Funciones reales Introducción

Transcripción

1 Capítulo 3 Funciones reales 3.1. Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. Este concepto formaliza matemáticamente la interdependencia entre dos cantidades, situación que se presenta en la modelación de una gran cantidad de importantes situaciones de caracter aplicado. Si bien la idea que encierra este concepto surgió en la Grecia clásica no es hasta el año 1694 en que la palabra función aparece por primera vez en los trabajos del matemático alemán Leibniz, pero referida sólo al ámbito geométrico. Posteriormente, en el año 1718, J. Bernoulli, alumno destacado de Leibniz, entrega el primer intento de definir función independiente del lenguaje geométrico: Una función de una cantidad variable es una magnitud formada de alguna manera de esta cantidad variable y constantes 66

2 Resumen de contenidos Posteriormente, L. Euler, alumno brillante de J. Bernoulli, afinó el concepto de función dando la siguiente definición en su libro Cálculo diferencial: Cantidades que dependen de otras de modo que cuando la segunda cambia, también cambia la primera, son llamadas funciones Finalmente, y sólo en el siglo pasado, el matemático alemán Direchlet entrega una definición suficientemente general de función, que es la que actualmente se usa. Una cantidad variable y se dice ser una función de una cantidad variable x, si para cada valor de la cantidad x corresponde un único valor de la cantidad y 3.2. Definición de función Sean A y B dos subconjuntos de R. Una función real f de A en B es una regla que hace corresponder a cada x del conjunto A un único número real y en B, denotado por f(x). Esta función se denota por: Nota: Un ejemplo de función es: 3.3. Nociones básicas En lo que sigue f : A B x y = f(x) f : R \ {1} R f : A B, x y = f(x) = x + 3 x 1 g : C D son funciones, donde A, B, C y D son subconjuntos de R. Si b = f(a), b se llama imagen de a y a se llama pre-imagen de b. A se llama Dominio de f, lo que se denotará Dom(f) = A. El conjunto B se llama Codominio de f, que se denotará Cod(f). El subconjunto de B: {b B / b = f(a), para algún a A} es llamado Recorrido de f, y se denotará Rec(f). Instituto de Matemática y Física 67 Universidad de Talca

3 Resumen de contenidos La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y = f(x) y consiste en la curva de todos los puntos (x, f(x)) del plano cartesiano. En la función y = f(x), la variable x recibe el nombre de variable independiente y la variable y recibe el nombre de variable dependiente. Nota: En lo que sigue una función como la f del ejemplo anterior, será presentada simplemente por su fórmula: y = f(x) = x + 3. En tal caso se subentenderá que su dominio es el x 1 máximo subconjunto de R donde la fórmula puede evaluarse (regla del máximo dominio), y que su codominio es R. Ejemplos gráficos: Consideremos la función y = f(x) = x 2 + 5, con dominio [ 3, 4]: Dominio de y = f(x) Recorrido de y = f(x) Imagen de x = 3 Preimagen de y = 15 Instituto de Matemática y Física 68 Universidad de Talca

4 Resumen de contenidos 3.4. Igualdad de funciones f = g siempre y cuando A = C, B = D y f(x) = g(x) para todo x en A Composición de funciones La función compuesta g f está definida siempre y cuando Rec(f) C, en tal caso g f : A D, definida por (g f)(x) = g(f(x)), para x A Nota: El dominio de g f es el conjunto de todos los números x, tales que x está en el dominio de f y f(x) está en el dominio de g Tipos especiales de funciones 1. f es inyectiva o 1-1 o uno a uno [f(a) = f(b) = a = b, a, b A] Gráficamente: Una función es inyectiva cuando toda recta horizontal, intersecta a su gráfico en a lo más un punto. Observar que toda recta horizontal corta el gráfico en a lo más un punto. Función inyectiva Observar que al menos una recta horizontal corta el gráfico en más un punto. Función no inyectiva Instituto de Matemática y Física 69 Universidad de Talca

