Gu ıa Departamento. Matem aticas U.V. mat.uv.cl/djimenez. Guía de Funciones Reales. Universidad de Valparaíso Instituto de Matemáticas

Transcripción

1 Universidad de Valparaíso Instituto de Matemáticas 1. Determinar el dominio de las funciones Guía de Funciones Reales A = { (x,y) R 2 : x 2 2y = 4;xy < 0 } B = { (x,y) R 2 : 1 x y = 0 y [1,3[ } 2. Determinar A R, de modo que f sea una función a) b) 3. Determine el recorrido Rec(f) de la función a) b) f : A R R x f(x) = x 2x+3 f : A R [2, [ x x+2 x 1 f : [ 2,2] R x x 2 2x f : ] 2, [ {4} R x 1 4. Sea f : A R R x f(x) siguientes funciones a) f(x) = x+2 b) f(x) = x+2 2x 3 c) f(x) = 2x 2 3 d) f(x) = x+2 e) f(x) = 3x 2 x+3 f) f(x) = x 2 1 x g) f(x) = x 2x+3 h) f(x) = 2 2x+1 i) f(x) = 1+ 1 x x 4 Determine el dominio y el recorrido de cada una de las

2 5. Determine si la afirmación son verdaderas o falsas a) Dada la función f f : A R [ 1,5], f(x) = 3 2x entonces, el Dominio máximo de la función es: Domf = [ 1,2] b) Dada la función f : A R [ 1, [, f(x) = 8 x 2 entonces, el Dominio máximo de la función es Domf = [ 3,3] c) Dada la función g g : [ 3,1] R, g(x) = 1 x 2 entonces, el Recorrido de la función es: Recg = [ 8,0] 6. Sea g : A R [3, [ tal que g(x) = x 2 4 entonces el dominio máximo de g es a) Domg = R b) Domg = [0, [ c) Domg = [ 7, [ d) Domg =], 7] [ 7, [ e) Ninguna de la Anteriores 7. Para cada una de las siguientes funciones Dada la función i) ii) iii) iv) f : A R R ; f(x) = 2+ (x 1) f : A R R ; f(x) = x 1 x 2 f : A R R x f(x) = x 1+1 f : A R R x f(x) = x2 +1 x 2 4 a) Determinar el dominio de la función b) Determinar el recorrido de la función c) Determinar si la función es inyectiva 8. Determine cuáles de los siguientes gráficos representan funciones inyectivas

3 y x^ y Sqrt x y Sqrt 1 x^ y Sqrt x^ Sean A,B R, y la función x x x y x x f : A B x f(x) = x 2x+1 x x y x^2 x Determinar A y B, A maximal, de modo que f sea una función biyectiva 10. Considere las siguientes funciones f : ] 2, [ R x f(x) = 4 x ; g : ] 1, [ ],1] x g(x) = x 2 +1 a) Defina la función g f b) Calcular en caso de existir (g f)(4) 11. En los siguientes caso, determinar g f -10 x a) f : R + 0 [ 1, [ x f(x) = x 1, g : [1, [ R x g(x) = x+5 b) f : R R x f(x) = (x 3) 2, g : [2, [ R x g(x) = x 2+3

4 c) f : [ 1, [ R 2 x f(x) = 2x+1, g : [2, [ R x g(x) = x 2 +3 d) f : R {2} R {1} x f(x) = x+1 x Dada las funciones, g : [ 3, [ R x g(x) = 1 x+3 f : R R x f(x) = x 2 2x entonces, completar las afirmaciones 13. Dada las funciones en su dominio máximo entonces:, g : [ 1, [ R x g(x) = 3x 2 dom(g f) =... (g f)(2) =... (g f)(x) =... (g f f)(x) =... f(x) = 2x+1; Determine si la afirmación son verdaderas o falsas a) f(x 1) = 2x... b) f(2x) = 4x c) f(g(x)) = 3x+5... d) g(f(x 2)+2) = 1 6x... g(x) = 2 3x 14. Dadas las funciones h : R {1} R { 3}, h(x) = 2 3x y k : [ 1, [ R, x 1 tal que k(x) = 1 2x. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones a) h 1 (2) = b) Rec(k) = [3, [... c) h(k(x)) = 6x 1 2x... d) k(h(x) = 7x 5 x 1...

