2 Funciones y gráficas

Transcripción

1 Programa Inmersión, Verano 07 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 00 y MATE 0 Clase #: lunes, de agosto de 07. Funciones y gráficas. Continuación: Gráficas de relaciones y funciones Continuamos con gráficas de relaciones y funciones. Ejemplo... Grafique la siguiente función definida por pedazos { x +, x f(x) = x, x >. Solución: Pimero note que el dominio de esta función es (, ), pues está definida para todos los reales. Ahora bien, cada pedazo de la función es una recta, por lo tanto, si tenemos dos valores (para cada pedazo), podemos graficar su recta. Primero tome el pedazo cuando x. Note que (0, ) y (, ) están en la recta y = x +. Ahora grafique estos dos puntos en el plano y trace la recta que pasa por ambos puntos. Sea cuidadoso(a), la recta llega hasta x =, pues para x >, tenemos otra definición para la función. La representación gráfica se encuentra a continuación. Los puntos están en azul Ahora tome el pedazo cuando x >. Note que (, ) y (, 9) estan en la recta y = x. Grafique estos dos puntos en el plano y trace la recta que pasa por ambos puntos. Sea cuidadoso(a), la recta llega hasta x =, pues para x, tenemos otra definición para la función. La representación gráfica se encuentra a continuación. Los puntos están en rojo.

2 Finalmente, ponga las dos rectas juntas para obtener la siguiente gráfica Ejemplo... La función Piso, denotada por f(x) = x, está definida como el entero mayor n tal que n x. Por ejemplo,. =, π = y. =. También note que si x [0, ), entonces x = 0. De igual forma, si x [, ), entonces x =. Por otro lado, si x [, 0), entonces x =. El patrón ahora es claro. Si a es cualquier entero, entonces x = a para todo x [a, a + ). O sea, la función f(x) = x es la constante a en el intervalo [a, a + ). Concluimos que la gráfica que f(x) = x está dada por

3 Funciones crecientes, decrecientes y constantes Definición... Sea f(x) una función. Decimos que. f(x) es creciente si a < b implica que f(a) f(b) para todo a, b dom(f). Si la desigualdad se reemplaza por <, i.e si a < b implica que f(a) < f(b) para todo a, b dom(f), entonces decimos que f(x) es estrictamente creciente.. f(x) es decreciente si a < b implica que f(a) f(b) para todo a, b dom(f). Si la desigualdad se reemplaza por >, i.e si a < b implica que f(a) > f(b) para todo a, b dom(f), entonces decimos que f(x) es estrictamente decreciente.. f(x) es constante si a < b implica que f(a) = f(b) para todo a, b dom(f). Ejemplo... Considere la función definida por 0, x 0 f(x) = x, 0 < x x, x >. Usando las técnicas discutidas anteriormente, podemos graficar esta función. En este caso, tenemos Note que f(x) es constante en (, 0], estrictamente creciente en (0, ] y estrictamente decreciente en (, ). De ahora en adelante, cuando digamos creciente, entenderemos estrictamente creciente. De igual forma cuando digamos decreciente. Ojo, esto se hace para simplificar la lectura, pero recuerde que creciente y estrictamente creciente no son sinónimos. Ejemplo..5. Sin graficar, determine si la función f(x) = x + es creciente o decreciente. Solución: Suponga que a < b. Note que a < b a < b a + < b + f(a) < f(b). Como a < b implica que f(a) < f(b), entonces concluimos que la función f(x) = x+ es (estrictamente) creciente.

4 Ejemplo... Sin graficar, determine si la función f(x) = /x es creciente o decreciente en (0, ). Solución: Suponga que a < b. Note que a < b a > b a > b f(a) > f(b). Como a < b implica que f(a) > f(b), entonces concluimos que la función f(x) = /x es (estrictamente) decreciente.. Familias de funciones, transformaciones y simetría Existen ocasiones en las cuales podemos obtener la gráfica de una función dada otra función. Por ejemplo, considere la función g(x) = x +. Observe que la gráfica de esta función se puede obtener de la gráfica de la función f(x) = x. Para ser más específico, a continuación verá las gráficas de ambas funciones. La función en rojo es f(x) = x, mientras la función en negro es g(x) = x Observe que la gráfica de g(x) = x + es la misma que la gráfica de f(x) = x, pero trasladada una unidad hacia arriba. En esta sección, dada una función f(x), estudiaremos transformaciones de la forma af(x h) + k, donde a, h, k R y a 0. Las gráficas de estas transformaciones pueden obtenerse de la gráfica de la función original. Transformaciones horizontales Si nos dejamos llevar por el orden de operaciones, la primera operación que tenemos que ejecutar en la fórmula y = af(x h)+k es substraer h de x. Luego, multiplicamos f(x h) por a y finalmente añadimos el valor de k. Este orden es importante, por lo tanto, empezaremos con transformaciones de la forma f(x h).

