1 Ecuaciones, desigualdades y modelaje

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1 Programa Inmersión, Verano 016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 001 y MATE 0 Clase #15: lunes, 0 de junio de Ecuaciones, desigualdades y modelaje 1.8 Continuación: desigualdades lineales y con valores absolutos Continuamos con desigualdades lineales y con valores absolutos. Ejemplo Resuelva las siguientes desigualdades compuestas. 1. x 9 9 ó 4 x. Solución: Note que mientras x 9 9 x 18 x 6, 4 x 4 x x 1 x. Por lo tanto, tenemos que x 6 ó x 1. O sea, (, 6] [1, ) (, ).. x < 4 y 4 x < 6. Solución: Note que x < 4 x > 4 6, mientras 4 x < 6 x < 4 ( 6) 8 Por lo tanto, tenemos que x > 6 y x < 8. O sea, ( 6, ) (, 8). 1

2 . 4 x 1 < 5. Solución: Note que 4 x 1 < x < x < 6 1 x <. Por lo tanto, la solución está dada por [ 1, ). 4. Ramón está en su primer año de bacillerato en Química. Ramón obtuvo 76 puntos en su último examen parcial del curso de Química General. Después de acer las debidas calculaciones (tomando en cuanta todas las notas obtenidas anteriormente y los pesos de éstas), Ramón se da cuenta que para sacar B en el curso, entonces el promedio del último examen parcial y el examen final debe estar entre 80 y 89 (inclusivo). Si todos los exámenes valen 100 puntos, entre qué valores debe estar la puntuación de su examen final si Ramón quiere obtener una B en el curso? Solución: Sea x la nota que Ramón obtiene en el examen final. Entonces, el promedio entre el último examen parcial y el examen final debe satisfacer la siguiente desigualdad, x x x 10 Por lo tanto, su puntuación en el examen final debe estar en el intervalo [84, 10]. Como los exámenes tiene un máximo de puntuación de 100 puntos, entonces, la puntuación en el examen final debe estar en el intervalo [84, 100]. Desigualdades con valores absolutos Las resolución de desigualdades con valores absolutos están relacionadas a la resolución de igualdades con valores absolutos. Por lo tanto, discutiremos primero igualdades con valores absolutos. Suponga que le piden que resuelva la siguiente igualdad x. En este caso, el conjunto solución no es díficil de obtener, i.e. {±}. Aora bien, cómo obtener estas dos respuestas de manera algebraica? Para responder esta pregunta, analizaremos con cuidado la definición del valor absoluto. Recuerde que { x, x 0 x x, x < 0.

3 Por lo tanto, cuando nos piden que resolvamos la igualdad x, tenemos que resolver el siguiente par de igualdades x, cuando x es no negativa, x, cuando x es negativa. Aora es claro que x (primera igualdad) y x (segunda igualdad) son soluciones a x. Esta técnica de dividir una igualdad con valores absolutos a dos igualdades sin valores absolutos es la forma en la cual vamos a resolver este tipos de igualdades en este curso. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Resuelva x 5. Solución: En este caso, tenemos que resolver las siguientes dos igualdades: x 5, cuando x es no negativo, (x ) 5, cuando x es negativo. La primera igualdad produce la solución x 5 x 7 x 7, mientras la segunda igualdad produce la solución (x ) 5 x 5 x x 1. { } 7 Por lo tanto, el conjunto solución está dado por, 1.. Resuelva 5x 1 9. Solución: En este caso, tenemos que resolver las siguientes dos igualdades: 5x 1 9, cuando 5x 1 es no negativo, (5x 1) 9, cuando 5x 1 es negativo. La primera igualdad produce la solución 5x 1 9 5x 10 x,