5 15. Dada la función f : A R R tal que f(x) = x 5 entonces, complete las siguientes afirmaciones a) El máximo dominio de f es... b) El valor de f(f(9)+3) = es... c) El recorrido de f es... d) La(s) preimagen(es) de 4 es (son) Determine cuáles de las siguientes funciones son biyectivas y encuentre su inversa a) f : R {2} R { 1}, tal que f(x) = x 2 x b) f : [ 3 2, [ [0, [, tal que f(x) = 2x 3 c) f : R [ 4, [, tal que f(x) = 3x 2 4 d) f : [0, [ ],3], tal que f(x) = 6x 3(x 2 +2x 1) e) f : R {1} R {3}, tal que f(x) = 2 x Para que f : A B definida por f(x) = x 2 6x+4 sea biyectiva se debe tener que: a) A = B = R b) A = R; B = [ 5, [ c) A = [3, [; B = R d) Ninguno de los anteriores. 18. Para que la función f : A B definida por f(x) = x 2 +x+1 sea biyectiva se debe tener que: a) A = B = R b) A = [ 1 2, [ y B = [ 3 c) A = [ 1, [ y B = R 2 [ 3 [ d) A = R y B =, 2 e) Ninguna de las anteriores 2, [ 19. Dada la función l : R {1} R { 1} ; l(x) = x+1 entonces la funciones inversa x 1 l 1 : R { 1} R {1} ; l 1 (y) = Dada la función k : [ 1, [ ],3] ; k(x) = 3 x+1 entonces la funciones inversa k 1 : ],3] [ 1, [ ; k 1 (y) =...

6 21. Considere las siguientes afirmaciones I La función f : R [0, 1], f(x) = sinx es creciente II La función g : R R +, g(x) = 2 x es decreciente III La función h : R + R, h(x) = log(x 2 2) es inyectiva MARQUE LA ALTERNATIVA CORRECTA a) Sólo II es verdadera b) Sólo II y III es verdadera c) Sólo III es verdadera d) I, II y III es verdadera e) Ninguna de las anteriores. 22. Considere las siguientes afirmaciones I La función f : R [0, 1[, f(x) = x [x] es epiyectiva II La función g : R R +, g(x) = e x es biyectiva III La función h : R + 0 R, h(x) = x 2 x 2 es inyectiva MARQUE LA ALTERNATIVA CORRECTA 23. Sea a) Sólo II es verdadera b) Sólo II y III es verdadera c) Sólo I y II es verdadera d) I, II y III es verdadera e) Ninguna de las anteriores. a) Pruebe que f es biyectiva b) Defina f 1. f : R { 2,4} R { 5,1} 6 x f(x) = x2 x 6 x 2 2x Decidir, justificando adecuadamente, si es verdadero o falso: a) El gráfico de la función y = ax 2 + bx + c corta al eje de las x en dos puntos distintos si y solamente si b 2 4ac < 0 b) Sea f(x) = x+1,x R y g(x) = ln(x+3),x ] 3, [ entonces (g f)(x) = ln( x+1 +3),x R. c) Si f es una función decreciente en D entonces f es una función creciente en D. d) La compuesta de dos funciones inyectiva es inyectiva.

