8 x2 y 3 x 4 ( ) define a y como función

Transcripción

1 Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia, Depto. de Matemática y C.C. Departamento de Matemática y C.C. Asignatura: Cálculo Anual Ingeniería Civil PEP, Año 0 Problema. 0 pts.) Considere la función f) = π ep.) Verifique que f ) = )f) y f ) =.) Determine máimos y/o mínimos y puntos de inflección..) Encuentre intervalos de crecimiento y de concavidad..4) Determine asíntotas y grafique la función f. Problema. 0 pts.) Usando L Hôpital, calcule: ) ), R. ) ) f)..) + ln + ).) sen ) +ln+).) sen Problema. 5 pts.) La relación implícita de. ) )y = ln 8 y 4 ) define a y como función.) Calcule el valor de y cuando =..) Encuentre dy d..) Determine la ecuación de la recta normal a la curva dada por la relación ), cuando =. Problema 4. 5 pts.) Por la parte superior de un tazón semiesférico de radio R = 0[m], entra agua a razón constante de Q[ m min ]. Además, en la parte inferior el tazón tiene un orificio que permite la salida del agua a razón constante de Q[ m min ]. Ver figura vista Se puede demostrar que en cualquier instante el volumen de agua en el tazón es V = Rπh π h, donde h es la profundidad del agua en el tazón Calcule el valor de la razón Q en [ m min ], si la razón de cambio de la profundidad del agua cuando el tazón está lleno a la mitad de su capacidad es de 5π [ m min ]. lateral

2 PAUTA PEP Problema. 0 pts.) Considere la función f) = π ep.) Dada f) = π ep ) ). ) ), R. Calculo de la a Derivada [ f ) = d d π ep ) )] = π ep ) ) ) = π ep ) ) ) ) = f) ) ) = )f) Calculo de la a Derivada. Usando el resultado anterior se tiene: f ) = d [ ] d )f) = d [ )f)] d = [ f) + )f ) ] = { f) + ) [ ]} )f) = ) ) f).) Determine máimos y/o mínimos y puntos de inflección. Comentario previo: Ya que la función eponencial verifica que ep > 0, R, claramente, f) > 0, R. Por lo tanto f ) = 0 )f) = 0 = 0 = Entonces, =, es un posible máimo o mínimo para f. Si utilizamos el criterio de la a derivada para máimos y/o mínimos, se tiene f ) = ) ) f) = f) = π < 0 Luego, en =, la función f tiene un máimo global.

3 Los candidatos a puntos de inflección son los tales que f ) = 0 o f ) no eiste. Como f ) eiste, para todo R, entonces estudiamos la ecuación. f ) = 0 ) ) f) = 0 ) = 0 ) = = ± = = 5 En consecuencia, = y = 5 son candidatos a punto de infleión..) Encuentre intervalos de crecimiento y de concavidad. Crecimiento de f. Determinemos el signo de f ) f ) > 0 )f) > 0 < 0 < f ) < 0 )f) < 0 > 0 > Por lo tanto f es estrictamente creciente en el intervalo ], [ y estrictamente decreciente en el intervalo ], + [. Concavidad de f. Determinemos el signo de f ) f ) > 0 ) ) f) > 0 ) ) > 0 ) ) < 0 ) < 0 ], [ ]5, + [ f ) < 0 ) ) f) < 0 ) ) < 0 ) ) > 0 ) > 0 ], 5[

4 Por lo tanto f es convea en el intervalo ], [ ]5, + [ y cóncava en el intervalo ], 5[. Además concluimos que = y = 5 son puntos de infleión.4) Determine asíntotas y grafique la función f. Asíntotas Verticales: No tiene, ya que, la función f) es continua en todo R. Asíntotas Horizontales: Calculemos los limites. f) = ± ± π ep En consecuencia, la recta y = 0 es Asíntota Horizontal. Gráfico de f) ) ) = 0 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0, Problema. 0 pts.) Usando L Hôpital, calcule:.) La evaluación directa del limite, muestra que éste tiene forma indeterminada 0 0. Usando L Hôpital se tiene + ln + ) = + + =.) La evaluación directa del limite, muestra que éste tiene forma indeterminada 0 0. Usando L Hôpital se tiene sen = cos =.) En virtud a los items anteriores y del hecho que sen ) ) +ln+) = ep sen ln = Problema. 5 pts.) La relación )y = ln de. ) +ln+) ) 8 y 4 = ep +ln+) ln ) ) sen ) define a y como función implícita.) Si =, entonces ) )y = ln 8 y 4 = ln ) ln 8 y 8 y = 0 ) 8 y = e 0 = y = 8 y =

5 .) Encuentre dy d. La relación ) se pede escribir como ln 8 8 y ) 8 y y + y y ) 8 y ) 8 y )y = 4. Derivamos implícitamente y + ) y y ) = 4 y + ) y y ) = 4 + y y + y )y y = 4 ) )y y = 4 y y y = 4 y y )y ).) Determine la ecuación de la recta normal a la curva dada por la relación ), cuando =. Como vimos en el item.), si = entonces y =, por lo tanto, se debe determinar la ecuación de la recta normal, que pasa por el punto de coordenadas 0, y 0 ) =, ). La pendiente de la recta tangente en el punto 0, y 0 ), se obtiene al calcular y 0, y 0 ), usando el item,) se tiene y 0, y 0 ) = y, ) = 4 ) ) = 4 La relación entre la pendiente de la recta tangente y normal es m t m n =, con m t pendiente de la recta tangente y m n pendiente de la recta normal. En consecuencia 4 m n = m n = 4 La ecuación de la recta normal es dada por: y = 4 ), es decir, y = y y 0 = m n 0 ), luego la ecuación pedida es Problema 4. 5 pts.) Dado que el valor del radio del tazón es R = 0[m], el volumen de agua en él para cualquier instante) será V = 0πh π h, donde el volumen de agua V y la profundidad h son funciones dependientes del tiempo t, entonces, la variación del volumen en el tiempo es Además se tiene que Entonces dv dt = 0πh πh ) dh dt dv dt = Q Q = Q sin considerar unidades) Q = 0πh πh ) dh dt Por otro lado, la mitad de la capacidad corresponde a un cuarto del volumen de la esfera, es decir: 4 4 πr ) = π R

6 Entonces, el volumen de agua en dicho instante es 0 π. Con esto podemos obtener la profundidad h al resolver la ecuación cúbica 0πh π h = 0 π 0h h = 0 Importante: Para efectos de corrección, hasta aquí se considera correcto el problema. La solución de esta ecuación cúbica da como resultado h 6, 5 = Q = 0π ) ) π 5π Q = 00 dh, y como dt = 5π, se tiene