4 mientras la segunda igualdad produce la solución (5x 1) 9 5x 1 9 5x 8 x 8 5. Por lo tanto, el conjunto solución está dado por {, 8 }. 5. Resuelva x + 4x 1. Solución: En este problema tenemos que tener un poco de cuidado, pues, en principio, cada valor absoluto nos provee dos igualdades. Esto es, x + 4x 1, si ambos x + y 4x 1 son no negativos, (x + ) 4x 1, si x + es negativo, pero 4x 1 es no negativo, x + (4x 1), si x + es no negativo, pero 4x 1 es negativo, (x + ) (4x 1), si ambos x + y 4x 1 son negativos. Sin embargo, observe que la primera y la última ecuación son equivalentes (multiplique la última por 1 para obtener la primera), mientras la segunda y la tercera son equivalentes (multiplique la tercera por 1 para obtener la segunda). Por lo tanto, tenemos que resolver las siguientes dos ecuaciones x + 4x 1, (x + ) 4x 1. Esto no es una casualidad, en realidad, cuando se confronte con un problema de la forma ax + b cx + d, entonces las soluciones serán equellas que provengan de las siguientes dos ecuaciones ax + b cx + d, (ax + b) cx + d. Regresemos a nuestro problema. Observe que x + 4x 1, x 4x 1 x 4 x, 4

5 mientras (x + ) 4x 1, x 4x 1, x 4x 1 + 6x x 6 1. Por lo tanto, el conjunto solución a la igualdad x + 4x + 1 es { 1, }. Ya que emos trabajado con igualdades que envuelven valores absolutos, estudiamos aora problemas que envuelven desigualdades con valores absolutos. Considere primero el problema x <. De la misma manera que una ecaución de la forma x a se reduce a dos ecuaciones, la desigualdad x < se reduce a dos desigualdades x <, cuando x es positivo, x <, cuando x es negativo. La primera desigualdad tiene a (, ) como solución, mientras la segunda desigualdad es equivalente a x < x >, cuya solución es (, ). Por lo tanto, queremos x < y x >, en otras palabras, (, ) (, ) (, ). Otra forma de interpretar la desigualdad x < es que x está a menos de tres unidades de 0, i.e < x <, lo que implica que x está en (, ). Por otro, la desigualdad x > 5 significa que x está a más de cinco unidades de 0, en otras palabras, x > 5 ó x < 5. Esto nos indica que x está en (, 5) (5, ). Si continuamos analizando estas desigualdades llegamos a la siguiente conclusión: Desigualdad con valor absoluto Enunciado equivalente Solución en intervalos x < a a < x < a ( a, a) x a a x a [ a, a] x > a x > a ó x < a (, a) (a, ) x a x a ó x a (, a] [a, ) Ejemplo Resuelva las siguientes desigualdades lineales. 1. x + < 7. 5

6 Solución: Note que Por lo tanto, la solución es (, 5/).. 4 x 4. Solución: Note que Por lo tanto, tenemos En otras palabras (, ] [6, ).. 5x +. x + < 7 7 < x + < 7 9 < x < 5 < x < 5. 4 x 4 4 x. 4 x ó 4 x 4 x ó 4 + x x ó 6 x. Solución: Note que el valor absoluto de cualquier real es no negativo. Por lo tanto, 5x + < no tiene solución. Concluimos que las únicas soluciones están dadas por 5x +. Observe que para resolver 5x +, tenemos que resolver las igualdades 5x + 5x +. La primera igualdad nos da la solución x 1/5, mientras la segunda nos da x 1. Concluimos que el conjunto solución para la desigualdad 5x+ es { 15 }, Un técnico está probando una balanza con un bloque de ierro que pesa 50 lbs. La balanza pasa esta prueba si el error relativo cuando este bloque se pesa es menor que el 0.1%. Si x es la lectura en la pesa, entonces para que valores de x esta balanza pasa esta prueba? 6

7 Solución: Si el error relativo debe ser menor a 0.1%, entonces x debe satisfacer la siguiente desigualdad x 50 < Entonces, < x 50 < < x 50 < < x < Por lo tanto, la balanza pasa la prueba si enseña una lectura en el intervalo (49.95, 50.05). Funciones y gráficas.1 Funciones Antetiormente discutimos brevemente el concepto de funciones (vea lectura 6). Como parte de nuestra discusión, discutimos los conceptos de dominio y campo de valores. Estos dos conceptos son importantes, pues si f(x) es una función, entonces el dominio nos dice que valores x son válidos, mientras el campo de valores nos dice que valores obtiene la función. Si f : A B es una función, entonces el dominio de f es dom(f) {a A f(a) B}. El conjunto de los elementos de B que son imágenes de elementos de A se llama campo de valores (CV), i.e. Ejemplo.1.1. Algunos ejemplos. 1. Si la función está dada por CV(f) {f(a) a A} B. f {(1, ), (, 1), (4, ), (, )}, entonces dom(f) {1,,, 4} y CV(f) {1,, }.. Si f(x) x 1, entonces, dom(f) {x R x 1 0} { x R x 1 } [ ) 1,. Aora, si x 1/ y y x 1, entonces y 0. Concluimos que CV(f) [0, ). 7