5 Resumen de contenidos 2. f es sobreyectiva o sobre o epiyectiva Rec(f) = B 3. f es biyectiva f es 1-1 y sobre Función inversa Si f de A en B es biyectiva, existe una única función f 1 : B A, llamada función inversa de f y definida por: f 1 (y) = x y = f(x) Notas: 1. f 1 f = id A y f f 1 = id B, donde la notación id X denota la función identidad en X, es decir, id X : X X definida por id X (x) = x, para todo x X. 2. Si y = f(x) tiene función inversa, el gráfico de la inversa es el gráfico simétrico respecto a la recta y = x, del gráfico de f. Relación entre el gráfico de una función y su inversa (cuando tiene inversa) 3.8. Álgebra de funciones Las funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones: suma, diferencia, producto y cuociente, de la siguiente manera: 1. (f ± g)(x) = f(x) ± g(x). Dom (f ± g) = Dom f Dom g. 2. (fg)(x) = f(x)g(x). Dom (fg) = Dom f Dom g. 3. ( fg ) (x) = f(x) g(x), g(x) 0. Dom ( fg ) = (Dom f Dom g) \ {x / g(x) = 0}. Instituto de Matemática y Física 70 Universidad de Talca

6 Resumen de contenidos 3.9. Funciones pares e impares Una función f es par cuando cumple f(x) = f( x), para todo x. Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y. Una función f es impar si cumple f( x) = f(x), para todo x. Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas. Función par Función impar Funciones crecientes y decrecientes Una función f es creciente en un intervalo I cuando: a < b, a, b I = f(a) f(b) es decir, cuando su gráfico sube de izquierda a derecha. Instituto de Matemática y Física 71 Universidad de Talca

7 Resumen de contenidos Una función f es decreciente en un intervalo I cuando: a < b, a, b I = f(a) f(b) es decir, cuando su gráfico baja de izquierda a derecha. Función creciente Función decreciente Relación entre los gráficos de una función y sus funciones relacionadas Se denominan funciones relacionadas con una función dada y = f(x) a las siguientes funciones: g 1 (x) = f(x) + a g 2 (x) = f(x) a g 3 (x) = f(x + a) g 4 (x) = f(x a) g 5 (x) = f(x) g 6 (x) = f( x) g 7 (x) = bf(x) g 8 (x) = f(bx) g 9 (x) = f(x) donde a > 0 y b es un número real no nulo. Existen procedimientos para obtener fácil y rápidamente los gráficos de las funciones relacionadas, a partir del conocimiento del gráfico de y = f(x). La manera de proceder se indica en la siguiente tabla: Instituto de Matemática y Física 72 Universidad de Talca

8 Resumen de contenidos Definición de la función g Operación a realizar a la gráfica de f para obtener la gráfica de g. g 1 (x) = f(x) + a Subirla a unidades g 2 (x) = f(x) a Bajarla a unidades g 3 (x) = f(x + a) Trasladarla a unidades a la izquierda g 4 (x) = f(x a) Trasladarla a unidades a la derecha g 5 (x) = f(x) Dibujar la curva simétrica con respecto al eje X g 6 (x) = f( x) Dibujar la curva simétrica con respecto al eje Y g 7 (x) = bf(x), b > 0 Estirarla verticalmente en un factor b, cuando b > 1 Contraerla verticalmente en un factor 1/b, cuando 0 < b < 1 g 7 (x) = bf(x), b < 0 Las mismas operaciones del caso anterior, pero agregando una reflexión en torno al eje X g 8 (x) = f(bx), b > 0 Contraerla horizontalmente en un factor b, cuando b > 1 Estirarla horizontalmente en un factor 1/b, cuando 0 < b < 1 g 8 (x) = f(bx), b < 0 Las mismas operaciones del caso anterior, pero agregando una reflexión en torno al eje Y g 9 (x) = f(x) La parte positiva queda igual y la parte negativa se refleja en el eje X Instituto de Matemática y Física 73 Universidad de Talca

9 Resumen de contenidos Por ejemplo, si el gráfico de una función y = f(x) es: Gráfico de y = f(x) a continuación se entrega el gráfico de y = f(x) junto al gráfico de algunas de sus funciones relacionadas: y = f(x) a(x) = f(x 3) y = f(x) b(x) = f(x + 2) Instituto de Matemática y Física 74 Universidad de Talca

10 Resumen de contenidos y = f(x) c(x) = f(x) + 2 y = f(x) d(x) = f(x) 3 y = f(x) e(x) = 2f(x) y = f(x) g(x) = f(2x) Instituto de Matemática y Física 75 Universidad de Talca

