Funciones ACTIVIDADES

Transcripción

1 ACTIVIDADES a) No se trata de una función, ya que el tamaño y el peso de cada fruta varía. b) Es una función, ya que para cada cantidad de fruta comprada hay un único precio según el peso en kilos. c) No es una función. a) Dom f = R c) Dom f = R e) Dom f = R g) Dom f = (6, + ) b) Dom f = R {, } d) Dom f = R f) Dom f =, + 3 h) Dom f = R 373

2 a) f( x) = ( x) ( x) = x x = = es impar. x x b) f( x) = ( x) 6( x) 7 ( x) = x + 6x 7 no es par ni impar. x c) f( x) = 4 ( x) 5 3( x) = 4 x 5 = es par. 3x 374

3 a) = 3 b) = f(x + ) j(x) i(x) a) = + b) h(x) = 3 c) i(x) = f(x ) d) j(x) = f( x) e) k(x) = h(x) k(x) a) c) b) d) 375

4 a) c) b) d) a) Dom f = R b) Dom f = (, 6] U [6, + ) y a) x = + f y (x) = x + c) x = f (x) = x + 4 b) x = y + 4 f (x) = 4 x d) x = y f 3 (x) = x

5 a) Creciente, pues a >. c) Decreciente, pues a <. b) Decreciente, pues a <. d) Creciente, pues a >. a) c) e) a < 0 no se puede representar. b) d) f) 377

6 a) Creciente, pues a >. d) Decreciente, pues a <. b) Decreciente, pues a <. e) Creciente, pues a >. c) Creciente, pues a >. f) Creciente, pues a >. a) c) e) b) d) f) 37

7 a) b) a) arc sen π π = b) arc cos 0 = 4 c) arc tg ( ) = 4 π Primer intervalo (, ): = Recta horizontal, paralela al eje X en y = con extremo en (, ). Segundo intervalo [, 0]: = x 7 Parábola con mínimo (a = > 0) en el vértice (0, 7) y con extremos en (, 3) y (0, 7). Tercer intervalo (0, + ): = 7 x Recta decreciente (m = < 0) con extremo en f(0) = (0, 7). 379

8 Primer intervalo (, ]: x = Decreciente en ese intervalo, con extremo en (, ). Segundo intervalo (, 4]: = x 6x + 9 Parábola con mínimo (a = > 0) en el vértice (3, 0) y con extremos en (, ) y (4, ). Tercer intervalo (4, + ): = 5 Recta horizontal, paralela al eje X en y = 5 con extremo en (4, 5). 0,30 si x ( 0, 5] 0,30 0,0 si ( 5, 50] x f( x) + x = f( x) = 0, ,30+ 0,0 si x ( 50, 75]

9 a) (f g)(x) = = x x+ (3x ) = x x + x+ x (f g)( ) = + + ( ) + 3 3( ) 3( ) ( ) = 9 x b) (f g)(x) = = x+ (3x ) = 3 x+ 3 x x (f g)( ) = 3 3( ) ( ) ( ) + = f c) ( x) g = x f( x) g( x ) = x+ 3x = x f 3 ( x) 3x + 3x x g ( ) = 3( ) + 3( ) ( ) = 3 a) 5 x ( f g)( x) = x ( f g)(4) = 4 = () = x c) ( f ) x ( x ) x ( f ) ( ) = = () = = 3 a) (f g)() = f(g()) = f 3 = 9 c) (f f)() = f(f()) = f(4) = 6 b) (g f)() = g(f()) = g(4) = 7 d) (g g)() = g(g()) = g 3 = 3 3

10 SABER HACER x está definida en x 0. x+ 3 está definida en x x 3. Dom f = [ 3, 0) U [0, + ) = [ 3, + ) {0} cos x = cos (x + π) = cos x = cos (x + π) = cos ((x + π)) = f(x + π) Período = π a) b) 3

11 a) = g(x ) con = x 6 b) = + x = 6 x = + g(x ) a) y = x x = y y = ± x f (x) = ± x No es una función, ya que para cada valor de x, se tienen dos valores y. b) y = log x x = log y 0 x = y f (x) = 0 x 33

12 = 9 x = 3 a) = 9 x b) = 7 x = log 0x = log 0 + log x = + log x 34

13 sen x si x [0, π] f( x) = sen x si x ( π, π ] x si x 0 f( x) = 3x si x < 0 a) f(x) = x + = sen x f3(x) = x = (f3 f f)(x) b) f(x) = x = x f3(x) = x = (f3 f f)(x) ACTIVIDADES FINALES 35