8 . Si f(x) x, entonces dom(f) (, ) CV(f) [0, ). Puede explicar el por qué? Tasa de cambio promedio de una función Definición.1.. Sean (x 1, y 1 ) y (x, y ) son dos pares ordenados de una función. Definimos la tasa de cambio promedio de a función cuando x varía de x 1 a x como el cambio en la coordenada de y sobre el cambio en la coordenada de x, y x y y 1 x x 1. Por ejemplo, sea f(x) x. La tasa de cambio promedio de esta función en el intervalo [1, ] es y x Una representación gráfica de esto es f() f(1) (,9) 6 4 (1,1) f(x) x Observe que la tasa promedio de cambio de la función en el intervalo [1, ] coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, (f(1)) y (, f()). Ejemplo.1.. La población de Puerto Rico en el año 000 era de,808,610 (censo de los EEUU). En el 015, la población era de,474,18 (estimado censo de los EEUU). Cuál fue la tasa de cambio promedio de la población durante este periodo de tiempo? Solución: Suponga que p(t) corresponde a la población de Puerto Rico (medida en millones) en el año t. Entonces, la tasa de cambio de la población fue p t

9 Note que obtenemos una tasa de cambio negativa. Esto nos dice que el cambio en población promedio fue de millones de personas/año. Esto es lo mismo que decir que durante ese periodo, en promedio, la población de Puerto Rico perdía,95 personas por año. Suponga aora que queremos calcular la tasa de cambio promedio de la función f(x) en el intervalo [x, x + ]. Entonces tenemos la siguiente gráfica: (x+,f(x+) Δ yf(x+)-f(x) (x,f(x)) Δ x x x+ Observe que tenemos lo siguiente: y x f(x + ) f(x). Este cociente es bien importante, especialmente en cursos más avanzados como lo es el Cálculo. Por lo tanto, le daremos un nombre. Definición.1.4. El cociente diferencial de una función es la expresión f(x + ) f(x) En cursos más avanzados, especialmente en Cálculo, lo importante cuando trabaje con cocientes diferenciales será el poder eliminar la del denominador. Practiquemos este problema, i.e. eliminar la del denominador. Ejemplo.1.5. Encuentre el cociente diferencial de las siguientes funciones. 1. f(x) x +. Solución: Observe que f(x + ) f(x) (x + ) + (x + ) x + + x. 9

10 . f(x) x x. Solución: Observe que f(x + ) f(x) (x + ) (x + ) (x x) x + x + x x x x + (x + ) x +.. f(x) x. Solución: Observe que f(x + ) f(x) x + x ( ) x + x x + + x x + + x x + x ( x + + x) ( x + + x) 1. x + + x 4. f(x) 5 x. Solución: Observe que f(x + ) f(x) 5 x+ 5 x ( 5 ) 1 x + 5 x 1 ( ) 5(x + ) 5x x(x + ) 1 ( ) 5x + 5 5x x(x + ) 1 ( ) 5 x(x + ) 5 x(x + ). 10

11 . Gráficas de relaciones y funciones Anteriormente discutimos brevemente como graficar funciones. Repasemos un poco. Ejemplo..1. Algunos ejemplos. 1. Grafique la función f(x) x. Solución: Primero observe que tanto el dominio como el campo de valores de esta función es (, ). Por lo tanto, escojamos algunos puntos en este dominio. x f(x) x Aora graficamos los puntos y luego los unimos con una curva Grafique la función f(x) 1 x. Solución: Primero calularemos su dominio. Note que f(x) 1 x está definida si y solo si 1 x 0. O sea, si x 1. Por lo tanto, su dominio es (, 1]. Aora observe que si x 1, entonces y 1 x 0. Por lo tanto, el campo de valores es [0, ). Tomemos aora algunos valores en el dominio. 11

12 x f(x) 1 x Como icimos en el ejemplo anterior, graficamos los puntos y luego los unimos con una curva Grafique x y. Solución: Primero note que x 0, mientras < y <. Tomemos aora algunos valores: x y y Como icimos en los ejemplos anteriores, graficamos los puntos y luego los unimos con una curva