7 e) Si f : [3,4] R con f(x) = 3 x 1 9 entonces f 1 (x) = lg 3 (x + 9) + 1 con R =]0,18[ 25. Considere la función f(x) =... y b... { ax 2 +1 x 0 x 2 +b x < 0 entonces f es inyectiva si y sólo si a 26. Dada la función f : [0,1[ [1, [ x f(x) = 1 1 x 2 a) Pruebe que f es biyectiva b) Determine la inversa de f 27. Dada la función f [0, [ [ 1,1[ x 1 x x+1 Demostrar que f es biyectiva, y determinar su inversa 28. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Si f y g son funciones inyectivas en D R entonces la suma f + g es inyectiva en D. b) Si f y g son funciones biyectivas entonces el producto f g es biyectiva Modelación 29. Una pareja de enamorados vive en dos ciudades distantes 10 kilometros una de la otra. El joven sale a la convenida para encontrarse con su amada. Si x representa la distancia recorrida por el joven y T(x) representa el tiempo empleado en recorrer esta distancia por el joven. a) Si la joven sale a la hora, pero ansiosa por el encuentro a pura el paso y camina 1 km/hrs más de prisa que el joven entonces 1) La función T(x) es igual a... 2) El dominio en este caso es... b) Trascurrido el tiempo la joven, ya desilucionada por estos encuentros, sale media hora después de la hora convenida y su velocidad es igual a la del joven entonces 1) La función T(x) ahora es igual a... 2) El dominio en este caso es...

8 30. La orilla de una piscina forma un rectángulo de 40 pies de largo y 20 pies de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 3 a 7 pies en un tramo horizontal de 24 pies y después continúa al mismo nivel los restantes 15 pies, como se ilustra en la figura, la cual muestra una sección transversal. Si la piscina se está vaciando, alcanzando un nivel h en el lado más profundo. Determine el volumen V(h) del agua en función de la altura h, especificando su dominio 31. Se desea construir un silo en forma cilíndrica rematado por un cono de altura igual a la del radio. a) Si r y h representan el radio y la altura del cilindro 1) Exprese el volumen del silo en función del radio r y la altura h. 2) Si el volumen del silo debe ser V o m 3, y el costo de construcción por m 2 de la parte cilíndrica (pared lateral) es la mitad del costo del m 2 del fondo y sabiendo además que el costo de construcción del fondo y la parte cónica es $P. Determinar la función y dominio del costo de construcción del silo en función del radio r. 3) En qué tanto por ciento varía el área lateral del cilindro si el radio y la altura aumentan en un 10%. 32. Un estanque con cierta cantidad de agua tiene forma de cono invertido. Al agregarle 10 litros, el nivel de agua sube en un 20%. Si la base del cono fuese reducida en 40%, manteniendo la misma altura resultaría un cono que estaría lleno con la cantidad de agua inicial. Sabiendo que la altura del estanque es 50cm. decida si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) El radio inicial del cono es 12,5cm. b) El agua contenida en un comienzo en el cono es de 33,5 litros. c) Al reducir la base del cono en un 40% y sabiendo que la altura es de 50cm. entonces el volumen del cono se reduce en un 6,6%. d) Ninguna de las anteriores. 33. Se tiene un lingote de Cobre con una pureza de 82% y pesa 360 gramos Cuánto gramos de un segundo lingote de 50% de pureza debe agregarse al primer lingote para obtener una aleación de un 70% de pureza? Dos tuberías tardan 6 horas en llenar una piscina. Una sola la llenaría 5 horas más aprisa que la otra. Cuanto tardará cada tubería sola en llenar la piscina? a) Las ecuaciones que representan el problema son: x+t = 6 y x 5 = t. b) La primera tubería llena la piscina en 10 horas ;la segunda en 15 horas. c) La primera tubería llena la piscina en 7 horas ;la segunda en 12 horas. d) Ninguna de las anteriores.