14 a) La gráfica corresponde a una función porque a cada valor de x le corresponde un único valor de y. b) La gráfica no corresponde a una función porque hay valores de x a los que les corresponden dos valores de y. c) La gráfica no corresponde a una función porque hay valores de x a los que les corresponden dos valores de y. d) La gráfica corresponde a una función porque a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Tarificación : Minutos Precio ( ) 0, 0,30 0,36 0,4 0,5 Corresponde a una función porque por cada duración de la llamada le corresponde un único precio. minutos Tarificación : Minutos Precio ( ) 0,05 0,5 0,35 0,45 0,60 Corresponde a una función porque por cada duración de la llamada le corresponde un único precio. minutos Tarificación 3: Entre semana: Minutos Precio ( ) 0,04 0,0 0, 0,36 0,4 36

15 Fin de semana: Minutos Precio ( ) 0,03 0,5 0, 0, 7 0,36 No corresponde a una función porque a cada duración de la llamada le corresponden dos precios, dependiendo del día de la semana en el que se realice la llamada. a) Dom f = R Los tres puntos pertenecen al dominio de la función. b) x + 3x = 0 Dom f = R {0, 3} Solo x = pertenece al dominio de la función. c) ( 3) + = 7 > 0 x = 3 pertenece al dominio. 0 + = > 0 x = 0 pertenece al dominio. + = 3 < 0 x = no pertenece al dominio. d) ( 3) 4 = < 0 x = 3 no pertenece al dominio. 0 4 = 4 < 0 x = 0 no pertenece al domino. 4 = 6 < 0 x = no pertenece al dominio. a) Dom f = R b) Dom f = R {5} c) Dom f = R d) Dom f = R { } 37

16 a) Dom f = 7, + 3 c) Dom f = (, 3] U [, + ) b) Dom f = R d) Dom f = (, 0] U, + 3 a) f( x) = ( x) 3 3( x) = x 3 + 3x = La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. b) f( x) = ( x) 4 = x 4 = La función es par, es simétrica respecto al eje Y. c) f( x) = ( x) ( x) = x + x La función no es simétrica. d) f( x) = ( x) 4 ( x) = x 4 x = La función es par, es simétrica respecto al eje Y. a) f( x) = 3( x) ( x) ( x) = 3 x + x x 3 x + x = La función no tiene simetría. x b) f( x) = 3 ( x) ( x) ( x) + coordenadas. = 3 x + x x + = La función es impar, es simétrica respecto el origen de a) T = 3 0 = 3 b) T = 0 = 3

17 Al depender la superficie visible de las fases en la rotación de la Luna alrededor de la Tierra, la función es periódica. El período es de días. a) c) e) b) d) f) = Pendiente: m = 0 Ordenada en el origen: n = = x 3 Pendiente: m = Ordenada en el origen: n = 3 h(x) = x + Pendiente: m = Ordenada en el origen: n = i(x) = 3 x Pendiente: m = 3 Ordenada en el origen: n = 0 39

18 h(x) i(x) a) ( 6) V, 4 = V(3, ) c) 4 ( 4) V 0, 4 = V(0, 4) b) ( 4) 4 4 ( ) 0 V, ( ) 4 ( ) = V(, 4) d) ( 4) 4 4 ( ) V, ( ) 4 ( ) = V(, 6) a) c) b) d) 390

19 a) Azul. b) Morada. c) Roja. d) Verde. i(x) h(x) Todas son parábolas cuyo vértice es un mínimo, pues el coeficiente de x es mayor que 0. Se obtienen desplazando la parábola x o ampliando/reduciendo la apertura de sus ramas. 39

20 39

21 x a) Los puntos A, B y C están alineados. La función que pasa por ellos es f ( x ) =. 393

22 a) Azul. b) Verde. c) Roja. 394

23 a) Roja. b) Verde. a) La gráfica de se obtiene desplazando la gráfica de 4 unidades a la izquierda sobre el eje X. b) La gráfica de h(x) se obtiene desplazando la gráfica de una unidad hacia arriba sobre el eje Y. c) La gráfica de i(x) es la simétrica de con respecto al eje X; que equivale a la simétrica con respecto al eje Y. 3 a) = + = f(x + ) + x+ 3 b) h(x) = x h(x) = f(x ) + h(x) 3 c) i(x) = + i(x) = f(x + ) x+ i(x) 395

