CAPÍTULO III RELACIONES Y FUNCIONES

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1 RELACIONES Y FUNCIONES 41 CAPÍTULO III RELACIONES Y FUNCIONES 3.1 RELACIONES 1 Una relación R de un conjunto A a un conjunto B asigna a cada par (a,b) en A x B exactamente uno de los enunciados siguientes: a está en relación con b, escrito a R b a no está en relación con b, escrito a R b Una relación en A es una relación de un conjunto A al mismo conjunto A Ejemplo 1 La relación > definida en un conjunto de números es un ejemplo típico, puesto que para cualquier par ordenado (a,b) se tiene que: a > b o bien, a > b Ejemplo 2 En el conjunto de todas las rectas del plano podemos establecer las siguientes relaciones: es perpendicular a es paralela a Quedando establecido que dos rectas cualesquiera pueden o no ser perpendiculares o paralelas. 3.2 RELACIONES COMO CONJUNTOS DE PARES ORDENADOS 1 Una relación R de un conjunto A a un conjunto B define unívocamente un subconjunto R * de A x B como sigue: R * = {(a,b): a está en relación con b } = { (a,b) : a R b } 1 Seymour Lipschutz, MATEMÁTICAS FINITAS, Pag. 58 Edit. SCHAUM 1972

2 42 ÁLGEBRA I Por tanto podemos indicar que: una relación R de A a B es un subconjunto del conjunto producto A x B Ejemplo 3 Definamos una relación del conjunto A = { a, b, c, d } al conjunto B = { x, y, z } definida como: R = { (a,x), (a,y), (a,z), (b,y), (b,z), (c,y), (d,z) } Se observa que: a R x, a R y, a R z, b R y, b R z, c R y, d R z mientras que : b R x, c R x, c R z, d R x, d R y 3.3 RELACIÓN IDÉNTICA Una relación de un conjunto A sobre si mismo se denomina relación idéntica y se define como: Δ A = { (a,a) : a Є A } La relación idéntica es también llamada diagonal en virtud de su posición en un diagrama de coordenadas de A x A 3.4 RELACIÓN INVERSA R -1 Si se tiene una relación R de un conjunto A a un conjunto B, la relación inversa R -1 se aplica del conjunto B al A 1 R ( b, a):( a, b) R Ejemplo 4 Sea el conjunto A = {a,b,c} en el cual se define la relación: R ( a, b),( a, c),( b, c ) La relación inversa sera: 1 R ( b, a),( c, a),( c, b ) 3.5 RELACIÓN REFLEXIVA Una relación es reflexiva si a R a es decir; (a,a) ε R, para todo a ε A

3 RELACIONES Y FUNCIONES 43 Ejemplo 5 En el conjunto de todas las rectas del plano sean las relaciones: es perpendicular a y es paralela a. La primera no es una relación reflexiva, pues una recta no es perpendicular a si misma, en cambio la segunda si lo es, ya que toda recta se puede considerar paralela a si misma. En el conjunto de los números reales las relaciones es mayor que y es menor que no son reflexivas puesto que un numero no se considera mayor ni menor a si mismo, en cambio las relaciones es mayor o igual que y es menor o igual que, si son reflexivas. En el conjunto de todos los triángulos del plano la relación es semejante a, es reflexiva pues, todo triángulo es semejante a si mismo. 3.6 RELACIÓN SIMÉTRICA Una relación se dice simétrica si cuando a R b entonces b R a, es decir si (a,b) ε R entonces (b,a) ε R Ejemplo 6 En el conjunto de todas las rectas del plano sean las relaciones: es perpendicular a y es paralela a. La primera es una relación simétrica, pues si una recta a es perpendicular a una recta b, entonces recta b es perpendicular a una recta a, la segunda también lo es. En el conjunto de los números reales las relaciones es mayor que y es menor que no son simétricas, las relaciones es mayor o igual que y es menor o igual que, tampoco son simétricas aunque la relación se cumpla cuando los números son iguales. En el conjunto de todos los triángulos del plano la relación es semejante a, es simétrica. 3.7 RELACIÓN TRANSITIVA Una relación es transitiva si a R b y b R c entonces a R c Ejemplo 7 En el conjunto de todas las rectas del plano sean las relaciones: es perpendicular a y es paralela a. La primera no es una relación transitiva, pues si una recta es perpendicular a una segunda y esta es

