Es claro que es una relación de equivalencia. Para ver que tener la misma cardinalidad y la cardinalidad están bien definidas queremos ver que

Transcripción

1 Capítulo II Cardinalidad Finita II.1. Cardinalidad Definimos I n para n N como I n = {k N : 1 k n}. En particular I 0 =, puesto que 0 < 1. Esto es equivalente a la definición recursiva { si n = 0 I n = I n 1 {n} si n > 0 La verificación se puede hacer por inducción usando que para todo n N no existe m N tal que n < m < n + 1. (Y esto se debe a que si existiera tal m, entonces existirían p, q N, p, q 1 tal que n + p = m y m + q = n + 1; pero entonces n + (p + q) = n + 1 lo cual es una contradicción porque p + q 1.) Definición. (i) Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad ó son equipotentes, denotado A B, si y sólo si existe una biyección f : A B. (ii) Un conjunto A es finito si existe n N tal que A I n (esto incluye el caso A = ya que A I 0 ). En este caso se dice que la cardinalidad de A es n, y se escribe A = n. Es claro que es una relación de equivalencia. Para ver que tener la misma cardinalidad y la cardinalidad están bien definidas queremos ver que A I m y A I n implica que m = n, y A B si y sólo si A = B. Esto se hace en el corolario del lema siguiente. En lo que sigue m, n, r son elementos en N. 1

2 2 Lema 1 CAPÍTULO II. CARDINALIDAD FINITA (a) Si f : I n I n es inyectiva entonces es sobreyectiva (b) Si R I n entonces existe r N, r n, tal que R I r (c) Si R I n entonces R I n (d) Si I m I n entonces m = n. Prueba. (a) La prueba es por inducción sobre n. En el caso base n = 0, la unica función f : I 0 I 0 es trivialmente biyectiva. Ahora asumimos el enunciado es cierto para un n 0 y lo probamos para n + 1. Sea f : I n+1 I n+1 una función inyectiva. Consideramos dos casos: 1. f(i n ) I n : Entonces la restricción f In : I n I n es también inyectiva, y entonces por hipótesis de inducción, es sobreyectiva. Pero entonces se debe tener que f(n+1) = n+1 y por lo tanto f también es sobreyectiva, lo que queríamos probar. 2. f(i n ) I n : Entonces existe j I n tal que f(j) = n + 1, y puesto que f es inyectiva, f(n + 1) I n. Definimos entonces la función g : I n+1 I n+1 como f(i) si i I n {j} g(i) = f(n + 1) si i = j n + 1 si i = n + 1 Esta función g es claramente inyectiva y satisface g(i n ) I n, por lo que se puede aplicar el primer caso para concluir que g es sobreyectiva. Por construcción f también es sobreyectiva. (b) La prueba es por inducción sobre n. En el caso base n = 0 se tiene I 0 =, entonces R = y trivialmente se tiene una biyección I 0 R. Ahora asumimos el enunciado es cierto para un n 0 y lo probamos para n + 1. Sea R I n+1. Consideramos dos casos: 1. R I n : Entonces podemos usar la hipótesis de inducción para concluir que existe r tal que R I r. 2. R I n : Entonces n+1 R. Sea R = R {n+1}. Entonces R I n y por hipótesis de inducción existe r tal que R I r. Sea f : I r R una biyección correspondiente, entonces definimos g : I r R, donde r = r + 1, como extensión de f: { f(i) si i Ir g(i) = n + 1 si i = r Puesto que f es biyectiva, g también lo es. Por lo tanto R I r.

3 II.1. CARDINALIDAD 3 (c) Sea R I n. Supongamos por contradicción que R I n. Entonces existe una biyección correspondiente f : I n R. Entonces f(i n ) = R. Esta misma función se puede considerar como una función ^f : I n I n (es decir ^f(i) = f(i) para todo i I n, pero el codominio se ha extendido de R a I n ). Esta ^f es inyectiva, por ser f biyectiva, y por lo tanto, por la parte (a), ^f es sobreyectiva. Por lo tanto ^f(i n ) = I n. Pero esto es una contradicción con f(i n ) = R y R I n (ya que f y ^f están igualmente definidas). Concluímos que R I n. (d) Verificamos el contrapositivo. Supongamos que m n. Entonces m < n ó m > n. En ambos casos usando parte (c) se concluye I m I n. Corolario 2 (a) Si A es finito entonces existe n único tal que A I n (b) Si A, B finitos, A B si y sólo si A = B (c) Si A es finito y f : A A inyectiva, entonces f es sobreyectiva (d) Si A es finito y B A, entonces B es finito y B A (e) Si A es finito y B A, entonces A B y B < A. Prueba. (a) Se deduce del lema (d): si A I m y A I n entonces I m I n y entonces m = n. (b) Sean m = A y n = B. Entonces A B si y sólo si I m I n si y sólo si m = n si y sólo si A = B (c) Sea n = A y σ : I n A una biyección correspondiente, entonces definimos g con base en el diagrama I n g In σ σ 1 A f A es decir, g = σ 1 f σ. Puesto que f es inyectiva, y σ, σ 1 biyectivas, g también es inyectiva. Por el lema (a), se deduce que g es sobreyectiva, y entonces f también debe serlo. Verifiquemos eso: si no, entonces existe a A tal que a f(a); entonces, siguiendo el diagrama, σ 1 (a) no está en (σ 1 f)(a), y σ 1 (a) no está en (σ 1 f σ)(i n ); es decir, σ 1 (a) no está en g(i n ), por definición de g, lo que es una contradicción porque g es sobreyectiva.