24 a) b) c) a) 3x 0 x 3 Dom f =, + 3 c) Dom f = R b) x 4 0 x, x Dom f = (, ] U [, + ) d) Dom f = [0, + ) a) x 5 0 x 5 x 5 x 5 4 x 9 Dom f = [5, 9) U (9, + ) = [5, + ) {9} b) 3x 0 x 3 x + 0 x x+ 4 x + 6 x 5 Dom f =, 5 3 U (5, + ) =, + 3 {5} 396

25 a) c) b) d) a) x = y 5 y = x+ 5 f (x) = Son inversas. b) x = 3 y y = 3 4x f (x) = Son inversas. 4 c) x = y 3 + y = 3 x f (x) = Son inversas. a) x = y y = x+ f (x) = x+ b) x = y 5 y = ± x+ 5 No existe la inversa, f (x) no es una función, porque para cada valor de x se obtienen dos imágenes. c) x = y+ y = x x f (x) = x x d) x = y y No existe la inversa; f (x) no es una función, porque para cada valor de x se obtienen dos imágenes. 397

26 e) x = 5y y = f) x = x 5 f (x) = x y y = x x+ f (x) = x x+ 5 a) c) b) d) a) x = ln(y + 3) e x = y + 3 y = e x 3 f (x) = e x 3 b) x = y x 3 log5 = y y = log5(x 3) log54 f (x) = log5(x 3) log54 4 c) x = +tg y d) x = sen y y = y = arc tg(x ) f (x) = arc tg(x ) arcsen x f (x) = arcsen x e) x = y + No existe inversa, ya que para cada valor de x, f (x) devuelve dos imágenes; f (x) no es una función. + log3y f) x = 5 5x = log3y y = 3 5x f (x) = 3 5x 39

27 a) Roja. b) Verde. c) h(x) Morada. a) b) h(x) h(x) a) x 3 4 g( x 3) = b) x 4 g( x ) + = + c) + f ( x ) = + 4 x 399

28 x f) f( x) = 4 a) b) a) b) h(x) h(x) a) Morada. b) Roja. c) Verde. 400

29 a) d) b) e) c) f) 40

30 x a) = log x = log + log x b) = log = log x log a) d) = b) e) c) f) 40

31 a) d) b) e) c) f) 403

32 a) b) h(x) h(x) a) b) h(x) h(x) 404

33 a) c) b) d) a) c) b) d) 405

34 x = : x < 0 f( ) = ( ) + f( ) = x = 0: f(0) = 0 f(0) = 0 x = : x > 0 f = f = 3 4 A le corresponde la gráfica a), ya que el punto x = pertenece al segundo trozo. a) b) 406

35 Izquierda de,5,7,05 Derecha de 0 0,5 0,9 0,95, 5, 09, , 5 3, 9 3, 95 A la derecha de x =, las imágenes tienden a 4, es decir, ( ) + 3. a) f(3) = b) f( 5) = c) f( 3, 4) = d) No existe imagen de x =

36 a) Primer intervalo (, 0): Parábola, decreciente hasta x = punto en el que se sitúa el vértice (, 4), y creciente en el resto, terminando en el punto (0, 3). Segundo intervalo [0, + ): Recta creciente empezando en el punto ( 3, 0) incluido. Es continua en todo el dominio. Dom f = R Im f = [ 4, + ) b) Primer intervalo (, ]: Parábola, decreciente en ese intervalo acabando en (, 4) incluido. Segundo intervalo (, ): Recta decreciente con extremos en (, 4) y (, 3), este último punto no incluido. Tercer intervalo [3, + ): Parábola decreciente en ese intervalo empezando en (3, 0) con vértice 3 9 en, 4. Tiene una discontinuidad de salto finito en x =. 9 Dom f = R Im f =, (3, + ) 4 c) Primer intervalo (, ): Función racional, decreciente en ese intervalo. Segundo intervalo [, ]: Parábola con máximo en (0, 4) y extremos en (, 0) y (, 0). Tercer intervalo (, + ): Función racional, decreciente en ese intervalo. Tiene discontinuidades de salto infinito en x = y x =. Dom f = R Im f = (, + ] 40

