Funciones Exponenciales MECU 3031

Transcripción

1 Funciones Exponenciales MECU 3031

2 Funciones exponenciales Algunas funciones exponenciales siguen el siguiente modelo: f x = b a x + c, donde a, b, c son números reales tales que a >0 y a 1, y b 0

3 Resumen de comportamiento La función exponencial, f(x) = ba x, (para a, un número positivo diferente de 1, b > 0 y x cualquier número real) tiene las siguientes características

4 Gráficas Tracemos las gráficas de f(x) = 3 y h(x) = 1 x 3 x También, por propiedades de los exponentes: y = 1 3 x = 3 1 x = 3 x

5 Gráficas (cont.) Comparemos las gráficas de f(x) = 3 y h(x) = 1 x 3 x Nota que estas funciones exponenciales tienen en común: 1. el int-y es (0,1) 2. la asíntota horizontal es eje de x o sea y = 0 3. el dominio: todos los reales, campo de valores: y>0

6 Tracemos la gráfica de y = 3 x-2 Comparemos las tablas de valores de 3 x y 3 x-2 : Gráficas (cont.) 1. el dominio:,, 2. campo de valores: 0, 3. int-y ya NO es (0,1) 4. la asíntota horizontal y=0 y = 3 x-2 es una traslación horizontal de dos unidades hacia la derecha de y = 3 x.

7 Gráficas (cont.) Tracemos la gráfica de y = 3 x - 2 Comparemos tablas de valores de 3 x y 3 x 2 : x -3-2 y = 3 x el dominio:,, 2. campo de valores: 2, 3. int-y ya NO es (0,1) 4. la asíntota horizontal es y = -2 y = 3 x -2 es una traslación vertical de dos unidades hacia la abajo de y = 3 x Noten que la traslación vertical mueve también la asíntota horizontal dos unidades hacia la abajo de y = 3 x

8 Paree cada función con su gráfica. f(x) = 2 x g(x) = 2 3 x h(x) = 3 x + 2 p(x) = 4 x 3 a) b) c) d)

9 e La constante e DEFINICION: Llamamos la constante e la base natural. es un número irracional. f(x) = e x la función exponencial natural Por ejemplo: f x = 2e x+1 g x = 1 2 e2x h x =3e x 5

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11 La función exponencial natural Ejemplo 5: Graficar f x = e x, g x = e x, h x = e x 3 Crecientes o decrecientes? f(x) y h(x) son en todo su dominio g(x) es Dominio y campo de valores Dominio f(x), g(x) y h(x): Campo de valores de f(x) y g(x) es, y el de h(x) es. Asíntota horizontal: f(x) y g(x): h(x):

12 La constante e (continuación) Ej. Utilice su calculadora para aproximar los valores siguientes a 4 lugares decimales: a) e 2 b) e 3.55 c) 3e 0.5 d) e 1

13 La función de la base natural: e Aquí se presenta la gráfica de e x, al lado de 2 x y 3 x. Note: dominio: (-, ) campo de valores y > 0

14 Interés Compuesto Continuamente Una aplicación de la base natural, e, es la fórmula de interés compuesto: donde P = el principal (la inversión original) r = tasa de interés anual expresado como un decimal t = número de años que P se invierte A = valor de la inversión después de t años

15 Ejemplo Suponer que $20,000 se depositan en una cuenta que paga interés compuesto continuamente a una razón de 8% por año. Determine el balance en la cuenta luego de 5 años. Solución: Aplicamos la fórmula anterior con P = 20000, r = 0.08, y t = 5 : A = Pe rt = 20,000e 0.08(5) = 20,000e 0.4 $29,836.49

16 Fórmula de crecimiento La fórmula de interés compuesto es un caso particular de la formula de crecimiento. q = q 0 e rt, donde q es la cantidad final, q 0, es la cantidad inicial, r es la razon de crecimiento (en decimal) y t la cantidad de años. Ejemplo: La población de una ciudad en 1970 era 153,800. Asumiendo que la población crece continuamente a una razón de 5% por año, determine en qué año la población de la ciudad alcanza 1 millón primera vez. Para la solución aplicamos la fórmula de crecimiento con con

17 Ejemplo (cont.) población inicial: q 0 = 153,800 y razón de crecimiento: r = 0.05, nuestra función de crecimiento es q = 153,800e (0.05)(t) Por ejemplo, si t = 30 tenemos q = 153,800e (0.05)(30) q 689,284 Vemos que después de 30 años, todavía no se ha alcanzado el millón. La población será igual a 1 millón cuando 153,800e (0.05)(t) = 1,000,000. Cómo resolvemos una exponencial?

18 Ejemplo (cont.) Usando la calculadora gráfica 153,800e (0.05)(t) = 1,000,000.

19 Ejemplo (cont.) Usando la calculadora gráfica 153,800e (0.05)(t) = 1,000,000.

20 Teorema Las funciones exponenciales son crecientes o decrecientes en todo su dominio (monotónicas). Una función monotónica es una función uno-a-uno. Si f(x) = a x para 0 < a < 1 ó a >1 se cumplen las siguientes condiciones: 1. Si x 1 x 2, entonces a x 1 a x 2 2. Si a x 1 a x 2, entonces x 1 x 2. (cada valor de dominio tiene una imagen única, las y s NO se repiten.) La propiedad uno-a-uno de las funciones exponenciales nos permite resolver ecuaciones exponenciales sencillas.

21 Ejemplos Hallar x tal que 7 3x = 7 2x x = 7 2x + 5 ; dado 3x = 2x + 5; propiedad uno-a-uno de la 3x 2x = 5 x = 5. funciones exponenciales restar 2x en cada lado No olviden que siempre pueden resolver con el método gráficos que se presentó en la lección sobre funciones exponenciales naturales.

22 Ejemplos Resolver para x, 3 5x 8 = 9 x + 2

23 Resolver para x, x 3 x 3 x 3 = 1 2 = 1 2 = 4 2 x dado 2 x 3 = 2x 4 Ejemplos x 3 = 4 2 x 2 x expresar ambos lados con la misma base 4+2x aplicar leyes de exponentes. propiedad uno a uno de exponentes. 4 3 = 2x x restar x a cada lado; sumar 4. 1 = x