4 4 CAPÍTULO II. CARDINALIDAD FINITA (d) Sea n = A y σ : A I n una biyección correspondiente. Sea R = σ(b) I n. Por el lema (b), existe r, r n, tal que R I r ; sea τ : R I r una biyección correspondiente. Entonces µ = τ σ B : B I r es una biyección, y por lo tanto B es finito. Además, r n implica B A. (e) Como en la prueba del lema (c), si A B, sea f : A B una biyección correspondiente. Puesto que B A podemos considerar la extensión ^f : A A la cual es inyectiva y por parte (c) debe ser sobreyectiva. Esto contradice B A y por lo tanto A B. Ahora, de (d) se tiene B A, pero de (b) se concluye B A, por lo tanto B < A. II.2. Unión y Producto Unión La regla de la suma en su forma básica establece simplemente que el tamaño de la unión de conjuntos disyuntos es igual a la suma de los tamaños. Para ilustrar la definición formal de conteo como una biyección probamos esto formalmente en el siguiente teorema. Teorema 3 Si A y B son conjuntos finitos disyuntos, entonces A B = A + B. Prueba. La prueba es por inducción sobre B. Para B = 0, se tiene que B = y por lo tanto A B = A y A B = A = A + 0 = A + B. Para el paso inductivo también necesitamos el caso B = 1: Sea f : A I A una biyección (la cual existe por definición de cardinalidad). Sea B = {b} (note que b A porque A y B son disyuntos). Entonces f : A B I A +1 definida por { f(m) si m A f (m) = A + 1 si m = b es una biyección (lo que se verifica fácilmente). Entonces A B = A {b} = A + 1 = A + B. Ahora suponemos B > 1. Entonces B y por lo tanto existe b B. Sea B = B {b}. Entonces B = B {b} y por el primer caso baso se tiene que

5 II.2. UNIÓN Y PRODUCTO 5 B = B + 1. Por otra parte, se tiene que A y B son disyuntos y B < B. Por lo tanto, por hipótesis de inducción, se tiene que A B = A + B ( ) Aplicando una vez más la hipótesis de inducción (caso base) a A B y {b}, obtenemos A B = (A B ) {b} = A B + {b} por el segundo caso base = ( A + B ) + 1 por ( ) = A + ( B + 1) = A + B. Prueba. (Alternativa) Puesto que A y B son finitos, existen m, n N tal que A = m y B = n y por lo tanto existen funciones biyectivas Entonces definimos la función de la siguiente manera, f : A {1, 2, 3..., m} g : B {1, 2, 3..., n}. h : A B {1, 2, 3..., m + n} { f(x) si x A h(x) = g(x) + m si x B Esta función h es una biyección (se omite la fácil verificación). Se concluye entonces que A B = m + n = A + B. Usando inducción, la regla de la suma se extiende a un número finito de conjuntos mutuamente disyuntos A i, i = 1,..., n: si A i A j = para todo 1 i < j n, entonces n n A i = A i.

6 6 CAPÍTULO II. CARDINALIDAD FINITA Producto La regla de producto en su forma básica establece que la cardinalidad de el producto cartesiano de dos conjunto finitos es igual al producto de las cardinalidades de los conjuntos. La regla es intuitivamente clara pero formalmente se verifica por inducción usando la regla de la suma. Teorema 4 Si A, B son conjuntos finitos, entonces A B = A B. Prueba. Por inducción sobre B. En el caso base B = 0 se tiene que A B = ; por lo tanto A B = 0 y también A B = 0. En el caso base B = 1, sea B = {b} y entonces la función f : A B A definida por f((a, b)) = a es biyectiva y prueba que A B = A. Por tanto, dado que B = 1, se tiene que A B = A B. Ahora consideramos B con B > 1. Entonces tomando cualquier b B, tenemos B = B {b} donde B = B {b}. Por hipótesis de inducción A B = A B. Entonces de la igualdad donde la unión es disyunta, se obtiene A B = (A B ) (A {b}), A B = A B + A 1 = A ( B + 1) = A B. Usando inducción, este resultado se extiende a un número finito de conjuntos A i, i = 1,..., n: n A 1 A 2 A n = A i. II.3. Reglas de la Suma y el Producto La cardinalidad de la unión y la cardinalidad del producto son la base para la determinación de cardinalidad en diversas aplicaciones. Su aplicabilidad usualmente se expresa con las llamadas reglas de la suma y del producto, cuya expresión es informal por la generalidad con que se formulan. En todo aplicación es posible dar también una prueba formal si se requiere.