11 Resumen de contenidos y = f(x) h(x) = f( x) y = f(x) i(x) = f( x) y = f(x) j(x) = f(x/2) y = f(x) k(x) = f(x) Instituto de Matemática y Física 76 Universidad de Talca

12 Ejemplos Ejemplos 1. A continuación se entrega la gráfica de una función y = f(x): y 3 2 1,5 1 0, , ,5-1 x -2 a) Determina el valor aproximado de: f(3), f( 2), f( 1), f(0) b) En qué punto(s) f no está definida? c) Determina el dominio de f d) En el intervalo ] 1, 0[ del eje Y, hay imágenes de f? 4 e) Determina el recorrido de f f ) Determina el valor de x 1, x 2, x 3 y x 4 tal que: f(x 1 ) = 0; f(x 2 ) = 2; f(x 3 ) = 1/2; f(x 4 ) = 2 g) f inyectiva?. Justificar la respuesta. h) Por simple observación de una gráfica es posible resolver inecuaciones. Cuál es el conjunto solución de la inecuación f(x) 0,5? i) Cuando se consideran valores de x suficientemente grandes, cuál es el comportamiento de f? Instituto de Matemática y Física 77 Universidad de Talca

13 Ejemplos Solución: a) f(3) = 3, f( 2) = 2, f( 1) = 1, f(0) = b) f no está definida solamente en x = 2 c) Dom(f) = R \ {2} d) No e) R\] 1/4, 0] f ) No hay 1,8 1 y 6 2 y 5 2 g) No, por ejemplo: f( 1) = f(6) = 1 2 h) [ 1, 2 [ [6, + [ i) Se aproxima a 0, es decir a medida que x crece, las imagenes se van acercando al 0 2. Sea f(x) = 2x 1 x + 3 a) Determinar A, el dominio de f. b) Mostrar que f es inyectiva. una función real. Sean A = Dom(f) y B = Rec(f). c) Determinar B, el recorrido de f. d) Calcular f 1 (x). Solución: a) A = Dom(f) = R \ { 3}. b) Sean a, b A tal que f(a) = f(b). f(a) = f(b) = 2a 1 a + 3 = 2b 1 b + 3 Luego f es inyectiva. c) Sea y R. ( x A) : f(x) = y 2x 1 x + 3 = 2ab + 6a b 3 = 2ab + 6b a 3 = a = b. = y 2x 1 = yx + 3y x = 3y y. Instituto de Matemática y Física 78 Universidad de Talca

14 Ejemplos Por lo tanto B = Rec(f) = R \ {2}. d) Considerando A y B determinados anteriormente se tiene que f es biyectiva. Por lo tanto f es invertible, y f 1 (x) = 3x x. 3. Sea f la función de R en R definida por la relación: 2y = 1 3xy. Sean A = Dom(f) y B = Rec(f). a) Determinar A y B. b) Probar que f : A B es biyectiva. c) Calcular f 1 (x). Solución: a) Como y(2 + 3x) = 1, luego y = x. Entonces: A = Dom(f) = R \ { 2/3}. Como x = 1 2y se tiene que, B = Rec(f) = R \ {0}. 3y b) f : A B está definida por: f(x) = x, f es 1-1. En efecto: Sean a, b A : f(a) = f(b) f(a) = f(b) = a = 1 = 2 + 3a = 2 + 3b = a = b 2 + 3b f es sobre ya que B =Rec(f). Luego, f es biyectiva. c) f 1 (x) = y x = f(y) x = y Luego, f 1 (x) = 1 2x 3x. y = 1 2x 3x. 4. Considerar la función f definida por: a) Determinar Dom(f) b) Calcular f(0), f(7), f(13), y f( 5) Solución: 1 si 1 < t < 5 f(t) = 3 si 5 t 7 t 3 si 7 < t 50 Instituto de Matemática y Física 79 Universidad de Talca