37 a) c) b) d) 409

38 a) b) x x 4 si x < x 4 si x si x x 4 = = x + 4 si < x< x 4 si x si 0 si x+ < x< x+ x+ = = x+ si x 0 + > si x> x+ x+ si 0 si sen x x+ < sen x x< x+ x+ sen x= = x+ sen x si x 0 + > sen x si x> x+ x+ c) x 3 si x 3< 0 x 3 si x< 3 x 3 = = 3 3 x 3 si x 3 0 x 3 si x 3 a) (f + g)() = (f + g)() = 9 5 b) (f g)() = (f g)() = 4 c) (f g)(3) = (f g)(3) = f d) ( 0) g = f : 4 ( 0) g = 40

39 a) (f + g)(x) = + = 3x + x (f + g)(x) = 3x 7x+ 3 x b) (f (g + h))(x) = (g + h)(x) = h(x) = 3x x x+ = 3x 7x+ ( x ) x+ x c) (f g)(x) = = (3x ) x = 3 x x g d) ( x ) h = g( x) h( x) = x : x+ = x+ x x e) f (x) = (3x ) = 9x 6x + f) (h + f)(x) = h (x) + = x + + 3x = 4x g) (g f + h )(x) = (f g)(x) + h (x) = 3 x x + x + = x + x 3 x f g h) + ( x ) = ( f+ g )(x) h h( x) = x x x 3x 7x+ 3 : x+ = ( x ) x 3x 7x+ 3 x+ = ( ) + x x 4

40 5 a) (f g)() = f(g()) = 4 + = b) (g f)() = g(f()) = 5 (4 + ) = 35 c) (f f)() = f(f()) = 4(4 + ) + = 9 d) (g g)() = g(g()) = 5 5 = 5 f(0) = 5, g() = 0 (f g)() = f(g()) = f(0) = 5 (f g)(x) = f() = 4 (g f)(x) = g() = g(4) = = f (x) = x (f g)(x) = f - () = (x 5) = x 4 0x + 5 (g f )(x) = g(f (x)) = (x ) 5 = x 4 5 a) = x = x 3 c) = x 4 = 3x b) = x 3 = x d) = x+ = x 4

41 ( ) ( ) ( ) d) ( f f)( x) = f f( x) = f x + 4 = x = x + a) h0 = m v0 = 40 m/s h(t) = 40t 4,9t + La altura máxima se dará en el vértice de la parábola: (4,9; 0,35) 0,35 m será la altura máxima que alcanzará el cohete. b) t = 5 s h(t) = ,9 5 + = 79,5 m a) t = 0 P(0) = El precio es de. b) P(x) 43

42 a) Para calcular en este caso cuál es el nivel de monóxido de carbono en función del tiempo hay que componer ambas funciones, por lo que ( ) ( ) ( M P)( t) = M P( t) = + 0, ,3t b) Para t = 0, el nivel de monóxido de carbono será ( ) ( ) M 0 = + 0, ,3 0 = + 43,5= 44,5 3 El volumen total viene dado por la fórmula V( x, b) = x + xb. 44

43 a) Teniendo en cuenta los datos iniciales, como la población inicial son 50 peces, en dos meses habrá 50 peces, en 4 habrá 450, y en seis 350, y así sucesivamente: m f( m ) = 50 3 b) Para calcular cuántos peces hay en cuatro años, se puede usar la misma fórmula del apartado anterior, previa conversión de años a meses: 4 años = 4 meses. 4 Por tanto, después de 4 años habrá 50 3 = c) Para estimar cuánto tiempo se necesita, se calcula: m m 50 3 = = 0 m= log3 0= 5,45 Y se aproxima al siguiente mes, es decir 6 meses. peces. En este caso, lo único que habrá que hacer es componer una función con otra, o lo que es lo mismo: ( f g)( y) = f( g( y) ) = 30+ 4y 0 f e k 0k (0) = 34= 5 + (40 0) = 0, 0,t 30= 5 + (40 t) e t 3,0 min 45

