Universidad de Costa Rica. Instituto Tecnológico de Costa Rica TERCER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO. Miércoles 3 de setiembre de 2014

Transcripción

1 Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica TERCER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO Miércoles 3 de setiembre de 04 INSTRUCCIONES Lea cuidadosamente, cada instrucción y pregunta, antes de contestar. Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra indeleble para resolver este eamen. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna respuesta o procedimiento está desordenado, éste no se calificará. Este eamen es de desarrollo, por lo que debe aparecer todo el procedimiento que justifique correctamente la solución y la respuesta de cada ítem. Recuerde que sólo puede utilizar calculadora que únicamente efectúe las operaciones básicas. No se permite el uso de calculadora científica de ningún tipo. La prueba debe resolverse individualmente. Este eamen consta de 6 ítems y un total de 50 puntos. El tiempo disponible para resolver la prueba es de tres horas. Nombre completo del estudiante: Nombre del colegio: Código del estudiante: MATEM 04 Página

2 . (5 puntos) Considere la función f: de la siguiente gráfica, así como la recta tangente a ella en el punto de coordenadas 0, : Si se sabe que para todo se cumple que f e, determine f. MATEM 04 Página

3 . Calcule las siguientes integrales: 5e a. (4 puntos) e d b. (7 puntos) 4 cos d MATEM 04 Página 3

4 c. (5 puntos) 0 sen d d. (5 puntos) arcsen 3 4 d MATEM 04 Página 4

5 3. (8 puntos) Calcule, usando la definición de integral definida mediante sumas de Riemann, el d. valor de 3 MATEM 04 Página 5

6 4. (5 puntos) Demuestre, utilizando integrales, que el área del triángulo cuyos vértices son el origen del sistema de coordenadas y los puntos donde la recta de ecuación y m b interseca a los ejes, con m0 b es igual a b A. m MATEM 04 Página 6

7 5. (7 puntos) Haga un bosquejo del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por las curvas determinadas por las ecuaciones y y y en torno a la recta de ecuación y, en la cual se resalte una sección transversal. Utilice integrales para calcular su volumen. MATEM 04 Página 7

8 6. (4 puntos) Verifique que la función F :, tal que F números críticos. dt no tiene t MATEM 04 Página 8

9 Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica TERCER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO Miércoles 3 de setiembre de 04 SOLUCIÓN. (5 puntos) Considere la función f: de la siguiente gráfica, así como la recta tangente a ella en el punto 0, : Si se sabe que para todo se cumple que f e, determine Solución f e f e A f e A B Como f. Además, se sabe que f 0 y f 0 por lo que MATEM 04 Página 9

10 f e 3. Por lo tanto f 0 A f 0 B A 0 B 3. Calcule las siguientes integrales: 5e a. (4 puntos) e d b. (7 puntos) c. (5 puntos) d. (5 puntos) 0 4 cos sen d arcsen 3 4 d d Solución 5e e d d du u C e C a. e e arctan arctan u u e du e d b d d csc d -cos sen ln cot C c. sen d sen d sen d sen d sen d cos cos 4 0 MATEM 04 Página 0

11 d. arcsen 3 d arcsen d 3 4 u arcsen du d 3 u du C C u arcsen 3. (8 puntos) Calcule, usando la definición de integral definida mediante sumas de Riemann, Solución d. el valor de 3 Se tiene que f 3, a, b, 3, n i 3i n f i i 9i 6i n n n 3i 3i 3 n n i 9i n n n n n 3 8i 9i 33 54i 7i f i i 3 i i n n n i n n n n n 7 n n n n n n n n n 6 n n n i 3 i n 3 i i i n n n n n d lim n n n n n n MATEM 04 Página

12 4. (5 puntos) Demuestre, utilizando integrales, que el área del triángulo cuyos vértices son el origen del sistema de coordenadas y los puntos donde la recta de ecuación y m b interseca a los ejes, con m0 b es igual a Solución b A. m b En la siguiente figura considere los puntos A0, b, B, 0 y C 00,. m Como se trata de una función continua y en un intervalo en el cual no es negativa, el área de la región triangular está dada por b m m m m b b b b b A m bd b b m m m m m 0 0 b 5. (7 puntos) Haga un bosquejo del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por las curvas determinadas por las ecuaciones y y y en torno a la recta de ecuación y. Utilice integrales para calcular su volumen. Solución Los puntos de intersección de las curvas son 00, y, que se obtienen al resolver la ecuación La sección transversal es una corona circular cuyos radios (mayor y menor) están dados: MATEM 04 Página

13 R y r. El área de la sección transversal está dada por 4 4 A para 0 Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución generado es: V d unidades de volumen. 6. (4 puntos) Verifique que la función :, críticos. F dt dt dt t t t a a F F tal que F dt no tiene números Como F nunca es igual a cero ni se indefine para, entonces la función F no tiene números críticos. t MATEM 04 Página 3