4 44 ÁLGEBRA I perpendicular a una tercera, la primera y tercera son paralelas, en cambio la relación de paralelismo es claramente transitiva En el conjunto de los números reales las relaciones es mayor que y es menor que son transitivas y las relaciones es mayor o igual que y es menor o igual que, también lo son. En el conjunto de todos los triángulos del plano la relación es semejante a, es transitiva. 3.8 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Una relación es de equivalencia si es a la vez, reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo 8 En el conjunto de todas las rectas del plano sean las relaciones: es perpendicular a y es paralela a. La primera no es una relación de equivalencia por que no es reflexiva ni transitiva, en cambio la relación de paralelismo si es una relación de equivalencia. En el conjunto de los números reales las relaciones es mayor que, es menor que, es mayor o igual que y es menor o igual que, no son relaciones de equivalencia En el conjunto de todos los triángulos del plano la relación es semejante a, es una relación de equivalencia. 3.9 PARTICIÓN Una partición de un conjunto A es una subdivisión del mismo en varios conjuntos disjuntos tales que su unión es el mismo conjunto y su intersección es el conjunto vacío. Si A es el conjunto y A 1, A 2, A 3, A 4,.. A n, son los subconjuntos disjuntos de la partición, entonces A1 A2 A3 A4... An A A1 A2 A3 A4... A n Ejemplo 9 Determinar cuales de los siguientes conjuntos constituyen una partición del conjunto de los números naturales N A = {x / x es un dígito}

5 RELACIONES Y FUNCIONES 45 B = {x / x > 0 y x es par} C = {x / x=2a+1; a ε N} D = {1} E = {x / x es impar} El conjunto B representa a todos los pares positivos, mientras que el conjunto C representa a todos los impares positivos, excepto el uno, como el conjunto D contiene al uno estos tres conjuntos constituyen una partición del conjunto de los números naturales, es decir: N = {B, C, D} B C D B C D N 3.10 FUNCIONES Supongamos que a cada elemento de un conjunto A se le asigna un único elemento de un conjunto B; la colección f de tales asignaciones se llama función de A en B y se escribe: f f : A B o A B E elemento único de B asignado a a ε A por f, se representa por f(a), y se llama la imagen de a bajo f o el valor de f en a. El dominio de f es A, el codominio B. El recorrido de f, representado por f[a], es el conjunto de imágenes. f es una función o aplicación de A en B si y sólo si f es una relación entre A y B tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B. f es una función o aplicación de A en B si y sólo si f es un subconjunto de A x B que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad.

6 46 ÁLGEBRA I i) a A, b B /( a, b) f 2 ii) ( a, b) f ( a, c) f b c Ejemplo 10 Sea la función f que asigna elementos del conjunto A sobre el conjunto B de modo que: A f B a b c d e f La figura muestra una función f que asigna elementos del conjunto A sobre el conjunto B, de modo que: f(1) = c ; f(2) = e ; f(3) = a ; f(4) = f El dominio de la función está constituido por todos los elementos del conjunto A, El codominio por todos los elementos del conjunto B, mientras que el recorrido esta formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento de A, esto es, { a,c,e,f }, los elementos b, d no forman parte del recorrido. Ejemplo 11 Sea la función f : R R definida en el conjunto de los números reales sobre el mismo conjunto y sea la función que asigna a cada elemento del primer conjunto su cuadrado mas uno, es decir, f(x) = x El dominio y el codominio de la función es R mientras que el recorrido está formado por los números reales positivos y el cero. 2 ROJO ARMANDO, Álgebra I, Edit El Ateneo, 1975 Pag. 103

7 RELACIONES Y FUNCIONES GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 3 A cada función f : A B corresponde la relación en A x B dada por { ( a, f(a) ) : a ε A } A este conjunto lo llamamos la gráfica de f Ejemplo 12 Sea una función definida en el conjunto de los números reales sobre el mismo conjunto ( en el futuro en R 2 ) de tal manera que: f(x) = - x +2 Algunos de los pares ordenados que corresponden a la gráfica son (0,2) y (2,0), como la ecuación representa una recta, son suficientes estos dos pares ordenados para obtener la gráfica correspondiente: (0,2) (2,0) Ejemplo 13 En R 2 sea la función f(x) = x 2 - x 6 Dibujar la gráfica de la función 3 Seymour Lipschutz, MATEMÁTICAS FINITAS. Edit. Schaum 1966 Pag. 67