44 PARA PROFUNDIZAR De los datos del enunciado se puede obtener que, si se formula la parábola como ax b = a b 4a a = = a+ b+ c= 4a+ b+ c= b= 6a 6a+ c= 9 c 9 c 9 = = + bx+ c, entonces: La parábola pasa por el punto (, 3), fruto de sustituir x = en x x + 9. Como 3x = 5 x =, sustituyendo en la fórmula, con lo que se obtiene el valor: 3 f( 5) = f( 3 ) = + + = + + = Lo más fácil para resolver este ejercicio es proponer un sistema de ecuaciones con conduce a: π π f + f = ª ª π π 3f = 3 f = f π π f + = π x= y con π x=. Esto Si lo primero que se hace es calcular la inversa de, de esta manera se verá qué dominio tiene ( ) ( ) x f x f ( x ) f x = + x= + x = f ( x) = log ( x 5) Domf = ( 5, + ) Para obtener el número de veces que f corta con el eje X, basta con calcular las raíces de. f( x) = sen = 0 x=, n 0, n Z x πn Para qué valores se obtendrá > x= > 0,0? nπ Bastará resolver la inecuación y comprobar a partir de qué n no se aplica: 00 x = 0,0 n n 3, πn > π > < Corta 3 veces. 3 46

45 x x x x x x x x e + e e e e e e e [ g( x) ] [ f( x) ] = = x x x x e e e e = + =

46 Al saber que la fórmula es válida siempre que x es distinto de 0 y de, la mejor idea es probar a resolver: f() + f( ) = f() = f( ) Y falta aún por saber el valor de f( ). Como x = es distinto de 0 y de, se puede volver a usar la ecuación para ver el valor de f( ), porque quizá eso ayude: f( ) + f = f( ) = f f() = 3+ f Ahora el valor desconocido es f, pero como x = es distinto de 0 y de, se puede volver a utilizar la ecuación, con lo que se obtiene: 7 7 f + f() = f = f() f() = 3 + f() f() = f() = 4 4

47 Podemos sumar los contactos de cada bola y luego dividir por. Tenemos entonces:. bola en cada uno de los 4 vértices, con tres contactos cada una: 4 3 =. n bolas internas en cada una de las seis aristas, con 6 contactos cada una: 6 6 ( n ) = 36n 7 3. T(n 3) bolas internas de cada cara, por 4 caras y 9 contactos cada una: 36( n 3)( n ) 36 T( n 3) = = n 90n+ 0 n( n+ ) Donde T( n) = = n es el enésimo número triangular. 4. P(n 4) bolas internas, con contactos cada una, siendo P( n) = T() + T( ) T( n) el enésimo número piramidal: n n n( n+ )( n+ ) n( n+ ) P( n) = T( k) = k + k= + = n( n+ )( n+ + 3) n( n )( n ) = k= k= 3 5. Entonces, P( n 4) = ( n 4)( n 3)( n ) = n n + 5n 4y al sumar los distintos tipos de bolas según sus contactos, y dividiendo entre dos para evitar repetición, obtenemos: 3 ( + 36n 7+ n 90n+ 0+ n n + 5n 4) ( ) 3 = n n= n n Por tanto, en función del número n de bolas por lado, habrá n(n ) contactos, para tetraedros con lados formados por un número de esferas n =,, MATEMÁTICAS EN TU VIDA La estratosfera tiene en el ecuador un espesor de 35 km. Proporcionalidad directa, donde la temperatura baja a medida que la altura sube, a razón de 6 o C. En la estratosfera, con temperaturas de hasta 53 o C. A 0 km de altura se habla de estar dentro de la termosfera, donde puede haber hasta 500 o C, cuando el Sol está activo. 49

48 La capa de ozono se encuentra situada en la estratosfera. Actualmente la capa de ozono se encuentra en una situación de desgaste grave debido a los conocidos gases de efecto invernadero, lo que provoca una menor filtración a los rayos ultravioleta, y que conlleva un crecimiento de problemas varios como derretimiento de los polos, problemas para que las plantas hagan la fotosíntesis, melanomas, cataratas oculares... Sin esta capa todos estos problemas se incrementarían de forma exponencial, lo que implica un daño enorme en el ecosistema y unas consecuencias horribles para la humanidad. De ahí que se tenga que concienciar a todas las personas para que se fomente su recuperación y posterior conservación, para tener un mundo mejor donde vivir mañana. Sabiendo que en la troposfera por cada kilómetro que se sube se pierden 6 o C, y con la condición de que a nivel del mar hacen 0 o C, si aproximamos la altura del Everest a m, que son 9 km, implica que habrá perdido 54 o C en esta subida, así que la temperatura que deberá tener la cima será de 0 54 = 34 o C. 40