Notas sobre funciones

Transcripción

1 Notas sobre funciones Manuel Bello Sean X e Y dos conjuntos. Una función f : X Y es una correspondencia entre los conjuntos X e Y, la cual asocia a cada elemento de X un único elemento de Y. El conjunto X se llama dominio y el conjunto Y es el codominio de la función f. La imagen de la función se denota por Im(f) y es el conjunto Im(f) := {y Y : existe x X tal que f(x) = y}. Por ejemplo, tenemos la función que a cada persona que está en una clase le asocia su edad o la función f : N N tal que f(n) = n para todo n N, donde N representa el conjunto de los números naturales {1, 2,...}. También tenemos la función f : R R tal que a cada x R le asocia f(x) = x 2. En estas notas prestaremos atención solamente a funciones definidas en subconjuntos de los números reales, R, con codominio también un subconjunto de R; es decir, X e Y subconjuntos de los números reales. Si f : X Y es una función, diremos que f es inyectiva si cualesquiera sean x 1, x 2 en X, con x 1 x 2, se cumple que f(x 1 ) f(x 2 ). La definición equivale a f(x 1 ) = f(x 2 ), entonces f(x 1 ) = f(x 2 ). Una función es suprayectiva (o sobreyectiva) si Im(f) = Y. Las funciones que son simultáneamente inyectivas y suprayectivas, se llaman biyectivas. Las funciones biyectivas son invertibles; es decir, si la función f : X Y es biyectiva, su inversa es la función f 1 : Y X tal que si f(x) = y, entonces f 1 (y) = x. Por tanto, f 1 (f(x)) = x, f(f 1 (y)) = y, para todo x en X, y en Y. Si, por ejemplo, la función f : R R es tal que f(x) = x para cada x en R, entonces ella es biyectiva y su inversa es la propia función f. Se cumple (1) f(f(x)) = x, para todo número real x. Una función f : R R es par si f( x) = f(x) para todo x real. Si se cumple que f( x) = f(x) para todo x real, se dice que f es impar. Una función f se dirá que es una función monótona creciente (o creciente) si f(x) f(y) cuando x < y. Diremos que la función es estrictamente creciente cuando f(x) < f(y) si x < y. Análogamente, una función f se dirá que es monótona decreciente (o simplemente, decreciente) si f(x) f(y) cuando x < y; y será estrictamente decreciente cuando f(x) > f(y) si x < y. Una ecuación funcional es una ecuación donde la incógnita es una función. Los métodos principales para resorver una ecuación funcional son: 1

2 Evaluar en valores específicos de la variable independientes. Suelen ser muy útiles 0 y 1 por ser los elementos neutros para la suma y el producto, respectivamente, o combinaciones de valores que lleven a 0 ó uno. Estudiar si la función es inyectidad o suprayectiva. Inducción matemática. Demostrar que la función tiene una determinada forma, por ejemplo, probar que la función es lineal. Para la solución del siguiente ejercicio combinamos la evaluación en un puntos determinados y la inyectividad de la función. Ejercicio. Hallemos las funciones reales f, de variable real, que satisfacen la ecuación funcional (2) f(x + f(x + y)) = f(2x) + y. Solución. Haciendo x = 0 en la ecuación (2), nos queda (3) f(f(y)) = f(0) + y, para todo y real. De aquí se deduce que f es inyectiva y suprayectiva. Tomamos y = 0 en la ecuación, f(x + f(x)) = f(2x). Por la inyectividad de f, de la ecuación anterior se obtiene x + f(x) = 2x f(x) = x. Es inmediato observar que f(x) = x es solución de (2). Evaluar en un valor particular de la variable puede ser básico para hallar la solución. Ejercicio. Encontrar todas las funciones f : R R tales que (4) x 2 f(x) + f(1 x) = 2x x 4. Solución. La única solución es f(x) = 1 x 2, que fácilmente se comprueba que satisface la ecuación. Cambiando 1 x por x y uniendo las dos ecuaciones, nos queda el sistema ( ) ( ) ( x 2 1 f(x) 2x x 4 ) 1 (1 x) 2 = f(1 x) 2(1 x) (1 x) 4 De donde, f(x) = (2x x4 )(1 x) 2 2(1 x) + (1 x) 4 x 2 (1 x) 2 1 = 1 x 2. 2

3 En el siguiente problema la solución presentada combina la evaluación en puntos específicos e inducción matemática. Ejercicio. Sea f : N Z una función tal que: 1. f(2) = 2; 2. f(nm) = f(m)f(n), n, m en N; 3. f(n) > f(m) si n > m. Probar que f(n) = n n N. Solución. Si n = 2, m = 1, obtenemos f(1) = 1. Asumimos que f(k) = k k 2n. Probemos que también f(k) = k, k 2n + 2. Solo tenemos que considerar k = 2n + 1 y k = 2n + 2. Tomando n = 2, m = k + 1, tenemos f(2n + 2) = f(2)f(n + 1) = 2n + 2. Como 2n < 2n+1 < 2n+2, tenemos 2n = f(2n) < f(2n+1) < f(2n+2) = 2n + 2. De donde f(2n + 1) = 2n + 1. Ejercicio. Supongamos que f es una función que transforma los enteros positivos en los enteros positivos, tal que f satisface (5) f(n + 1) > f(f(n)) para todos los enteros positivos n. Demostrar que f(n) = n para cada n entero positivo. Solución. La relación (6) equivale a (6) f(n + 1) f(f(n)) + 1. Observar que f(1) 1, f(2) f(f(1)) > 1, f(3) f(f(2)) + 1 f(f(f(2) 1)) Utilizando la relación anterior probamos por inducción (en n) que f(m) n, para todo m n 3