15 Ejemplos a) Esta función está definida por más de una ecuación. El dominio de f es el conjunto de todos los t tales que 1 < t 50, es decir, Dom(f) =] 1, 50]. b) El valor de t determina qué ecuación se debe utilizar: f(0) = 1 pues 1 < 0 5 f(7) = 3 pues f(13) = 13 3 = 10 pues 7 < f( 5) no está definido, ya que 5 no pertenece al Dom(f). 5. Considerar la siguiente función: f(x) = 4 x x si x 1 si x < 1 a) Determinar Dom(f). b) Calcular el valor de 3 f( 3) f( 1) + (f f)( 5). c) Determinar, en caso que exista(n), la(s) preimagen(es) del 10. d) Sea g(x) = 2x + 5. Calcular (f g)(x). Solución: a) Para x 1 ( ): f(x) = 4 no está definida en x = 3 y como 3 satisface ( ), se tiene que x 3 3 / Dom(f) Para x < 1 ( ): f(x) = 12 no está definida en x = 1 pero como 1 no satisface ( ), no hay 1 x que sacar el 1 del Dom(f). Por lo tanto: Dom(f) = R \ {3}, b) f(3) f( 1) + (f f)( 5) = 3 1 ( 3) 4 ( 1) 3 + f(f( 5)) = ( ) 4 + f 12 1 ( 5) = f(2) = = 10 4 = 6 Instituto de Matemática y Física 80 Universidad de Talca

16 Ejemplos c) Para x 1 ( ): f(x) = 4 = 10 = x = 3,4 y como 3.4 satisface ( ), x = 3,4 es una x 3 preimagen del 10. Para x < 1 ( ): f(x) = 12 = 10 = x = 0,2, pero como x = 0,2 no satisface ( ), 1 x x = 0,2 no es una preimagen del 10. Por lo tanto, la única preimagen del 10 es x = 3,4 d) (f f)(x) = f(f(x)) = f(2x + 5) Si 2x + 5 1, es decir, x 3: f(2x + 5) = Si 2x + 5 < 1, es decir, x < 3: f(2x + 5) = Luego: (f f)(x) = 2 x x (2x + 5) 3 = 2 x (2x + 5) = 6 x + 2 si x 3 si x < 3 6. Considerar las función f y g definidas por: f(x) = { 2x si x 0 3 x si x > 0 { 2 x + 2 si x 2 g(x) = x 4 si x < 2 a) Calcular f( 3), g(14), f(10 4 ), g( 10). b) Calcular (f g)( 13), (f f)( 8), (g f)(49), (g g)( 2). c) Obtener los gráficos de f y g. d) Por inspección de los gráficos obtenidos, determinar Solución: i) si estas funciones son inyectivas, sobreyecticas o biyectivas. ii) recorrido de f y g a) f( 3) = 2 ( 3) = 6, g(14) = = 8, f(10 4 ) = = 300, g( 10) = ( 10) 4 = 6. b) (f g)( 13) = f(g( 13)) = f( ( 13) 4) = f(9) = 3 9 = 9, (f f)( 8) = f(f( 8)) = f( 2 8) = f(16) = 3 16 = 12, (g f)(49) = g(f(49)) = g(3 49) = g(21) = = 2 23, (g g)( 2) = g(g( 2)) = g(0) = 2 2. Instituto de Matemática y Física 81 Universidad de Talca

17 Ejemplos c) Gráficos de f y g: Función y = f(x) d) i) f no es inyectiva, no es sobreyectiva, no es biyectiva. g no es inyectiva, no es sobreyectiva, no es biyectiva. ii) Rec(f) = [0, + [ y Rec(g) =] 2, + [ Función y = g(x) 7. Considerar la función f definida por: f(x) = x x a) Determinar dominio y recorrido de f y de g. b) Determinar A, B R para que f 1 : A B, sea función. (A dominio máximo). Encontrar f 1 (x). Solución: a) Se tiene que f(x) esta definida si y sólo si 2 x 0, es decir, si y sólo si x 2, luego Dom(f) = R \ {2}. El recorrido de f es el conjunto de los y R tal que y = f(x) = x+4 para algún 2 x x Dom(f). Despejando x en función de y se tiene: y = x x = (2 x)y = x + 4 2y xy = x + 4 2y 4 = x + xy 2y 4 = x(1 + y) x = 2y y Se debe tener que 1 + y 0 = y 1. Luego Rec(f) = R \ { 1}. Instituto de Matemática y Física 82 Universidad de Talca