9 34. En una empresa de publicidad, una máquina antigua puede preparar todo el correo en 8 horas. Con ayuda de una máquina nueva el trabajo se termina en 3 horas. Cuanto tiempo tardaría la máquina nueva en hacer sola todo el trabajo?. 35. El área de una página rectangular con márgenes de 600cm. Si el margen superior e inferior mide 4 cm 2 y los márgenes laterales miden 2 cm 2. Expresar el área destinada al texto de la página en función de uno de los lados. 36. Un producto tiene un costo por unidad de x, donde x indica el número de unidades. Si el precio de venta por unidad es de Determine: a) la ganancia máxima, b) cuando hay perdida, c) la función ganancia en términos de x. 37. Un individuo puede disponer de hasta 24 horas de ocio por día y un ingreso no proveniente del trabajo de $ diarios. Por cada hora dedicada al trabajo recibe $ 100. Si su grado de satisfacción se podría medir por la función U = I R (donde I= ingreso; R= horas de ocio). Determine U en función de x (donde x horas de trabajo). Gráfica 38. Graficar las siguientes funciones a) y = 2x+1 b) y = 3x 1 c) y = x+1 d) y = 2 e) y = 2x 1 f) y = x 2 +2x 1 g) y = x 2 +2x h) y = x 2 2x i) y = x 2 +3x+2 j) y = x 2 2x+3 k) y = x 2 +2x+1 l) y = 2x 2 +x 1 m) y = x 2 +2x+1 n) y = x+1 o) y = x+1 p) y = x 1 +2 q) y = 2x+1 +x r) y = 2x x 39. Graficar las ambas funciones a) y = x 2 +2x+1 y y = x+1 b) y = x 2 +2x 1 y y = 2x+1 c) y = x 2 +2x y y = x+3 d) y = x 2 +2x+1 y y = x+1 e) y = x 2 +2x+3 y y = Considere los graficos anteriores para resolver a) x 2 +2x+1 > x+1 b) x 2 +2x 1 2x+1 c) x 2 +2x x+3 d) x 2 +2x+1 < x+1 e) x 2 +2x+3 5

10 41. Sean las funciones h(x) = x 2 3x + 1, g(x) = 2x 2 + 3x + 6, entonces considere las siguientes a) El conjunto solución de la inecuación h(x) g(x+1), es... b) El conjunto solución de la inecuación h(x) g(x) 1 es... c) El conjunto solución de la inecuación h(x) g(x) es Dada la funcion k(x) = x+5 x 5 y la expresión A = k( 25 x ) k(x) 1+k(x) a) Al simplificar la expresión, se obtiene A =... b) Si A = 2 entonces x =... c) SiA > 2,entonceslainecuacióntienecomoconjuntosoluciónS = Dada la función f(x) = 9 x 2, entonces considere la inecuación f(x+1) 1 El conjunto solución de esta inecuación es Dada las funciones f(x) = 2x+3 y g(x) = x 2 +2x 1, entonces la ecuación f(x) g(x+2) tiene como conjunto solución a Sea f (x) = 3x+2, explicitar y grafique las siguientes funciones que se obtienen a partir de f. a) f (x+2) b) f (x 2 ) c) f (x 2 +2)

11 d) f (x 2 ) Sea f (x) = x + 3, explicitar y grafique las siguientes funciones que se obtienen a partir de f. a) f (x+2) b) f (x 2 ) c) f (x 2 +2) d) f (x 2 ) Sean las funciones f (x) = 4x 2 +3x 2, g(x) = 2x 3 a) Calcular (f (3) g( 2)) : (g(4) f (5)) b) Calcular f (2x) g(x 2 ) c) Determine una función h(x) tal que h(x) = (f (x)) 2 g(x 2 ) 48. Sea f(x) = ax 2 +bx+c determine a, by c de modo que la gráfica de f pase por los puntos (0,0), (1,1) y ( 1,1) 49. Sea f (x) = 4x+1 y g(x) = 4x 2 a) Determine k(x) = (f (x)) 2 g(2x) b) Grafique la función k definida en (a) c) Determine el máximo dominio y recorrido para que la función definida en (a) sea biyectiva d) Defina f(g(x)) y g(f(x)) e) Determine f 1 (x) 50. Sea f (x) = 2x 3 y (f g)(x) = (x+3) determinar g(x) x Dadas la funciones f : [ 3,3] R ; f(x) = 9 x 2 g : R R ; g(x) = 2x 2 +3x+6 h : R R ; h(x) = x 2 3x+1 Completar las siguientes afirmaciones: a) (f g)(x) es igual a... y dom(f g) es igual a... b) (g h)(x) es igual a... y dom(g h) es igual a Sea 3x si x 1 f (x) = x 2 +1 si 1 < x 2 2x 3 si 2 < x