8 48 ÁLGEBRA I La función corresponde a una parábola que abre hacia arriba y que corta a los ejes cartesianos en (0, -6) y (x - 3)(x + 2) = 0 (3, 0) y (-2,0) Ejemplo 14 Sea A ={-3, -2, -1, 0, 1, 2} y sea una función definida en el conjunto A sobre el conjunto de los números naturales f: A N tal que: f ( x) x 2 Entonces la función estará compuesta por el siguiente conjunto de pares ordenados f = { (-3, 5),(-2, 0),(-1, 3),(0, 2),(1, 3),(2, 2)} cuya representación grafica es la siguiente:

9 RELACIONES Y FUNCIONES FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS Una función es inyectiva (uno a uno), si elementos diferentes del dominio tienen imágenes distintas. Una función es sobreyectiva (o simplemente sobre), si todos los elementos del segundo conjunto son imagen de algún elemento del dominio, en este caso el recorrido resulta igual que el codominio. Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo 15 Dadas las funciones f, g, h determine cuales son: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

10 50 ÁLGEBRA I A 1 f B a b g C x h D p 2 3 c d e y z q r 4 i u s La función f es una función inyectiva puesto que los elementos del conjunto A se corresponden con los elementos del conjunto B en una relación uno a uno, no es sobreyectiva por que los elementos a, i no son imagen de ningún elemento del conjunto A, por lo tanto, tampoco es una función biyectiva. La función g no es inyectiva, pero si es sobreyectiva ya que el codominio es igual al recorrido de la función, por lo tanto, no es biyectiva La función h es claramente, una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva La función del ejemplo 12 es también una función, inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Ejemplo 16 x Sea la función f ( x) e definida en el conjunto de los números reales sobre si mismo. Determinar si la función es: a) Inyectiva b) Sobreyectiva c) Biyectiva a) Sean dos elementos x 1 y x 2 ε R, tales que f(x 1 ) = f(x 2 ) entonces: x1 x2 e e x x x Por tanto, f ( x) e en inyectiva. 1 2

11 RELACIONES Y FUNCIONES 51 x b) Si y e si y sólo si x ln y, puesto que los números negativos y el cero no tienen definido el logaritmo, la función no es sobreyectiva c) Al no ser sobreyectiva no puede ser biyectiva COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Considere las siguientes funciones: A a f B 1 2 g C x b c y z d 6 u Si a ε A; entonces su imagen f(a) está en B, el dominio de g. Por tanto, podemos encontrar la imagen de f(a) bajo la función g, es decir, g(f(a)). La función de A en C que asigna a todo elemento del conjunto A un elemento g(f(a)) ε C se llama la composición de f y g y se representa por g f Así tenemos que (g f)(a) = g(f(a)) (g f)(a) = g(f(a)) = g(4) = y (g f)(b) = g(f(b)) = g(5) = z (g f)(c) = g(f(c)) = g(2) = y (g f)(d) = g(f(d)) = g(3) = z Ejemplo 17 En el conjunto de los números reales R sean las funciones:

12 52 ÁLGEBRA I f(x) = x 2-2x + 1 ; g(x) = cos(x) x ; h(x)= x 3 1 Hallar a) f g b) g h c) h f d) h (g f) e) f (h g) a) f g f g = f (g(x)) = f (cos(x) x)= (cos(x) x) 2-2(cos(x) x)+1 b) g h c) h f g h = g (h(x)) = g (x 3-1) = cos(x 3-1)- x h f = h (f(x)) = h (x 2-2x +1) = (x 2-2x +1) d) h (g f) (g f) = g (f(x)) = g (x 2-2x + 1) = cos(x 2-2x + 1) - x 2 + 2x - 1 Sea: (g f) = u(x)= cos(x 2-2x + 1) - x 2 + 2x - 1 h u = h (u(x))= h(cos(x 2-2x + 1) - x 2 + 2x 1) h (g f)= (cos(x 2-2x + 1) - x 2 + 2x 1) 3-1 e) f (h g) (h g) = h (g(x)) = h (cos(x) x)=(cos(x) x) 3 1= u(x) f u = f (u(x)) = f [(cos(x) x) 3 1] f (h g) = [(cos(x) x) 3 1] 2-2[(cos(x) x) 3 1] FUNCIONES INVERSAS La función f : A B es una relación compuesta de pares ordenados de la forma (a,b) la relación inversa f -1 :B A con pares ordenados (b,a) puede no ser una función, para que la función inversa exista, es necesario que la función directa sea biyectiva. Ejemplo 18 Sea la función

13 RELACIONES Y FUNCIONES 53 A a b c f B x y z w La relación inversa f -1 imagen no es una función por que el elemento x no tiene B x y z w f -1 A a b c

14 54 ÁLGEBRA I