18 Ejemplos b) f 1 es función f es biyectiva. Como f : Dom(f) Rec(f) es biyectiva, entonces basta tomar A = Rec(f) = R \ { 1}, B = Dom(f) = R \ {2} f 1 (x) = 2x x (ver parte (a) donde se despejó x). 8. Un campesino va a cercar un pastizal rectangular que se encuentra al lado de un río. No se requiere alambrada a lo largo del río. Si el área del potrero es de 3.200m 2, expresar la longitud de la cerca como una función de la longitud del lado no cercado. Solución: Sean x e y variables que denotarán las longitudes de los lados del potrero, y L la longitud de la cerca, luego: L = x + 2y y xy = 3200 Como se quiere la longitud de la cerca expresada como una función de x se debe encontrar una ecuación que relacione a x y a y, o sea, se debe expresar y en términos de x. De lo anterior se tiene: y = 3200 x Luego: L = f(x) = x x Notar que la función f está definida sólo para valores de x distintos de cero, además x representa la longitud de uno de los lados de la cerca, luego x no puede ser un número negativo. Luego, el Dom(L) =]0, + [. 9. Se dice que y varía directamente con x o que y es directamente proporcional a x, cuando existe k R, k 0 tal que y = kx Cuando existe una constante k 0 tal que y = k x Se dice que y varía inversamente con x o que y es inversamente proporcional a x. En ambos casos k se llama constante de variación o de proporcionalidad. Observación: Que w varía conjuntamente con x e y equivale a la existencia de k 0 tal que w = kxy Escribir cada enunciado en relación funcional. Instituto de Matemática y Física 83 Universidad de Talca

19 Ejemplos a) Los geólogos han encontrado, en estudios sobre la erosión de la tierra, que la fuerza erosiva P de una corriente rápida de agua varía directamente con la sexta potencia de la velocidad v del agua. b) El biólogo Reaumur propuso en 1735 que el tiempo t que toma una fruta en madurar en la temporada de crecimiento varía inversamente con el promedio T de la temperatura de los días de la temporada de crecimiento. Solución: (a) P = kv 6 ; (b) t = k T 10. El número N de genes alterados que resulta de una exposición a los rayos X es directamente proporcional a la dosis d de exposición. Cuál es el efecto sobre N si d se cuadruplica? Solución: De los datos del problema se tiene: N = kd. Ahora si d se cuadruplica, entonces N = k(4d) = 4kd. Luego N también se cuadruplica. 11. Una variable u varía directamente con la raíz cuadrada de v. Si u = 10 cuando v = 4, encontrar el valor de u cuando v = 8. Solución: De la relación entre las variables, se tiene u = k v. Ahora como u = 10 cuando v = 4, se tiene que 10 = k 4, de donde k = 5. Luego u = 5 v. Ahora, si v = 8 se tiene que u = 5 8 = Por lo tanto, u = 10 2 cuando v = Una compañía de seguros examinó los historiales de un grupo de personas hospitalizadas por una cierta enfermedad. Se descubrió que la proporción total de los que habían sido dado de alta al final de t días de hospitalización está dado por f(t), en donde ( ) f(t) = t a) Evaluar f(0) y f(100) b) Al final de cuántos días se habrá dado de alta a la mitad de los pacientes? Solución: Instituto de Matemática y Física 84 Universidad de Talca

20 Ejemplos a) f(0) = 1 ( )3 = 1 ( )3 = 1 1 = f(100) = 1 ( )3 = 1 ( 3 4 )3 = 1 27 = , 578 b) La mitad de los pacientes corresponde a la proporción 0.5 Luego, 0,5 = 1 ( t )3, de donde, ( t )3 = 0, 5. Luego t 77, 976, es decir, aproximadamente en 80 días se habrá dado de alta a la mitad de los pacientes. 13. Durante un programa nacional para inmunizar a la población contra el sarampión, los funcionarios del ministerio de salud, encontraron que los costos de inoculación del x % de la población era aproximadamente de: C = C(x) = 150x 200 x ( ) donde C viene expresado en millones de dólares. a) Graficar la función y especificar la porción del gráfico que es importante para la situación concreta considerada. b) Cuál es el costo para inocular al 75 % de la población?. c) Si sólo se cuenta con 50 millones de dólares, qué porcentaje de la población se lograría inmunizar?. d) Cuánto dinero se requiere para inmunizar al 100 % de la población?. Solución: a) El gráfico de la función que modela la situación planteada es: Mientras, que la porción del gráfico para esta situación es: Instituto de Matemática y Física 85 Universidad de Talca

