Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática MATEM Décimo Año- -Modalidad bienal- II EXAMEN PARCIAL 2016.

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1 Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática MATEM Décimo Año- -Modalidad bienal- II EXAMEN PARCIAL 2016 Nombre: código: Colegio: Sábado 27 de agosto de 2016

2 INSTRUCCIONES 1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas. 2. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de contestar. 3. Este examen consta de tres partes. La primera de ellas es de respuesta corta (10 puntos), la segunda es de selección única (20 puntos) y la tercera es de desarrollo (20 puntos). 4. En los ítems de selección y de respuesta corta puede usar el espacio al lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. 5. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos. Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra. 6. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está desordenada, ésta, no se calificará. 7. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene únicamente las operaciones básicas. 8. Trabaje con calma. Le deseamos el mayor de los éxitos.

3 I Parte. Respuesta corta. Total de puntos 10 A. Considere la gráfica de la función f dada a continuación e indique lo que se le solicita en cada caso: 1. Dominio: 2. Rango: 3. Un intervalo donde es creciente: 4. Conjunto solución de f(x) < 0 5. Signo de f( 4) f(4) 6. Cantidad de preimágenes de 1

4 B. Considere las funciones definidas en sus respectivos dominios máximos por h(x) = 4 x 2 y g(x) = x 4 1. Calcule el valor de (hog)(7) 2. Indique el dominio de g h 3. Escriba el par ordenado correspondiente a la intersección de la gráfica de h con el eje X 4. Determine la preimagen de 2 bajo la función hog II Parte. Selección única. Total de puntos 20 puntos INSTRUCCIONES: A continuación, se le presentan 20 enunciados, cada uno con cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una equis (x) sobre el número que corresponde a la opción que completa de forma correcta cada enunciado. 1. El conjunto solución de la inecuación 3 x < 4(3 x) corresponde a: 1) R 2) R {3} 3) ], 3[ 4) ]3, + [

5 El conjunto solución de la inecuación x x x corresponde a: 1) [1, 3 2 ] [3 2, 2] 2) ], 1] [ 3 2, 2] 3) ], 1] [2, + [ 4) [1, 3 ] [2, + [ 2 3. El conjunto solución de x 2 36 corresponde a: 1) [0,6] 2) [ 6,6] 3) ], 6] 4) ], 6] [6, + [ 4. El conjunto solución de x2 +2x x corresponde a: 1) R 2) 3) ], 1] 4) [1, + [

6 5. El conjunto solución de la inecuación (2 x)(x 3) 0 corresponde a: (1 x)(1+x) 1) ] 1,1[ [2,3] 2) ], 1[ [3, + [ 3) ], 1[ ]1,2] [2,3] 4) ], 1[ ]1,2] [3, + [ 6. El conjunto solución de la inecuación x 4 8 corresponde a: 1) [ 12,12] 2) [0,12] 3) [12, + [ 4) ], 12] [12, + [ 7. El conjunto solución de la inecuación x + 5 > 3 corresponde a: 1) 2) R 3) ] 8, 2[ 4) ]2,8[ 8. Una opción que presenta un ejemplo de una relación r: { 2, 1,0,1,2} R que corresponde a una función es: 1) G = {(1,3), ( 1,2), (2,2)( 1,1), (2,3), ( 2,3)} 2) G = {( 2,5), ( 1,5), (0,5)(1,5), (2,5)} 3) G = {(x, y): x = y 2 } 4) G = {(x, y): x 2 + y 2 = 1}

7 9. Una opción que presenta un ejemplo de una relación que es una función g: N N corresponde a: 1) g(x) = x x+1 2) g(x) = x 3) g(x) = x 4) g(x) = x 10. Sea f: R { 1} R tal que f x 5 corresponde a: 1) x. En la función anterior la preimagen de 2) 1 6 3) 4 5 4) Sea g: [0, + [ R tal que g(x) = x. Sobre la gráfica de la función h, definida por h(x) = g(x 5), se puede afirmar que se obtiene al desplazar la gráfica de g 1) 5 unidades hacia la izquierda 2) 5 unidades hacia la derecha 3) 5 unidades hacia arriba 4) 5 unidades hacia abajo

8 12. El dominio máximo de la función f cuyo criterio es f(x) = x 2 1 corresponde a: 1) [ 1,1] 2) R { 1,1} 3) [1, + [ 4) ], 1] [1, + [ 13. El dominio máximo de la función f cuyo criterio es f(x) = 1 x corresponde a: x 2 1) R {2,4} 2) ]2, + [ 3) ]2,4[ 4) ]2, + [ {4} 14. Si g: R {2} R {0} tal que g(x) = 4 el criterio de g 1 corresponde a x 2 es una función biyectiva entonces 1) g 1 (x) = x 2 4 2) g 1 (x) = x 3) g 1 (x) = 6 x 4) g 1 (x) = 4x 2 x

9 15. Una opción que presenta un ejemplo con la gráfica de una función y = f(x) es 1) 2) 3) 4) 16. Sea h: R R una función biyectiva tal que h(2) = 5. Si h 1 ( k+4 6 ) = 2 entonces el valor de k es: 1) 3 2 2) 1 3) 14 4) 26

10 17. Las gráficas de las funciones f y g son las siguientes: Considere las afirmaciones: I. (g f)(0) = 0 II. (f g)(0) = 6 III. (f f)(2) = 2 IV. (g g)(3) = 5 De las afirmaciones anteriores son correctas solamente 1) I y II 2) II y IV 3) III y IV 4) I y III 18. Una función f se dice que es constante en un intervalo I si para todo x 1, x 2 I se cumple que: 1) f(x 1 ) f(x 2 ) 2) f(x 1 ) f(x 2 ) 3) f(x 1 ) = f(x 2 ) 4) f(x 1 ) f(x 2 )

11 19. Sea g: R + R tal que g(x) = 5x x 2. Cuál es la preimagen de 1? 1) 3 2) 17 3) 1 5 4) Una opción que presenta la gráfica de una función inyectiva corresponde a: 1) 2) 3) 4)

12 III Parte. Desarrollo. Total de puntos 20 INSTRUCCIONES: A continuación, se le presentan 4 ejercicios. Resuélvalos en forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos necesarios para obtener la respuesta correcta. 1. Determine el conjunto de todos los números reales que son solución de la inecuación 5 puntos x x 4 x 1 x 1 1 x 2

13 2. Determine el conjunto de todos los números reales que son solución de la inecuación 5 puntos (x 2) 2 < (2x 1) 2

14 3. Considere la función f: R R definida por f(x) = x 2 4. Determine las intersecciones con los ejes del sistema de coordenadas y haga un bosquejo de la gráfica de y = f(x). 5 puntos

15 4. Determine el dominio máximo de la función f cuyo criterio es f(x) = x2 x 6 4x x 3 5 puntos