Matemática Discreta TEORÍA DE CONJUNTOS

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1 Matemática Discreta Instructor: Marcos Villagra Clase # Escriba: Arturo Ramón González Osorio 30/10/17 TEORÍA DE CONJUNTOS Definición 1 Conjuntos: Es una colección de elementos que pueden ser finitos o infinitos. Ejemplo 1: {1,, 3} (1) {1,, 3,...} () { n n 0 } (3) (1) representa un conjunto finito de elementos, () un conjunto infinito de elementos y (3) en caso que un conjunto sea infinito o sea finito pero muy grande, se puede representar mediante una caracterización de una propiedad especifíca para poder ser miembro del conjunto 1. En el idioma inglés, tiene el nombre de set builder y en general se representa: { x p(x) } (4) Ejemplo : Algunas representaciones de conjuntos: N = {1,, 3,...} A = {x N 5 x 10} Definición Sub Conjuntos: Decimos que X es un subconjunto de Y si y solo si todos los elementos de X estan en Y. X Y Ssi x X x Y Definición 3 Diagrama de Venn : Es una representación gráfica de los conjuntos. el Diagrama de Venn, la figura cuadrangular representa el universo de elementos. subconjuntos de ese universo, se dibujan con círculos. En Los Ejemplo 3: Se observa en la Figura 1 dos ejemplos de utilizacion del Diagrama de Venn. Para el primer gráfico, se puede observar que el conjunto A no comparte ningún elemento del conjunto B, por lo tanto se puede decir que: A B Por otro lado, se puede observar que todos los elementos del conjunto X se encuentra contenido en el conjunto Y, en consecuencia: X Y 1 Johnsonbaugh, R. (005). Matemáticas discretas. Pearson Educación. Íbid.

2 Figure 1: Diagrama de Venn Definición 4 Conjuntos Numéricos 3 : Para el conjunto de todos los números, existen ciertos simbolos reservados para las representaciónes de los mismos. Dependiendo de las característica y naturaleza de los números, se pueden representar de la siguiente manera: N = {1,, 3,...} Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...} Q = { m n m, n Z n 0} Números Naturales Números Enteros Números Racionales Q = {, 3, π, e, Ω...} R = {N, Z, Q, Q} Números Irracionales Números Reales Definición 5 Conjunto Universal 4 : Es el conjunto de todos los conjuntos. Este conjunto U se denomina Conjunto Universal o Universo. Definición 6 Complemento de un Conjunto 5 : Dado el universo U y un subconjunto A del mismo, al conjunto resultante de U - A se denomina Complemento de A y se representa mediante Ā, A, A, A c Formalmente se define como: Ā = {x U x A} Definición 7 Conjunto Vacío: Es el conjunto que no tiene ningún elemento. = { } Definición 8 Conjuntos Positivos y Negativos: Son los conjuntos o que consideran solo números positivos o solo números negativos. Ejemplo 4: Se toma como un conjunto de muestra, el conjunto de los Números Enteros Z Z + = {x Z x > 0} (1) Z = {x Z x < 0} () 3 Matousek, J. an Nesetril, J. (1998). Invitation to Discrete Mathematics Oxford University Press. 4 Johnsonbaugh, R. (005). Matemáticas discretas. Pearson Educación. 5 Íbid.

3 Definición 9 Demostraciónes 6 : Son todos aquellos argumentos que establecen la veracidad de un teorema. Algunos metodos generales para realizar demostraciónes son: Deducción. Contradicción. Inducción. Ejemplo 5: Método de Deducción Teorema 1 : Para todo conjunto A, A A Demostración. Por deficinion de subconjunto x A x A Teorema : Para todo conjunto A, A Demostración. x x A Ejemplo 6: Método de Contradicción (Law of excluded middle) P P Demostrar: A Demostración. Suponemos por contradicción que existe x tal que x, pero x por definición de conjunto vacío. Definición 10 Conjunto Potencia 7 : El conjunto de todos los subconjuntos de un determinado conjunto. A = {S A} Ejemplo 7: Dado A = {1,, 3}, determinar A {1,,3} = {, {1,, 3}, {1}, {}, {3}, {1, }, {1, 3}, {, 3}} Definición 11 Cardinalidad de Conjuntos: Representa la cantidad de elementos que tiene un determinado conjunto. A = Cantidad de Elementos del conjunto A Ejemplo 8: Determinación de la cantidad de elementos de los conjuntos {1,, 3} = 3 N = ℵ 0 (Aleph) R = ℵ 0 Obs.: ℵ 0 < ℵ 0 6 Johnsonbaugh, R. (005). Matemáticas discretas. Pearson Educación. 7 Íbid. 3