21 Ejemplos puesto que el dominio práctico es [0, 100]. b) Sustituyendo x = 75 en ( ): C = C(70) = = 90 Luego, el costo para inocular al 75 % de la población es de 90 millones de dólares. c) Sustituyendo x = 50 en ( ): 50 = 150x 200 x Resolviendo esta ecuación, se obtiene que x = 50. Luego, con 50 millones de dólares, se lograría inmunizar al 50 % de la población. d) Sustituyendo x = 100 en ( ): C = C(70) = = 150 Luego, el costo para inocular al 100 % de la población es de 150 millones de dólares. Instituto de Matemática y Física 86 Universidad de Talca

22 Ejercicios Ejercicios 1. Considerar la función f : R {0} R, cuya gráfica es la siguiente: y 3 2, x 2 3 Por inspección del gráfico, a) Calcular 6 {f(2) f(3) + f(4)} b) Calcular f( 3) + 2 f( 2) 123 f( 1) c) Determinar aproximadamente todos los x tales que cumplen que: i) f(x) = 2,5 ii) su imagen es cero. iii) su imagen es positiva. iv) f(x) 1 d) Obtener un esbozo de los gráficos, de cada una de las siguientes funciones asociadas a y = f(x): y = f(x)+1, y = f(x) 1, y = f(x+1), y = f(x 1), y = f(x), y = f(x), y = f( x) 2. Si f(x) = x, encontrar, resolver o responder: x 3 a) La imagen del 2 b) La preimagen del 30 c) f(x + a) = f(x) + a d) Dominio de f e) Recorrido de f f) f(x 2 ) = (f(x)) 2 g) f(2x) 2f(x) h) f( x) f(x) > f(0) i) f(x + h) f(x) h j) f es inyectiva? k) f es sobreyectiva? l) f es biyectiva? m) f tiene inversa? n) f 1 (x) (si es que ) ñ) f(f 1 (x)) Instituto de Matemática y Física 87 Universidad de Talca

23 Ejercicios 3. Determinar dominio (usando la regla del máximo dominio) y recorrido de las funciones siguientes: (a) f 1 (x) = 2x + 3 (b) f 2 (x) = 2x 2 x 5 (c) f 3 (x) = 1 (d) f 2 x 4 (x) = x 2 (e) f 5 (x) = x (f) f 6 (x) = Sean f y g funciones reales definidas por Determinar: f(x) = 3 1 x g(x) = x 2 a) Dominio de f. b) {x Dom(f)/ f(x) = x}. c) Calcular (f + 2g)(5), y (g f)(x). 5. Considerar la función definida por: 2x + 5 si x > 9 f(x) = x 2 x si 9 x 9 x 4 si x < 9 a) Determinar dominio de f b) Esbozar el gráfico de f. c) Por inspección del gráfico de f determinar el recorrido de f. 6. Definir por medio de una fórmula las siguientes funciones: a) A cada número real asignarle por g el número más su valor absoluto. b) La función h asigna a todo número real mayor o igual que 3 el cubo del número, a cada número no negativo menor que tres el número 4, y cada número negativo su inverso multiplicativo. c) Sea x la longitud del lado de un triángulo equilátero. i) Expresar el perímetro P en función de x. ii) Expresar el área A en función de x. iii) Expresar el área A en función de su perímetro P. 7. Dadas las funciones f : R R y g : R R definidas de la siguiente manera f(x) = x 2 + 3x + 1, g(x) = 2x 3. Se pide: Instituto de Matemática y Física 88 Universidad de Talca

