finalmente, la afirmación III. es verdadera, ya que si a = b = 0, entonces f(x) = c es una recta horizontal, y por lo tanto es creciente y decreciente en R. En particular, ella es creciente en [5, 10]. Así, la alternativa correcta es D. 8

9 18. El conjunto solución de la ecuación arc cos(2x 2 1) = 2 arc cos( 1 2 ) es: (A) { 1 2 ; 1 2 } (B) { 1 2 } (C) { 1 2 } (D) { 1 4 ; 1 4 } Sea α = arc cos( 1 2 ) con 0 α π de aquí cos(α) = 1 2 α = π 3 arc cos( 1 2 ) = π 3, tenemos luego: [0, π], por tanto, arc cos(2x 2 1) = 2π 3 2x 2 1 = 1 2 x 2 = 1 4 x = ± 1 2 por tanto, la alternativa correcta es A. { Restricción: 1 2x x x 2 1 x 1 9