Introducción a la Matemática Discreta

Transcripción

1 Introducción a la Matemática Discreta Teoría de Conjuntos Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 20

2 Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole. Tema 3. Técnicas de contar. Tema 4. Recursión. Tema 5. Aritmética entera. Tema 6. Aritmética modular. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 2 / 20

3 Teoría de Conjuntos Noción intuitiva de conjunto. Definiciones. Operaciones. Propiedades. Producto cartesiano. Aplicaciones entre conjuntos. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 3 / 20

4 Teoría de Conjuntos. Noción intuitiva de conjunto. Qué es un conjunto? Una colección bien definida de objetos. Bien definida cualquier objeto que consideremos, podemos determinar si está en el conjunto observado. es un conjunto: tienen una misma propiedad prenda que llevas puesta A los objetos del conjunto se les llama elementos. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 4 / 20

5 Teoría de conjuntos. Definiciones Un conjunto lo podemos definir por: Extensión, encerrando todos sus elementos entre llaves. Comprensión, caracterizando los elementos que forman dicho conjunto. Ejemplo A = {2, 4, 6, 8} A = {números pares y positivos menores que 9} Camacho Introd. a la Matemática Discreta 5 / 20

6 Teoría de conjuntos. Definiciones Ejemplos, el conjunto vacío, que carece de elementos. N, el conjunto de los números naturales. Z, el conjunto de los números enteros. Q, el conjunto de los números racionales. R, el conjunto de los números reales. C, el conjunto de los números complejos. Si a es un elemento del conjunto A a A (relación de pertenencia ). Si a no es un elemento de A a / A. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 6 / 20

7 Teoría de conjuntos. Definiciones El cardinal del conjunto A ( A ) número de elementos del conjunto. = 0. A y B son iguales (A = B) tienen exactamente los mismos elementos. Ejemplos A = {2, 4, 6, 8}, B = {2, 8, 4, 6} y C = {2, 2, 4, 4, 6, 8}. A = B = C. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 7 / 20

8 Teoría de conjuntos. Definiciones A es subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A está en B (A B,) relación de inclusión. A B y B A si y sólo si A = B. Ejemplos Es A subconjunto de B, si A = {1, 3, 4} y B = {1, 4, 3, 2}? Sean A todos los múltiplos de 4 y B todos los múltiplos de 2. Es A un subconjunto de B? Es B un subconjunto de A? Camacho Introd. a la Matemática Discreta 8 / 20

9 Teoría de conjuntos. Definiciones A es un subconjunto propio de B si y sólo si cada elemento de A está en B, y existe por lo menos un elemento de B que no está en A. (A B). Ejemplos {1, 2, 3} es un subconjunto de {1, 2, 3}, pero no es subconjunto propio. {1, 2, 3} es un subconjunto propio de {1, 2, 3, 4}, 4 / {1, 2, 3}. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 9 / 20

10 Teoría de conjuntos. Definiciones El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota P(A). B A es equivalente a decir B P(A). Ejemplo Si A = {a, b}, P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Si a A entonces {a} P(A). Camacho Introd. a la Matemática Discreta 10 / 20

11 Teoría de conjuntos. Operaciones Unión A B, al conjunto de todos los elementos que están en A o en B. Diagrama de Venn Intersección. A B, al conjunto de todos los elementos que están en A y en B. Diagrama de Venn Camacho Introd. a la Matemática Discreta 11 / 20

12 Teoría de conjuntos. Propiedades de la union y de la intersección { (A B) C = A (B C) Propiedad asociativa: (A B) C = A (B C) { A B = B A Propiedad conmutativa: A B = B A { A A = A Propiedad idempotente: A A = A { A = A A X = X Elemento ínfimo y elemento universal: A = A X = A { (A B) A = A Ley de simplificación: (A B) A = A { A (B C) = (A B) (A C) Propiedad distributiva: A (B C) = (A B) (A C) Camacho Introd. a la Matemática Discreta 12 / 20

13 Teoría de Conjuntos. Tablas de pertenencia Tablas de pertenencia Sean A y B conjuntos de X. Sea x X. Si x es un elemento de un conjunto dado escribimos un 1 y si x no es elemento del conjunto escribimos un 0. Probar que A (B C) = (A B) (A C). (Propiedad distributiva). A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) Camacho Introd. a la Matemática Discreta 13 / 20

14 Teoría de conjuntos. Notas Conjuntos disjuntos. A B = Extensión de la unión a una colección finita de elementos. n A i = A 1 A n. i=1 Extensión de la intersección a una colección finita de elementos. n A i = A 1 A n. i=1 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 14 / 20

15 Teoría de conjuntos. Notas. A B es el conjunto de los elementos que están en A y no en B. A X, complementario de A con respecto a X, A, al conjunto X A. El complementario verifica las siguientes propiedades: = X y X =. A = A. A B = A B. A B = A B. Si A B, entonces B A. A A = X y A A =. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 15 / 20

16 Teoría de Conjuntos. Producto Cartesiano. Aplicaciones Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a está en A y b está en B, se denomina producto cartesiano de A por B, A B. Se tiene que A B = A B. Una correspondencia entre los conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano A B. Si un par (a, b) pertenece a un tal subconjunto diremos que al elemento origen a le corresponde el elemento destino b. Una aplicación entre los conjuntos A y B es una correspondencia tal que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto de llegada, a tal elemento lo llamaremos imagen. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 16 / 20

17 Inyectiva cada elemento del conjunto de llegada es imagen, a lo más, de un elemento del conjunto de partida. Ejemplo Sobreyectiva cada elemento del conjunto de llegada es imagen, al menos, de un elemento del conjunto de partida. Ejemplo Ejemplo Biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

18 Teoría de Conjuntos. Propiedades. Sea f : A B una aplicación y A y B conjuntos: f es inyectiva si y sólo si f(x) = f(y) = x = y. Si f inyectiva = A B. Si f sobreyectiva = A B. Si f biyectiva = A = B. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 18 / 20

19 Teoría de Conjuntos. Ejercicios. Ejercicio. Dados dos conjuntos A, B, se define su diferencia simétrica A B como A B = {x A B tales que x / A B}. 1 Es cierto que A B A? 2 Demostrar que A B = (A B) (Ā B). 3 Demostrar que A B = (Ā B) (A B). Camacho Introd. a la Matemática Discreta 19 / 20

20 Teoría de Conjuntos. Bibliografía. 1 F. García Merayo, Matemática Discreta. Editorial Thomson, 2 a Edición, R. P. Grimaldi, Matemáticas discreta y combinatoria. Editorial Addison Wesley Iberoamericana, K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications. Editorial McGraw-Hill, Camacho Introd. a la Matemática Discreta 20 / 20