24 Ejercicios a) Encontrar (f g)(4), (g f)(4) y (f f)(4) b) Mostrar que en general (f g)(x) (g f)(x) c) Existe algún x R tal que (f g)(x) = (g f)(x)? 8. Un alambre de 16 pulgadas de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los pedazos se hace una circunferencia y con el otro un cuadrado. Determinar una función que exprese la suma de las áreas encerradas, por cada una de las figuras realizadas, en términos de la longitud de uno de los trozos. 9. Dos automóviles salen de una intersección al mismo tiempo. Uno viaja al Oriente a una velocidad constante de 50 Km h, mientras que el otro va hacia el Norte a 30 Km h. Expresar la distancia entre los automóviles como una función del tiempo t. 10. Una hoja rectangular de un libro contiene una superficie de 12 pulgadas cuadradas impresas, con un margen de 1 pulgada tanto arriba como abajo, y 2 pulgadas en cada lado. Expresar el área total de la hoja en función del ancho de la parte impresa. 11. La cantidad de calcio que permanece en la sangre, después de t días de inyectar calcio al torrente sanguíneo, está dada por: donde C está medido en gramos. a) Graficar esta función. C = C(t) = t 3/2, para t 0,5 b) Cuántos gramos de calcio permanecen en la sangre después de 18 horas?. c) En qué instante, la concentración de calcio en la sangre alcanzará 0,2 gramos?. 12. La frecuencia cardíaca (f) se relaciona con la longitud del ciclo (l) de la siguiente manera: f = 1 l donde la frecuencia cardíaca esta medida en latidos/min y la longitud del ciclo es el tiempo entre una onda y otra. Determinar: a) Un gráfico adecuado de la función, que representa el problema. b) Si la longitud del ciclo es de 0.8 seg, cuál es la frecuencia cardíaca?. Instituto de Matemática y Física 89 Universidad de Talca

25 Ejercicios c) Si la frecuencia cardíaca es de 90 latidos/min, cuál es la longitud del ciclo?. d) Al observar el gráfico, qué ocurre con la frecuencia cardíaca cuando la longitud del ciclo aumenta considerablemente?, y qué ocurre con la frecuencia cardíaca cuando la longitud del ciclo es cada vez más pequeña? Respuestas a los ejercicios 1. a) 3 b) 2 c) i) x 2,6, x = 4 ii) x = 3, x = 1, x = 1 iii) ], 3[, ] 1, 0[, ]2, + [ iv) ], 0[, [1,8, + [ 2. a) 2 c) x = 6 a ± a e) R \ {1} g) i) 2x 2 (3 x)(2x 3) 3 (3 x)(x + h 3) k) No, pués Rec(f) = R \ {1} R = Cod(f) m) Considerando f : R \ {3} R \ {1}, la función f tiene inversa, y su inversa es f 1 (x) = 3x x 1 ñ) x 3. a) Dom(f 1 ) = [ 3/2, + [, Rec(f 1 ) = [0, + [ c) Dom(f 3 ) = R \ {2}, Rec(f 3 ) = R \ {0} e) Dom(f 5 ) =], 0], Rec(f 5 ) = [0, + [ 4. a) Dom(f) = R \ {1}. b) f(x) = x 3 1 x = x x = 1 ± Instituto de Matemática y Física 90 Universidad de Talca

26 Ejercicios c) (f + 2g)(5) = f(5) + 2g(5) = = g f : R \ {1} R está definida por (g f)(x) = g(f(x)) = 9 (1 x) a) Dom(f) = R b) El gráfico es: c) Rec(f) = R \ [ 13, 0[ 6. a) g(x) = x + x b) x 3 si x 3 h(x) = 4 si 0 < x < 3 1/x si x < 0 c) i) P = P (x) = 3x ii) A = A(x) = x2 3 iii) A = A(P ) = P a) (f g)(4) = 41, (g f)(4) = 55, (f f)(4) = 929 c) 3 ± A = A(x) = x2 4π círculo. (16 x)2 +, donde con el segmento de longitud x se ha construido el d = d(t) = t Instituto de Matemática y Física 91 Universidad de Talca

27 Ejercicios 10. x: ancho parte impresa, y: largo parte impresa, xy = 12, A = x + 48 x 11. a) Un gráfico de C = C(t) = t 3/2 es: b) La cantidad de calcio que permanece en la sangre después de 10 horas (0, 75 días) es de 1,54 gramos. c) Después de 3 días, aproximadamente, la cantidad de calcio que permanece en la sangre es de 0,2 gramos. 12. a) Un gráfico es: b) 1,25 latidos/min. 1 c) 90 seg. Instituto de Matemática y Física 92 Universidad de Talca

28 Ejercicios d) Al aumentar a valores extremos la longitud del ciclo (más de 1 segundo), la frecuencia cardíaca disminuye a valores cercanos a cero y si la longitud del ciclo es muy pequeña (0,001 segundos) la frecuencia cardíaca aumenta drásticamente. Instituto de Matemática y Física 93 Universidad de Talca