4 Definición 1 Operaciónes entre Conjuntos Unión. Intersección. Complemento. Diferencia. Definición 13 Unión: A B = {x x A x B} Definición 14 Intersección: A B = {x x A x B} Definición 15 Complemento: A c = U A Definición 16 Diferencia: Se puede representar como A \ B Formalmente se define como: A B A B A \ B = {x x A (x A x B)} Definición 17 Producto Cartesiano 8 : A y B son dos conjuntos. Sea A B el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) donde x pertence a A e y pertences a B, A B se conoce como Producto Cartesiano. A B = {(x, y) x A x B} Obs.: Tuplas Vs. Conjuntos. (Diferenciar bien) Ejemplo 9: Dados {1,, 3} {3, 4} el producto cartesiano es: {(1, 3), (1, 4), (, 3), (, 4), (3, 3), (3, 4)} Notese que el ejemplo presentado, {1,, 3} {3, 4} = A B = 6 por lo tanto, el conjunto de todos los pares ordenados de la operacioń, tiene 6 elementos. Definición 18 Relaciones 9 : La presencia del par ordenado (a, b) en una relación se interpreta como que existe una relación de a a b. Se denota como: R A B ó arb Definición 19 Función: Sea R una realción. Una función f es una relación f R donde a A exista exactamente una b B tal que afb (Ver Figura ). Obs.: Si f(a) = b f(a) = C entonces a = b 8 Johnsonbaugh, R. (005). Matemáticas discretas. Pearson Educación. 9 Íbid. 4

5 Figure : Esquema de una función Definición 0 Sea A y B os conjuntos. Una función f es una relación f A B para toda a A existe exactamente una b B tal que afb Definición 1 Función Sobreyectiva: Sea f : A B una función, decimos que es sobreyectiva si y solo si para todo b B, existe a A tal que f(a) = b Figure 3: Función Sobreyectiva f(x) < x f : R R g(x) < x g : R R + 0 Definición Función Inyectiva: Sea f : A B una función, decimos que es inyectiva si y solo si f(a) = f(b) a = b (a b f(a) f(b)) Definición 3 Función Biyectiva: Sea f : A B una función, decimos que es biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva. 5

6 Definición 4 Función Inversa: Sea f : A B una función biyectiva, decimos que la inversa de f, denotada f 1, donde f 1 (b) = a si y solo si f(a) = b Definición 5 Inducción Ejemplo 10: Argumentación Inductiva, Definiciones n = n i = i=1 n(n + 1) n(n + 1) Caso Base: 0(0 + 1) n = 0 = 0 Paso Inductivo: (Consiste en establecer una hipotesis de inducción) Para n fijo se tiene: n = es cierto, entonces para n+1 también se cumple: n(n + 1) n(n + 1) } {{ n } +(n + 1) = + (n + 1) n + n + n + = (n + 1)(n + ) Definición 6 Principio del Buen Ordenamiento (PBO): Cada conjunto no vacío de enteros positivos tiene un elemento mínimo. Sea P (n) un predicado. Un conjunto de contraejemplos C = {n P (n) = F abio}, por el PBO existe n o C que es mínimo. Entonces P (1)... P (n 0 1) P (n 0 ) Si n Z + n C y n es mínimo entonces: Si (Por el contrapositivo) ó entonces n Z + se cumple que n C P (1)... P (n 1) P (n) (P (1)... P (n 1)) P (n) (P (1)... P (n 1)) P (n) Ejemplo 11 n N es primo si no tiene un divisor entre 1 y n. compuesta. Caso contrario, es Ejemplo 1 Todo numero n Z + se puede escribir como n = p 1.p 1.p...p n donde cada p i es primo. Demostración. Por inducción se establece: Caso Base: n = Paso Inductivo: suponer que para k < n se cumple 6

7 Si n es primo, está demostrado. Si n es compuesto entonces k < n donde d es divisor de n. Como d es divisor de n, d < n y d = p 1.p 1.p...p k l tal que dl = n y l < n y l = p 1...p m Entonces dl = (p 1...p k )(p 1...p m) = n Definición 7 El Problema del Tromino 10 : Un tromino es un objeto formado por tres cuadros como el que se observa en la Figura 4. Un tromino es un tipo de poliomino. Desde que Solomon W. Golomb 11 introdujo los poliominos en 1954, ha sido un tema favorito de matemáticas recreativas. Un poliomino de orden S consiste en S cuadros unidos en las orillas. Un tromino es un poliomino de orden 3. Tres cuadros en una fila forman sólo otro tipo de poliomino de orden 3. (No se ha encontrado una fórmula sencilla para el número de poliominos de orden s). Figure 4: Tromino La prueba inductiva de Golomb indica que si se quita un cuadro de un tablero de n n, donde n es una potencia de, se puede cubrir con trominos el resto de los cuadros (ver la Figura 5). Cubrir una figura con trominos significa un cubrimiento exacto de la figura con los trominos sin que ninguno de los trominos se traslape con otro o se extienda fuera de la figura. Un tablero al que le falta un cuadro se llama tablero deficiente. Figure 5: Cobertura de un tablero deficiente de 4 4 con trominos. 10 Johnsonbaugh, R. (005). Matemáticas discretas. Pearson Educación. 11 Golomb, S. W. (1954). Checker boards and polyominoes. The American Mathematical Monthly, 61(10),

8 Ejemplo 13 Mediante inducción matemática sobre n para probar que es posible cubrir un tablero deficiente de n n Caso Base: Si n = 1 el tablero deficiente, tiene x y se convierte practicamente en un tromino, por lo que se puede cubrir con un solo tromino. Paso Inductivo: Se supone que se puede cubrir un tablero deficiente de n n. Se debe probar que es posible cubrir un tablero deficiente de n+1 n+1. (Ver Figura 6) Figure 6: Empleo de la inducción matemática para cubrir un tablero deficiente de n+1 n+1 con trominos. 8