4 Si la relación anterior es cierta para n y consideramos m n + 1, f(m) f(f(m 1)) + 1 n + 1, porque m 1 n y, por hipótesis de inducción f(m 1) n. Además, f es estrictamente creciente ya que f(n + 1) f(f(n)) + 1 f(n) + 1 f(n + 1) > f(n). Supongamos, para obtener una contradicción, que existen n 0 y k 0 tales que f(n 0 ) = n 0 + k 0. Entonces f(n 0 + k 0 ) = f(f(n 0 )) f(n 0 + 1) 1, que contradice la monotonía estricta. Conocer una solución puede ayudar a construir otras soluciones. Ejercicio. Probar que hay infinitas funciones f : R R que cumplen la ecuación (1). x 1 = f(f(x 1 )) = f(f(x 2 )) = x 2, entonces x 1 = x 2. Solución. Observar que f(x) = x satisface la ecuación (1). Si consideramos dos números reales x 1 x 2 y f : R R tal que x si x x 1, x x 2, f(x) = x 2 si x = x 1, x 1 si x = x 2 Entonces fácilmente se comprueba que esta función satisface (1). Cambiando los puntos x 1 y x 2, obtenemos otras funciones que también cumplen (1). Ejercicio. Hallar todas las funciones f : R R tales que f(f(x) 2 + f(y)) = xf(x) + y. Solución. Probemos que las únicas funciones que satisfacen la ecuación son f 1 (x) = x, f 2 (x) = x. Es trivial comprobar que ellas cumplen la ecuación dada. Si x = 0, nos queda f(f(0) 2 + f(y)) = y. Por tanto, f es inyectiva y suprayectiva en R. Si f(a) = 0 (tal valor existe porque f es suprayectiva), haciendo x = a, tenemos f(f(y)) = y, 4

5 de donde, por la inyectividad de f, f(0) 2 + f(y) = f(y) f(0) = 0. Por otra parte, sustituyendo x por f(x) en la ecuación dada obtenemos f(x 2 + f(y)) = xf(x) + y y por la inyectividad de f, concluimos f(x) 2 + f(y) = x 2 + f(y) f(x) = ±x. Pero no existen b y c tales que f(b) = b, f(c) = c y bc 0, ya que en caso contrario, haciendo x = b, y = c, nos queda f(b 2 c) = b 2 + c. Y si f(b 2 c) = b 2 c, entonces c = 0, y si f(b 2 c) = b 2 + c, entonces b = 0. Concluimos que las únicas soluciones son f 1, f 2. En el siguiente problema la idea principal es probar que la función es lineal observando que f(x + 1) f(x) es constante, para ello evaluamos en valores particulares de las variables. Ejercicio. Hallar todas las funciones f : Z Z tales que (7) f(x f(y)) = f(f(x)) f(y) 1. Solución. Las soluciones son las funciones f 1 (x) = 1 y f 2 (x) = x + 1. Es fácil comprobar que dichas funciones son soluciones de (7). Veamos que son las únicas. Consideremos y = f(x) en la ecuación (7), entonces (8) f(x f(f(x))) = 1. Eso significa que 1 es un punto de la imagen de f. Sea y tal que f(y) = 1. Evaluando (7) en ese valor, nos queda (9) f(x + 1) = f(f(x)) f(x) = f(f(x 1)). Utilizando estás relaciones en las ecuaciones (7) y (8), nos queda f(x f(x + 1)) = 1 f(x 1 f(x)) = 1, f(x f(y)) = f(x + 1) f(y) 1. Haciendo y = x en esta última ecuación y utilizando nuevamente (9), llegamos a f(x + 1) f(x) = f(x f(x)) + 1 = f(f(x f(x) 1)) + 1 = f( 1) + 1. De modo que f(x + 1) f(x) = A, x Z, 5

6 con A = f( 1) + 1. Por inducción matemática en x, nos queda que f(x) = Ax + B, donde B = f(0). Sustituyendo en (7) la expresión anterior para f obtenemos A(x (Ay + B)) + B = A(x f(y)) + B = Af(x) + B (Ay + B) 1 = A(Ax + B) Ay 1 Ax A 2 y AB + B = A 2 x Ay + AB 1 Evaluando en x = 0 ó y = 0, nos queda el sistema A = A 2, AB + B = AB 1. Por tanto, las únicas soluciones son las funciones f 1 y f 2 dadas más arriba, que corresponden a A = B = 1 y A = 0, B = 1. Evaluar en un valor particular de la variable es fundamental para la solución del siguiente problema. Ejercicio. Hallar todas las funciones f : (0, ) (0, ) tales que para todo x > 0, y > 0 se cumple ( ( )) 1 f x f = x f y ( ) 1. x + y Solución. Veamos que la única solución es f(x) = x/(x + 1), x > 0. Una simple cuenta nos permite comprobar que f(x) = x/(x + 1), x > 0, es solución del problema. por Veamos que esta es la única. Como f(1/y) > 0, la ecuación en x dada xf(1/y) = 1/(x + y) f(1/y) x 2 + f(1/y)y x 1 = 0 es una ecuación de segundo grado en x, que tiene soluciones en x dadas por con única solución positiva x 1,2 = f(1/y)y ± (f(1/y)y) 2 + 4f(1/y) 2f(1/y) f(1/y)y + (f(1/y)y) 2 + 4f(1/y) 2f(1/y) Observar que para cada y se ha encontrado un valor de x de modo que los dos valores de f que intervienen en la ecuación dada son iguales. De acuerdo a la ecuación propuesta, tal solución tiene que ser x = 1. Por tanto, f(1/y) = 1/(1 + y) f(t) = t/(t + 1), t > 0. 6