5 Definición... Si h > 0, entonces la gráfica de y = f(x h) es una traslación de h unidades a la derecha de la gráfica de y = f(x). Si h < 0, entonces la gráfica de y = f(x h) es una traslación de h unidades a la izquierda de la gráfica de y = f(x). Ejemplo... Considere la funciones f(x) = x, g(x) = x y h(x) = x + 5. Las gráficas de estas funciones están dadas por (f(x) en negro, g(x) en azul y h(x) en rojo) x + 5 x x - 5 unidades unidades Observe que la gráfica de g(x) es la gráfica de f(x) trasladada unidades hacia la derecha, mientras la gráfica de h(x) es la gráfica de f(x) trasladada 5 unidades hacia la izquierda. Ejemplo... Algunos ejemplos.. Grafique la función f(x) = x. Solución: Note que esta función es una traslación de una unidad hacia la derecha de la función x, por lo tanto, su gráfica es (f(x) = x en negro, x en rojo)

6 . Grafique la función f(x) = (x + ). Solución: Note que esta función es una traslación de tres unidades hacia la izquierda de la función x, por lo tanto, su gráfica es (f(x) = (x + ) en negro, x en rojo) Reflexión Ahora vamos a trabajar con transformaciones de la forma af(x). Note que si a =, entonces el valor de y = f(x) es el opuesto del valor de y = f(x). En otras palabras, todos los puntos en la gráfica de y = f(x) pueden obtenerse simplemente cambiando los signos de todas las coordenadas de y en la gráfica de y = f(x). Esto tiene el efecto de que ambas gráficas son la imagen de espejo de la otra con respecto al eje de x. Definición... La gráfica de y = f(x) es una reflexión en el eje de x de la gráfica de y = f(x). Ejemplo..5. Grafique cada una de las siguientes funciones.. f(x) = x. Solución: Note que f(x) = x es un reflexión de x. A continuación la gráfica de la función (f(x) = x en negro, x en rojo entrecortado)

7 . f(x) = x. Solución: Note que f(x) = x es un reflexión de x. A continuación la gráfica de la función (f(x) = x en negro, x en rojo entrecortado) f(x) = x. Solución: Note que f(x) = x es un reflexión de x. A continuación la gráfica de la función (f(x) = x en negro, x en rojo entrecortado) Estiramiento y contracción Note que todas las coordenadas de y en y = af(x) se obtienen multiplicando las coodenadas de y en la gráfica de y = f(x) por a. Si a >, entonces la gráfica de y = f(x) se estira por un factor de a. Si por el contrario, 0 < a <, entonces la gráfica de y = f(x) se encoje por un factor de a. Si a es negativa, entonces ocurre una reflexión y a la misma vez una estiramiento o una contracción. 7

8 Definición... La gráfica de y = af(x) se obtiene de la gráfica de y = f(x) por. Un estiramiento de la gráfica de y = f(x) por a cuando a >, ó. Una contracción de la gráfica de y = f(x) por a cuando 0 < a <. Ejemplo..7. Algunos ejemplos.. Grafique x, x y x. Solución: Note que x x x x x 0 0. Grafique x, x y x. Solución: Note que x x x Traslación vertical La última operación en la transformación y = af(x h) + k es la adición de k. Note que si sumamos la constante k a todas las coodenadas de y de la función y = f(x), entonces trasladamos la gráfica hacia arriba o hacia abajo dependiendo de si k es positivo o negativo. Definición... Si k > 0, entonces la gráfica de y = f(x) + k es una traslación de k unidades hacia arriba de la gráfica de y = f(x). Si k < 0, entonces la gráfica de y = f(x) + k es una traslación de k unidades hacia abajo de la gráfica de y = f(x).

9 Ejemplo..9. Algunos ejemplos.. Grafique x, x + y x 5. Solución: Note que x + x unidades unidades - x Grafique x, x + y x. Solución: Note que x + x x - Multiples transformaciones Para graficar y = af(x h) + k aplique las siguientes transformaciones en el siguiente orden. Traslación horizontal (h).. Reflexión/estiramiento/contracción (a).. Traslación vertical (k). 9

10 Ejemplo..0. Grafique y = (x ) +. Solución: Note que x - (x - ) + (x - ) (x - ) -5 - Simetría Observe que la función x tiene simetría con respecto al eje de y. 5 (-, ) (, ) (-, ) (, ) Esta simetría de x es especial, pero no es única para ella. Definición... Si f( x) = f(x) para todo x dom(f), entonces la función f(x) es par y su gráfica es simétrica alrededor del eje de y. Ejemplo... Determine cuales de las siguientes funciones son pares.. f(x) = x + x +.. f(x) = x x.. f(x) = x + x +. f(x) = x + x +. 0

11 Considere ahora la función x. En la gráfica de y = x encontramos los puntos (, ) y (, ). Note que el exponente impar en x hace que la segunda coordenada sea negativa cuando cambiamos la primera coordenada de positiva a negativa. Estos puntos están equidistantes del origen (0, 0) y en lados opuestos. Por lo tanto, la simetría de esta función es alrededor del origen. En este caso, f(x) y f( x) no son iguales, pero f( x) = f(x). 0 (, ) (-, -) - -0 Definición... Si f( x) = f(x) para todo x dom(f), entonces la función f(x) es impar y su gráfica es simétrica alrededor del origen. Ejemplo... Determine cuales de las siguientes funciones son impares.. f(x) = x + x +.. f(x) = x x.. f(x) = x + x. f(x) = x + x +.