7 II.3. REGLAS DE LA SUMA Y EL PRODUCTO 7 Regla de la Suma: Si la construcción de cierta configuración tiene dos opciones (disyuntas) simultáneas posibles, la primera de las cuales resulta en n 1 configuraciones diferentes, y la segunda de las cuales resulta en n 2 configuraciones diferentes, entonces el número total de configuraciones resultantes posibles es n 1 + n 2. Esta regla se puede extender a una construcción con k opciones, con n i configuraciones posibles para la i-ésima opción, y entonces el número de configuraciones resultantes posibles es k n i. Regla del Producto: Si la construcción de cierta configuración se puede realizar en dos pasos consecutivos, el primero de los cuales se puede realizar de n 1 maneras distintas, y el segundo de los cuales se puede realizar de n 2 maneras distintas independientemente de la alternativa que se tomó en el primer paso, entonces el número de configuraciones resultantes posibles es n 1 n 2. Esta regla se puede extender a una construcción en k pasos consecutivos, con n i maneras distintas en el i-ésimo paso independientemente de las alternativas elegidas en los pasos anteriores, entonces el número de configuraciones resultantes posibles es k n i. Aunque directamente no se está determinando el tamaño de un producto cartesiano, la regla del producto aplica porque de acuerdo con la condición en la regla existe una función biyectiva entre las configuraciones construídas y el producto cartesiano {1, 2,..., n 1 } {1, 2,..., n 2 } {1, 2,..., n k } y por lo tanto el número de configuraciones resultantes es igual al producto de los n i, i = 1,..., n k. Ejemplo. Queremos contar el número de permutaciones de las letras de la palabra discreta. Por ejemplo discreta, scatdire, cretadis, atercsid, etc. Cada una de estas posibles permutaciones se puede construir en pasos escogiendo las letras en el orden en que aparecen: para la primera letra se tienen 8 opciones, para la segunda se tienen 7 porque ya se uso una (y esto es independiente de cual se haya usado), para la tercera 6, y así sucesivamente hasta la última que tiene sólo una opción. Por lo tanto el número total de posibles permutaciones construidas es = 8!. Note que las

8 8 CAPÍTULO II. CARDINALIDAD FINITA opciones que se tienen en un paso dependen de las elecciones anteriores, pero el número de ellas es independiente de esas elecciones anteriores. Ejemplo. Se tiene un grupo de 6 personas A, B, C, D, E y F y se desea elegir un comité conformado por presidente, secretario y tesorero. De cuántas formas distintas se puede formar el comité si se tiene cada una de las siguientes restricciones adicionales: a) Sin restricción adicional: Se eligen en orden presidente, secretario y tesorero, para el primero hay 6 opciones, para el segundo hay 5 (ya que uno ya tiene un cargo), y para el tercero hay 4 opciones (ya que dos ya tienen un cargo), por lo tanto usando la regla del producto se obtiene: b) A ó B debe ser presidente: Para presidente sólo hay 2 opciones, para secretario y tesorero 5 y 4. Por lo tanto, el número de posibles selecciones es: (Note que si se seleccionan en orden tesorero, secretario y presidente, no se puede usar la regla del producto.) c) E debe ser elegido a un cargo: Consideramos los 3 casos disyuntos en que E tiene cada uno de los cargos. En cada caso, los otros dos cargos se pueden elegir de 5 4 formas. Por lo tanto el número total es d) D y F deben ser elegidos: Seleccionamos primero el cargo de D (3 opciones), entonces el cargo de F (2 opciones) y finalmente para el cargo que queda se elige la persona que lo ejerce entre los 4 restantes (4 opciones). Por lo tanto, el número de selecciones es: e) A no puede ser presidente, y C ó D debe ser secretario: Primero seleccionamos quien es el secretario (2 opciones), luego quien es el presidente (4 opciones porque excluye A y el ya elegido a secretario) y luego quien es el tesorero (4 opciones porque excluye los dos ya elegidos). Por lo tanto el número de selecciones es: (Note que si se seleccionan en orden presidente, tesorero y secretario, no se puede usar la regla del producto. Igual si se seleccionan en orden secretario, tesorero y presidente.)