12 a) Calcular f ( 2)+f ( 1 2) 2f (5) b) Graficar f (x) c) Defina f (x+2) d) Graficar la función definida en (c) 53. Sea 1 2x 2 si x 1 f (x) = x 1 si 1 < x 1 x 2 2 si 1 < x a) Calcular f ( 2)+f ( 1 2) 2f (5) b) Graficar f (x) c) Defina f (x+2) d) Graficar la función definida en (c) 54. Dada la función entonces la grafica de g es: Logarítmo y Exponencial 55. Resolver la siguiente ecuación en R 56. Demostrar g : [ 4,4] R, g(x) = x 2 2 log 3 2 (x)+ log x(9) = 10 1 log x (3) (log 5 (x)) 2( log x (5x 2 ) ) = El conjunto solución de la inecuación es: a) { } 1 27 b) Φ c) { 1, 243 } 27 d) { 243 } e) Ninguna de las anteriores. log x ( 3x 2 ) (log 3 x) 2 = La solución de la inecuación es... log 1/3 ( x 2) log 1/3 4 log 9 (3)

13 59. Resolver la siguiente inecuación ( log 1/3 x 2 +x ) +log 3 (2x+4) 0 S = El conjunto solución de la inecuación es: log 2 (log1(x 2 1)) < 1 2 a) φ b) ] 1 2 5, 1 2 5[ c) ] 1 2 5, 1[ ]1, 1 2 5[ d) ] 1,1[ e) Ninguna de las anteriores. Justifique adecuadamente. 61. El conjunto solución de la inecuación es: a) φ b) ] 2, 4[ c) ], 2[ ]4, [ d) ]4, [ 3( 1 3 )6x 7 x2 < 9 x2 2x e) Ninguna de las anteriores. 62. El conjunto solución de la inecuación ( ( log1 log9 x )) > 1 2 es: a) R b) R [ 1,1] c) Φ d) R + e) Ninguna de las anteriores.

14 63. El conjunto solución de la inecuación log 1/9 ( x 2) log 1/3 ( 4 x) 1/4 es: a) φ b) ]2, 3] c) ]0, 3] d) [3, [ e) Ninguna de las anteriores. 64. Dada la f : A R tal que f(x) = log 1/3 (1 x) entonces, complete las siguientes afirmaciones a) El máximo dominio de f es... b) El recorrido de f es... c) La(s) preimagen(es) de 1 es (son) Sean f : [1, 7] [1, 3], f(x) = log 2 (x+1) y g : [2, 18[ [0, 6[, g(x) = x 2. entonces, complete las siguientes afirmaciones 66. Sea a) El dominio de g f es... b) Sabiendo que f es biyectiva, el valor de f 1 (x) es... c) El valor de f (3)+(f g)(5) es... g d) El valor de (g f)(x) es... f : ]1, [ R x log 5 ( x 1) g : R {0} R x 5x 1 5 x 5 x a) Determinesif esbiyectiva(sinoloesrestringirf demodoquelosea)yencuentre f 1 (especificando su dominio) b) Determine la función g f (especificando su dominio) 67. El dominio D de la función f : D R R + x log 2 (log 1/2 (x 2 3)). es Sea f : [3,4] R tal que f(x) = 5 x De las siguientes afirmaciones solo una es verdadera. Determínela y justifique. a) f 1 (x) = log 5 (x+25)+1; y R =]0,100[ b) f 1 (x) = 3+log 5 x; y R = [0,100]

15 c) f 1 (x) = log 5 (x+25)+1; y R = [3,4] d) f 1 (x) = log 5 (x+25) 1; y R = [0,100] 69. La función f(x) = x 1 [x] + 1/2 x definida en [ 1,3[ corresponde a la función por parte (sólo expresión polinomial) f(x) = cuya gráfica es 70. Seanf(x) = log 3 (1 x )yg(x) = 3 2x +3 x+1 funcionesdefinidasensudominiomáximos a) Es f biyectiva? En caso de no serlo b) Restringir f de modo que sea biyectiva y encuentre f 1. c) Determinar la función g f. d) Determinar x en R tal que g(x) < 10.